湖南省永州市道县第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

这是一份湖南省永州市道县第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(2,3)，b=(-1,3)，则|a-2b|=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.p：x+1x-5<0是q：|x+3|>2的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.在(1-x)52x+1的展开式中，含x3项的系数为
( )
A. 25B. -5C. 10D. -25
4.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是
( )
A. fx=1x-1B. fx=1x-1C. fx=1x3+1D. fx=1x2+1
5.已知a=30.6，b=lg25，c=lg32 3，则实数a，b，c的大小关系是( )
A. b>a>cB. a>b>cC. b>c>aD. a>c>b
6.已知函数f(x)(x∈R)满足f(2x+1)为奇函数，若函数y=sinπx与y=f(x)的图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym)，则i=1m(xi+yi)等于( )
A. 0B. mC. 2mD. 4m
7.已知函数f(x)=lnm+x1-n-x(m>0,n>0)是奇函数，则1m+2n的最小值为( )
A. 3B. 5C. 3+2 2D. 3+4 2
8.定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x)，若g(x)-f(3-x)=2，f'(x)=g'(x-1)，且g(-x+2)=-g(x+2)，则下列说法中一定不正确的是( )
A. g(x+2)为偶函数B. f'(x+2)为奇函数
C. 函数f(x)是周期函数D. k=12024g(k)=0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若 aB. 若 x>0，y>0，2x+y=1，则 xy≤18
C. “x>1“是“x2+x-2>0”的充分不必要条件
D. 命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1=0”
10.若复数z1，z2为-3+4i的两个平方根，z1，z2在复平面内对应的向量分别为a1，a2，则( )
A. z1=z2B. |z1|=|z2|= 5C. z1z2=3-4iD. a1⋅a2=5
11.已知函数f(x)=x2+x+14,x⩽0lnx-1,x>0，若关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的根，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则( )
A. 0C. 0≤x1x2x3x4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)= 3csωx+sinωx-1(ω>0)在区间(0,2π3)有且仅有3个零点，则ω的取值范围为 ．
13.14.已知函数fx= lnx,x>0 x2+2x-1,x≤0．
(1)fx的零点是______；
(2)若fx的图象与直线y=ax-1有且只有三个公共点，则实数a的取值范围是______．
14.已知0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S5=a11=20，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且b32=b6，b4-b2=12．
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)设cn=Snbn，求使cn取得最大值时n的值．
16.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB=AC，A1B=A1C.
(1)证明：AA1⊥平面ABC;
(2)若AA1=BC=2，∠BAC=90∘，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex，g(x)=1+x．
(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值；
(2)若k>1，证明：当|x|1-x2k．
18.(本小题17分)
“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：
根据表格，解答下面的问题：
(Ⅰ)完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；(参考数据：2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646)
(Ⅱ)如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．试在犯错误概率不超过0.01的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关？参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
19.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，经过点F1且倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l与椭圆交于A、B两点(其中点A在x轴上方)，△ABF2的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AF1F2)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面BF1F2)互相垂直．
①若θ=π3，求三棱锥A-BF1F2的体积，
②若θ=π3，异面直线AF1和BF2所成角的余弦值;
③是否存在θ(0<θ<π2)，使得△ABF2折叠后的周长为与折叠前的周长之比为1516?若存在，求tanθ的值;若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.A
6.B
7.C
8.A
9.BCD
10.BC
11.ABC
12.(154,234]
13. (1). 1和-1- 2 (2)．0,2
14.(0,14)∪(12,1)
15.解(I)由S5=5a3=20⇒a3=4，又∵a11=20，
∴a1+2d=4a1+10d=20⇒a1=0d=2
∴an=a1+(n-1)d=2n-2，
设数列{bn}的公比为q，且q>1，
由b32=b6，得b3=b6b3=q3，又b4-b2=b3q-b3q=q4-q2=12，
解得q2=4，q>1，∴q=2，∴bn=b3qn-3=qn=2n．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn=n(0+2n-2)2=n2-n，
所以cn=Snbn=n2-n2n，
因为cn+1-cn=(n+1)2-(n+1)2n+1-n2-n2n=n2+n-2(n2-n)2n+1=n(3-n)2n+1，
所以当n=1或2时，cn+1>cn;
当n=3时，cn+1=cn;当n≥4时，cn+1所以c1c5>c6>⋯，
所以使得cn取得最大值时n的值为3或4．
16.证明：(1)取BC的中点M，连结MA、MA1．
因为AB=AC，A1B=A1C，所以BC⊥AM，BC⊥A1M.
