2024年山东省青岛市初中学业水平考试数学模拟试题（学生版+教师版）

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说明：
1．本试题共8页，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26小题，第Ⅰ卷为单项选择题，共4小题，8分；第Ⅱ卷为非选择题，共23小题，112分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
走进新课程/走在数学的风雨中/我们思索/我们探究/我们敲击智慧之火/我们点燃希望之灯
第Ⅰ卷（选择题，共8分）
一、选择题（本大题共4小题，每题2分，共8分）
1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A. ①②④⑤B. ①②③⑤C. ①②③④D. ①③④⑤
4. 有一组数据，1，2，3，其中的平均数是（ ）
A 1B. 2C. 3D.
第Ⅱ卷（非选择题，共112分）
二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分；若有两个答案请用“或”字隔开）
5. 南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础；每到春季，上山赏花的人络绎不绝，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C种花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“懵懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 _____．
6. 若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______．
7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且，那么本抛物线的表达式为____．
8. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的有____个
①抛物线的对称轴为直线
②抛物线顶点坐标为
③，两点之间的距离为5
④当时，的值随值的增大而增大
9. 如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，．那么的长度是___．
10. 如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为____________．

11. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数 的图象上，为轴上一点，的面积为6，那么的值的8次方应该为____．
12. 如图，在中，，，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，为边的中点，连接，，．如图1，交于点，若，，线段的长度是______；为的中点，连接，，，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，若，当取得最小值时，线段的长度的最小值是______．
13. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．
14. 如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为__________．
15. 数学语言是学习数学必不可少的一部分，请把以下文字翻译为数学语言：根号7_____；π的0次方____；三次根号5____
16. 计算（保留小数点后4位）：_______；____；__
三、作图题（本大题共2小题，共5分）
17. 画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x．
18 已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
19. 计算
（1）解不等式组；
（2）化简．
20. 在平面直角坐标系中，半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”．
（1）已知点．
①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______；
②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长；
（2）已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．
21. 如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题：
（1）求证：．
（2）求值．
（3）如图2，在上取一点F，使．
①判断与的数量关系，并说明理由．
②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值．
22. 定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”．
（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）；
①；②③④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________．
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
23. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度.
24. 随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？
25. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，．
（1）求线段的长；
（2）如图2，为轴负半轴上一点，的垂直平分线交直线于，设的长为，求线段的长与的关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于，为上一点，以为斜边作等腰，，，延长交于，连接、，若平分，，，求点的坐标．
27. 活动·探究
运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．
探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）
（1）该等高线地形图的等高距为 米；
（2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ；
（3）估计王家庄的实际面积可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E点在点A的 偏 方向；
探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）
有两组没有标签的化学试剂：
还有一小瓶紫色石蕊试液；
与化学小组提供的实验信息：
已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：
请你解决以下问题：
（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．第一组
稀
稀
溶液
溶液
第二组
稀
澄清石灰水
溶液
溶液
酸性
稀
稀
稀
碱性
澄清石灰水
溶液
溶液
中性
溶液
溶液