18，2024年山东省淄博市临淄区中考二模数学试题

这是一份18，2024年山东省淄博市临淄区中考二模数学试题，共29页。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5，评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．）
1. 的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，解题的关键是先根据绝对值的代数意义化简，再进行减法运算即可．
【详解】解：．
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方及同底数幂的除法依次对各选项分析即可判断．试卷源自 试卷上新，即将恢复原价。【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
3. 世乒赛颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据左视图是从左边看到的图形，据此即可作答．
【详解】解：∵世乒赛颁奖台如图所示，
∴它的左视图是
故选：C
4. 如图，直线，的顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质和内角和定理，掌握相关的知识是解题的关键．
根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得，根据内角和定理可得，根据角的和差求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5. 小亮在网上销售笔记本．最近一周，每天销售某种笔记本的本数为：12，13，14，15，14，16，21．关于这组数据，小亮得出如下结果，其中错误的是（ ）
A. 众数是14本B. 平均数是15本C. 方差是4D. 中位数是14本
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【详解】解：数据12，13，14，15，14，16，21中，14出现的次数最多，
因此众数是14，故A选项不符合题意；
，即平均数15，故选项B不符合题意；
，
因此方差为，故选项C符合题意；
将这7个数据从小到大排列为12，13，14，14，15，16，21，
处在中间位置的一个数是14，因此中位数是14，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，掌握计算方法是得出正确答案的前提．
6. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合，是一种经常使用的解题方法．根据根与系数的关系，可得出，，再代入即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，
∴．
故选：C．
7. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案．
【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3，
所以其面积
，
∵，
∴，
∴，
∴的值为3．
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以得到、的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标．
【详解】解：由题意，，
设，则，
由折叠可得，，
∵，
∴，
解得，，
设，
∴，
∴，
∵，
，
解得，
∴点E的坐标为，
故选：A．
9. 如图，三次函数的图象与轴有个交点，分别是，请同学们根据所学过的函数知识进行判断当时，；当时，有最小值；若点在函数的图象上，则的取值只有一个；将函数的图象向左平移个或个单位长度，函数图象经过原点．其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象逐一判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】解：由图形可得，当时，或，故错误；
由图象可得，当时，有最小值，故正确；
由图象可知，函数图象过点
若点在函数的图象上，则的取值有两个，故错误；
∵函数的图象经过点，
∴将函数的图象向左平移个或个单位长度，函数图象经过原点，故正确；
∴正确的结论有，共个，
故选：．
10. 如图，分别过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数与二次函数综合问题，先求出，找到规律再计算即可．
【详解】解：∵过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式的意义，有，
解得，
故自变量x的取值范围是，
故答案为：．
12. 利用计算器进行计算时，按键顺序如下：
计算结果是_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了计算器应用和锐角三角函数值，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值，即可解题．
【详解】解；由题知，，
故答案：4．
13. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
【详解】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形，
，，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数列式可得结论．
设点坐标为，点坐标为，则可得出和的长度，从而列式，化简即可求出的值．
【详解】解：由题意可设点坐标为，点坐标为，
由图可得，，
的面积为，
，
化简可得，
则的值为．
故答案为：.