由于AM，A1M⊂平面A1MA，且AM∩A1M=M，
因此BC⊥平面A1MA．
因为A1A⊂平面A1MA，所以BC⊥A1A．
又因为A1A//B1B，所以B1B⊥BC，
因为平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC=BC，
且B1B⊂平面BB1C1C，所以B1B⊥平面ABC．
因为A1A//B1B，所以AA1⊥平面ABC．
(2)因为∠BAC=90∘，且BC=2，所以AB=AC= 2⋅
以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(0,0,2)，B( 2,0,0)，C(0, 2,0)，C1(0, 2,2)．
所以A1B=( 2,0,-2)，A1C=(0, 2,-2)，A1C1=(0, 2,0)．
设平面A1BC的法向量为m=(x1,y1,z1)，则
m⋅A1B=0m⋅A1C=0，可得x1- 2z1=0y1- 2z1=0，令z1=1，则m=( 2, 2,1)，
设平面A1BC1的法向量为n=(x2,y2,z2)，则
n⋅A1B=0n⋅A1C1=0，可得x2- 2z2=0y2=0，令z2=1，则n=( 2,0,1)，
设平面A1BC与平面A1BC1夹角为θ，
则csθ=|m⋅n||m |n=3 5× 3= 155，
所以平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值为 155．
17.解：(Ⅰ)∵f(x)=ex，g(x)=1+x，
∴h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x，h'(x)=ex-1．
当x∈(-∞,0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(0,+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增．
当x=0时，h(x)取最小值h(0)=0.…(4分)
(Ⅱ)[f(xk)g(-xk)]k>1-x2k，即[exk(1-xk)]k>1-x2k.①
由(Ⅰ)知，f(xk)-g(xk)≥0，即exk≥1+xk，
又1-xk>0，则exk(1-xk)>(1+xk)(1-xk)=1-x2k2>0．
所以[exk(1-xk)]k>(1-x2k2)k.②…(7分)
设φ(t)=(1-t)k-1+kt，t∈[0,1]．
由k>1知，当t∈(0,1)时，φ'(t)=-k(1-t)k-1+k=k[1-(1-t)k]>0，
φ(t)在[0,1]单调递增，当t∈(0,1)时，φ(t)>φ(0)=0．
因为x2k2∈(0,1)，所以φ(x2k2)=(1-x2k2)k-1+k⋅x2k2>0，
因此不等式②成立，从而不等式①成立．
故当|x|1-x2k.…(12分)
18.解：(Ⅰ)幸福感指数在[4,6)，[6,8)内的频数分别为220+180=400和125+175=300，
因为总人数为1000，
所以，相应的频率÷组距为：400÷1000÷2=0.2，300÷1000÷2=0.15，
据此可补全频率分布直方图如右图．
所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46；
(Ⅱ)
所以K2=1000×(250×300-200×250)2450×550×500×500=10.101>6.635，
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关．
19.解：(1) 由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
所以△ABF2的周长L=4a=8，所以a=2，
又椭圆离心率为12，所以ca=12，所以c=1，b2=a2-c2=3，
所以椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(2)由(1)知，点F1(-1,0)，倾斜角为θ=π3，
故直线l方程为：y= 3(x+1)，
①联立y= 3(x+1)x24+y23=1，解得x=0y= 3或x=-85y=-3 35,
则A(0, 3)，B(-85,-3 35)，
|AF1|=2，|BF1|=65，
三棱锥A-BF1F2的体积为V=13×12|BF1||F1F2|sin120°|AF1|sin60°=35．
②再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则F10,-1,0，A0,0, 3，B(3 35,-85,0)，F20,1,0，
F1A=(0,1, 3)，BF2=(-3 35,135,0)，
记异面直线AF1和BF2所成角为φ，
则cs φ=|cs|=|F1A⋅BF2||F1A||BF2|=1328，
即异面直线AF1和BF2所成角的余弦值为1328．
③假设存在θ(0<θ<π2)，使得△ABF2折叠后的周长为与折叠前的周长之比为1516．
设A，B在新图形中对应点记为A'，B'，
由A'F2+B'F2+A'B'=152，AF2+BF2+AB=8，故AB-A'B'=12，
设折叠前Ax1,y1，Bx2,y2，直线l方程为my=x+1，
联立my=x+1x24+y23=1，得3m2+4y2-6my-9=0，
y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4．
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系(原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴)；
A'x1,y1,0，B'x2,0,-y2，
|A'B'|= (x1-x2)2+y12+y22，AB= x1-x22+y1-y22，
AB-A'B'= x1-x22+y1-y22- x1-x22+y12+y22=12(i)，
即-2y1y2 x1-x22+y1-y22+ x1-x22+y12+y22=12，
所以 x1-x22+y1-y22+ x1-x22+y12+y22=-4y1y2(ii)，
由(i)(ii)可得 x1-x22+y1-y22=14-2y1y2，
x1-x22+y1-y22=1+m2y1-y22=14-2y1y22，
所以(1+m2)[(6m3m2+4)2+363m2+4]=(14+183m2+4)2，
∴144(1+m23m2+4)2=(14+183m2+4)2，
12+12m23m2+4=14+183m2+4，12m2+12=34m2+1+18，
解得m2=2845，
∵0<θ<π2，
所以tan θ= 1m2=3 3514．
幸福感指数
[0,2)
[2,4)
[4,6)
[6,8)
[8,10)
男市民人数
10
20
220
125
125
女市民人数
10
10
180
175
125
P(K2≥k0)
0.10
0.01
0.001
k0
2.706
6.635
10.828
不幸福
幸福
总计
男市民
250
250
500
女市民
200
300
500
合计
450
550
1000