广东省惠州市惠阳区泰雅实验学校2023-2024学年高二下学期第二次考试（5月）数学试题

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本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 一组数据：11，30，31，25，20，32，41，32，18，45的第30百分位数为（ ）
A. 20B. 22.5C. 25D. 30
2. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且在上，则的实轴长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设是等比数列，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
5. 在直角坐标系中，椭圆的右焦点为是上一点，且轴，若直线的斜率为2，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角的对边分别为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 为丰富学生在校课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A. 18种B. 60种C. 90种D. 150种
8. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A. 16B. 24C. 32D. 48
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若（为虚数单位），其中是实数，则（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 对应点位于第一象限D. 的实部为0
10. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 曲线的对称中心为
C. 在区间上单调递减D. 在区间上有一条对称轴
11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“卫界函数”，若函数，则（ ）
A. B. 的值域为
C. 在上单调递减D. 函数为偶函数
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知集合，若为单元素集，则的最小值为______．
13. 某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为______．

14. 已知点在函数图象上，则到直线的距离的最小值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 统计学中有如下结论：若，从取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
（1）假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求；
（2）希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
16. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当时，单调递增，求实数的取值范围；
（3）求的最小值．
17. 如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧的上一点，平面平面为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．
（1）求的方程；
（2）已知，过点直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程．
19. 已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”．
（1）若，请判断数列是否为“阶可控摇摆数列”？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；
（2）若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
（3）若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式．