15. 如图，在中，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为上一点且满足，连接，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，取的中点，连接，在上取一点，使得，连接，过点作，先根据勾股定理求得，再根据中点定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再证是等边三角形，得，，，-由勾股定理得在证明，得点在以为半径，点为圆心的圆上，当、、三点共线，连接交于点，则的最小值的长度即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，在上取一点，使得，连接，过点作，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴-
∴
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴
∴
∴点在以为半径，点为圆心的圆上，当、、三点共线，连接交于点，则的最小值的长度即为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，确定点M的运动路线以及利用隐形圆求解线段最值问题是解答的关键．
三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：
（2）化简，并在，，，中选一个合适的数求值．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，分式的化简求值，
（1）根据有理数的乘方，零指数幂，特殊角三角函数值，负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算；
（2）先根据异分母分式的减法运算法则计算小括号内的，再进行乘法运算，根据分式有意义的条件得出不能为，，，可能取，最后代入求出答案即可；
掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
∵分式的分母不为，
∴不能取，，，
∴当时，原式．
17. 如图，在中，于点，于点，与、分别交于点，．
（1）求证：
（2）若，求证四边形是菱形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先利用已知里的两个垂直，可证一对角相等，都等于，再利用平行四边形的性质，对角相等，那么可证；
（2）由，可得，那么，可得，即证四边形是菱形．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
又是平行四边形，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
又,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为菱形．
【点睛】本题利用了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定知识，掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键．
18. 如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】这座山的高度约为
【解析】
【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解．
【详解】解：如图，根据题意，．
中，，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
答：这座山的高度约为．
【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．
19. 为了解甲、乙两个茶园种植的“龙井”茶叶的品质，现从两个茶园里分别随机抽取了20份茶叶样本，对它们的品质进行评分（满分100分，分数越高代表品质越好）．评分用x表示，共分为四组，A组：，B组：，C组：，D组：．
甲茶园20份茶叶的评分从小到大分别为：65，68，72，75，78，80，82，85，85，88，90，90，90，92，95，95，95，95，98，100；
乙茶园20份茶叶中有3份的评分为100分，评分在C组中的数据是：85，88，80，85，82，83．
甲、乙两茶园随机抽取的茶叶评分数据统计分析如下表所示，乙茶园抽取的茶叶评分扇形统计图如图所示：

根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出统计表中a，b的值；
（2）若甲、乙两茶园的茶叶总共有2400份，请估计甲、乙两茶园评分在D组的茶叶共有多少份；
（3）本次抽取的40份茶叶样本中，评分为100分的视为“精品茶叶”．茶农要在“精品茶叶”中任选两份参加茶叶展销会，用列表法（或画树状图）求这两份茶叶全部来自乙茶园的概率．
【答案】（1）95，85
（2）甲、乙茶园品质评分在90分及以上的茶叶共有份
（3）
【解析】
【分析】本题考查了求众数和中位数，利用样本估计总体，用列表法或树状图求概率，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义，用样本估计总体的方法和步骤，以及概率公式．
（1）根据众数和中位数的定义，即可求出a和b的值；
（2）先求出甲乙两个茶园D组的茶叶的份数，再用甲乙两个茶园茶叶总份数乘以D组茶叶份数所占百分比，即可解答；
（3）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答．
【小问1详解】
解：由表可知，甲茶园20份茶叶的评分中95分出现了4次，95分出现次数最多，
∴；
乙茶园评分中各组份数：A：（份），B：（份），C：（份）
∵，
∴乙茶园20份茶叶的评分的中位数在C组，
将乙茶园20份茶叶中评分在C组中的数据排序为：80，82，83， 85，85，88．
∴；
【小问2详解】
解：乙茶园品质评分在D组的茶叶有（份），
甲茶园品质评分在D组的茶叶有10份，
∴甲、乙茶园品质评分在90分及以上的茶叶共有（份）；
【小问3详解】
解：甲茶园评分为100的有1个，乙茶园评分为100的有3个，
甲茶园“精品茶叶”记为1；乙茶园“精品茶叶”记为记为a，b，c；
列表如下：
共有12种等可能结果，这2份茶叶全部来自乙茶园的结果有6种，
∴这2份茶叶全部来自乙茶园的概率为．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于．
（1）求m，n的值及反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移t个单位，若平移后的直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将，代入求出的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可；
（2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
【小问1详解】
解：将，代入得，，，
解得
将代入，得k＝6，即；
【小问2详解】
解：∵直线向下平移t个单位得新直线，
与联立得，
消y得，化简得
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴，
