人教版数学七年级下期期末考前满分冲刺之优质压轴题（原卷版+解析版）

期末考前满分冲刺之优质压轴题【专题过关】类型一、方程与不等式中的最值(选、填)1．已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设，则s的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了非负数和不等式组的应用能力．先分别用含有c的式子表示出a，b，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出c的取值范围，最后将c的最大值代入s进行求解．【详解】，，，， ，，，是三个非负数，，解得，，解得，故选：C2．已知，那么最小值为（    ）A． B． C． D．12【答案】D【分析】先利用基本不等式求得的取值范围，代入原式，再次利用基本不等式求其最小值．【详解】解：，，，，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，最小值为12，故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式求最值，基本不等式公式：当，则（当时，等号成立）．3．已知关于x的不等式组至少有三个整数解，则整数a的最小值是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的整数解情况可得关于a的不等式，解之即可得出答案．【详解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵不等式组至少有3个整数解，∴该不等式组的整数解至少包括、0、1，则，解得，所以整数a的最小是为，故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．已知关于的不等式组的整数解仅为1、2，则的最大值为 ．【答案】11【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数， 代数式求值，先分别求出两个不等式的解集，再由不等式组的整数解仅为1和2得到，，据此推出即可得到答案．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵关于的不等式组的整数解仅为1、2，∴，，∴，∴，∴的最大值为11，故答案为：11．5．若方程的解也是关于x的不等式的一个解，则a的最大值是 ．【答案】2【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，求出的范围是解题的关键．先解方程，求得，再把代入，求出的范围．然后得到满足条件的整数的最大值．【详解】解：解方程，得，把代入，得，解得．所以a的最大是2．故答案为26．若关于x的不等式组的整数解只有2，3，4，且a，b均为整数，则的最大值为 ．【答案】10【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，∵整数解只有2，3，4，∴，解得：，∵a，b均为整数，∴当时，最大值为：．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据整数解只有2，3，4找到不等关系是解题关键．类型二、不等式组与方程组结合(选、填)1．已知关于，的方程组以下结论中正确的个数是（    ）不论取何值，的值始终不变；存在有理数，使得；若，则的取值范围是；当，方程组的解也是方程的解．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】方程组整理后，表示出，即可作出判断；方程组两方程相减表示出，使其值为确定出的值，即可作出判断；方程组整理后，表示出，根据的范围确定出的范围即可；把代入方程组求出解，即可作出判断．【详解】解：方程组，得：，则不论取何值，的值始终不变，本选项正确；方程组，得：，令，得到，解得：，本选项正确；方程组，得：，把代入得：，，，，本选项正确；把代入方程组得：，解得：，把代入方程得：左边，右边，方程组的解也是方程的解，本选项正确．故选：．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．2．已知关于，的二元一次方程组，有下列说法：①当时，方程的两根互为相反数；②不存在自然数，使得，均为正整数；③，满足关系式；④当且仅当时，解得为的倍．其中正确的是(    )A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．①②④【答案】B【分析】利用加减法求出关于、的二元一次方程组的解(用含的代数式表示)，再根据A、B、C、D所述列出算式、方程和不等式组，解集不存在的即为正确答案．【详解】二元一次方程组得， ，当时， ，故当时，方程两根互为相反数；故①符合题意； ，，代入得，，，满足关系式，故③符合题意；当时，，，当且仅当时解得为的倍，故④符合题意；当，时，则 ，，当时，，，(，均为正整数)，存在自然数使得，均为正整数，故②不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查二元一次方程组的解，同时涉及方程组的解集，解题关键在于掌握运算法则．3．如果整数m使得关于x的不等式组有解，且使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的个数为（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】不等式组整理后，根据有解确定出m的范围，再由方程组的解为整数确定出满足题意m的值，判断即可．【详解】解：由①得，，由②得，∵不等式组有解，∵不等式组的解集为m＜x≤4，∴m＜4，方程组，①－②得：（m﹣2）x＝4，解得：x，把x代入②得：y＝1，解得：y＝1，∵x与y都为整数，∵m＜4，∴m－2＜2，且m≠2，∴m－2＝1或﹣1或﹣2或﹣4，解得：m＝3或1或0或﹣2，故符合条件的所有整数m的个数为4个．故选：C．【点睛】此题考查了二元一次方程组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．4．若关于x的不等式组恰有2个整数解，且关于x，y的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数m的和为 【答案】【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中恰有2个整数解，确定出m的范围，再由方程组有整数解，确定出满足题意整数m的值即可．【详解】解：不等式组整理得：，解得：，∵不等式组恰有2个整数解，即-1，0，∴，解得：，即整数，方程组，①+②得：，解得：，把代入②得：，∵x，y为整数，∴或或，解得：或或．∴．故答案为：．【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．5．已知方程组：的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，方程组的解也是方程的解；③当时，；④若，则；其中正确的是 （填写正确选项的番号）．【答案】①③④【分析】先解出二元一次方程组得，再根据为正数，为非负数判断①，把代入可判断②，将代入可判断③，根据不等式的性质可判断④．【详解】解：由得，为正数，为非负数，，，故①正确；当时，，，此时，故②错误，当时，，，故③正确；若，则，∴，∴即，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，不等式的性质，熟练掌握解二元一次方程组的方法步骤是解题关键．6．已知关于x，y的方程组．其中，以下结论：①当时，方程组的解x与y互为相反数：②是方程组的解；③时，方程组的解也是的解：④若，则．正确的结论有 （填序号）【答案】①②④【分析】①将代入方程组，两式相加即可作出判断；②将x与y代入方程组检验即可作出判断；③将代入方程组求出x与y的值，即可确定作出判断；④先解方程组，根据y的范围确定出x的范围即可用出判断．【详解】解：①将代入方程组得：；两式相加得：，∴x与y互为相反数，①正确；②将代入方程组得：，解得：，∵，∴②正确；③将代入方程组得：，解得：，代入方程，左边得：；右边，即左边右边，∴方程组的解不是方程的解；③错误；④解方程组得：，∵，即，解得：，∵，∴，∴，∴，④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，以及求一元一次不等式的集，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．类型三、平行线中的定值(解)1．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．  (1)如图1，若，求的度数．(2)在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，请在“备用图上”作出相应的图，并求的度数．(3)如图2，若点是下方一点，平分，平分，与相交于点，已知，证明：为定值．【答案】(1)(2)图见解析，(3)证明见解析【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线．（1）过点作，利用平行线的性质求解；（2）过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值；（3）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明．【详解】（1）解：如图所示，过点作，   ，， ，，，，；（2）如图所示，过点作，   ，，，，平分，平分，，， ，，，；（3）平分，且，，，平分，，设，，由（1）同理可得，，，，，，即为定值．    2．如图，已知，点E，F分别为之间的点．(1)如图1，若，求的度数；(2)若，．①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由；②如图3，已知平分，平分，反向延长FG交EP于点P，直接写出的度数．【答案】(1)(2)①∠F−∠E的度数是是定值，；②【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键．（1）过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题；（2）①如图, 过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论；②如图，平分，平分，可得 ，由三角形的内角和定理可得，结合① 得: ，从而可得．【详解】（1）过点E作，∵，∴，∴，，∴；（2）①，是定值，理由如下：如图, 过作，过作，∵，∴，而， ∴，，，∴；②如图, ∵平分，平分，，，∵由①得: ， ．3．综合与探究探索发现：（1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，，点在、之间，连接、，试说明．下面是两位同学添加辅助线的方法：请选择其中一种方法写出证明过程．解决问题：（2）已知直线，连接，，．①如图4，分别平分，，求的度数．②如图5，延长线段至点，过点作交CD的延长线于点，，分别平分，，请判断的度数是否为定值．若是， 直接写出的度数；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①；②为定值，【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，根据题意作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．（1）选择小刚添加辅助线的方法，证得，进而可求得，即可求得答案；选择小红添加辅助线的方法，求得，结合即可求得答案．（2）过点E作，根据角平分线及平行线的性质即可求解．（3）过点F作，则，根据平行线的性质及等量代换即可求解．【详解】证明：（1）选择小刚添加辅助线的方法，证明如下：∵，，∵，∴．∵，∴．∵，∴．选择小红添加辅助线的方法，证明如下：∵，∴．又，∴．（2）①过点E作，∴，∵，． ∴，，∵分别平分，，∴，，∵，∴，，∴； ②为定值，理由如下：过点F作，则，∵，． ∴，，∵，∴，∵，分别平分，，∴，，∵，∴，，∴．4．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．   (1)当射线经过点A时，在图①中画出射线和射线，并求此时的度数．(2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（解答时需要的图形请画在备用图中）(3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．（解答时需要的图形请画在备用图中）【答案】(1)图见解析，(2)存在，或(3)的值不变，【分析】本题考查平行线的性质，作辅助线沟构造平行是解题的关键．（1）运用平行线的性质直接解题即可；（2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可；（3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题．【详解】（1）解：∵，∴，∴，即，故答案为135；（2）解：设射线与射线所在直线的交点为点，旋转时间为秒时，，，即，①如图，当时，过点P作，∵，∴，∴，，∴，即，解得， ②如图，当时，则，由①可知，即，解得，综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为，（3）的值不变，理由为：解：如图，由（2）可知，∵，∴，∵，∴．5．已知是截线上的一点，与分别交于E、F．(1)若，求∠的度数；(2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　；②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）．【答案】(1)或(2)是，(3)①；②【分析】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题，（1）过点P作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求 的度数；（2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题；（3）分三种情况分别画图，结合（1），（2）的结论探索∠Q的度数的规律；正确作出辅助线，进行分类讨论是本题的难点．【详解】（1）如图，当点P在线段之间时，过点P作，∵，∴，∵，∴，，∴，当点P在的上方时，过点P作，∵，∴，∵，∴，，∴综上所述，为或；（2）是，，理由如下：由（1）可知，∴，，∴，同理可得，又∵分别平分与的角平分线，∴， ，∴，∴，（3）①，理由如下：如图，过点P作,过点Q作,∵，∴，∴，，∴，同理可得，又∵分别平分与的角平分线，∴， ，∴，∴，故答案为：②，分三种情况讨论：（Ⅰ）当点P在线段的延长线上运动时，如图，可得，，∵，,∴，∴，（Ⅱ）当点P在线段上运动时，如图，可得，．∵，．∴，∴，（Ⅲ）当点P在线段的延长线上运动时，如图，可得，，∵，，∴，∴，综上所述，．6．如图，直线，P是截线上的一点．(1)若，求；(2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；(3)如图2，若T是直线上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线上运动时，与的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．【答案】(1)(2)是为定值，定值为(3)和（2）的结论仍成立，探究过程，理由见解析【分析】（1）过点P作，根据平行线的传递性可得，再根据平行线的性质和角的和差进行求解即可；（2）由平行线的性质及角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，进而求解即可；（3）过点P作，过点Q作，由平行线的性质及角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，进而求解即可．【详解】（1）如图1，过点P作，又∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）由（1）得，，，∴，∴，∵与的平分线交于Q，∴，同理，，∴，∴是为定值，定值为；（3）如图2，过点P作，过点Q作，∵，∴，，∴，∴，∵与的平分线交于Q，∴，同理，，∴，即（2）的结论仍然成立．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键．类型四、平行线中的比值(解)