解得或，
∵，
∴（舍去），
即．
21. 【项目式学习】：根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元；任务二：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是元，可得：，即可解得答案；
任务2：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验得每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元；
【详解】解：任务
设每杯“满杯杨梅”的售价是元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元，
由题意得：，
解得：，
，
答：每杯“满杯杨梅”的售价是17元，每杯“芝士杨梅“的售价是19元；
任务
设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
，，
答：每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元；
22. 已知，内接于，平分交边于点E，连接．
（1）如图1，过点D作直线，求证：是的切线：
（2）小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段之间存在着一种数量关系；
【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当时，线段之间满足数量关系
【推理证明】延长AC到点P使得
平分
又
为正三角形
【类比探究】如图2，当时，试猜想线段之间满足的数量关系，并证明你的结论；
【一般归纳】如图3，当时，试猜想线段之间满足的数量关系（用含有的三角函数表示），并证明你的结论；
【拓展应用】如图4，过点E作，垂足为G，过点E作，垂足为H，求证：．
【答案】（1）详见解析
（2）类比探究：AB+AC＝AD
一般归纳：
拓展应用：详见解析
【解析】
【分析】（1）连接并延长交于点F，根据垂径定理推理和切线的判定定理进行证明即可；
（2）①延长到点，使得，证明，则，证明为等腰直角三角形，即可得到结论；
②由①中证明，同理可得，过点D作于Q，在中，，得到，即可得到；
③连接与交于点K，证明，得到为等腰三角形，得到垂直平分，设，求出，求出，求出，即可证明结论．
【小问1详解】
证明：连接并延长交于点F，
∵平分
∴
∵为直径
∴
又∵
∴
∴是的切线
【小问2详解】
①数量关系：
证明如下：延长到点，使得
∵平分
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
②数量关系：
证明如下：由①中证明，同理可得
∴
过点D作于Q
在中，
∴
∴
③证明：连接与交于点K
∵，，
∴
∴
∴为等腰三角形
∴垂直平分
设
在中，，
∴
∴
∴
∴
【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定定理、垂径定理的推论、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，准确推理是解题的关键．
23. 如图1所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线的对称轴上，求的最小值；
（3）如图所示，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点，
①若以，，为顶点的三角形与相似，求的面积；
②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）①或；②点坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）把点代入，可得直线的解析式及的值，再把点代入即可得解；
（2）取点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，此时的值最小；
（3）①当时，得，，，可得结论；时，得，设，则，过点作交于点，可求得，再由点在直线上，求出，从而得到，，可得结论；
②设，则，，再由点在直线上，求出，分三种情况讨论：当时；当时；当时．
【小问1详解】
解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴，，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，，
则，当、、共线时，取“”，此时的值最小，
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，轴于点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
【小问3详解】
①当时，
∴，
∵轴，，，
∴，，
∴，，
∴点的纵坐标为，，
由，得：或，
∴，
∴，
∴；

当时，
∵，即，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点作交于点，设，则，
∴，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的面积为或；

②存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，则，
∵点是的中点，
∴，将坐标代入，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴，
设点
1）当时，点在垂直平分线上，则点的纵坐标为，
∴，解得：，
∴，
∴，
解得：，
∴；
2）当时，设，
∵，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或，
当点的坐标为时，得：
，解得：，
此时；
当点的坐标为时，得：
，解得：，
此时；
点D坐标为或；
3）当时，
∵，，
此时点与点重合，
∴菱形为正方形，
∴，，
∴点向上平移个单位得到点，再向左平移个单位得到；
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题以二次函数动点问题为背景，考查待定系数法确定函数解析式，二次函数图像与性质，最短路径问题，勾股定理，相似三角形判断与性质，菱形存在性的判断，正方形的判定，中点坐标等知识点，运用了分类讨论及数形结合的思想．掌握二次函数图像与性质，相似三角形的判定与性质及菱形的判定与性质是解题的关键．甲茶园
乙茶园
平均数
中位数
89
b
众数
a
95
1
a
b
c
1
a
b
c
奶茶销售
方案制定
问题
素材1
当下很多同学喜欢喝奶茶，在入夏之际深圳某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2
4月27日恰逢周末，该奶茶店生意比平时好，当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
问题解决
任务1
确定奶茶的售价
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2
确定奶茶的成本
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（每杯利润=每杯售价－每杯成本=）