广东省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期5月模拟预测考试数学试题（学生版+教师版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，若，则集合可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得集合或，结合，可得结论.
【详解】∵或，，
∴集合可以为．
故选：C.
2. 已知，为方程的两个虚根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可求解方程的根，，然后利用复数的加法和模的运算求解即可.
【详解】因为，解得，，
所以，，
所以.
故选：.
3. 已知，则成立的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式可得，进而求解可得的范围，可得结论.
【详解】∵，，
∴，∴或，
又，∴或或．
故选：A.
4. 已知双曲线E：的两条渐近线与抛物线C：分别相交于点O，M，N，其中O为坐标原点，若的面积为2，则E的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，由，可求得，进而可得，可求E的离心率.
【详解】设，，由双曲线和抛物线的对称性知，
，解得．E的渐近线方程为：，即，
∴，所以E的离心率为．
故选：D.
5. 已知函数，，若，则所有满足条件的之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦型函数的对称性即可求解所有符合条件的.
【详解】∵，∴关于对称，
∴，且，解得满足题意的有，，．
∴所有满足条件的之和为．
故选：C
6. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，，判断的单调性和奇偶性，由可得，利用函数的单调性和奇偶性即可求解.
【详解】设，，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
又，在上单调递增，
所以是上的单调递增，
因为，
所以为奇函数，
因为，，
所以，
所以，
因为是上的单调递增，
所以，即.
故选：.
7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦定理边角化可得，即可结合可得，利用正弦定理以及和差角公式即可求解.
【详解】由得，
在中有，，
由余弦定理得，又，
所以即．
由正弦定理边角关系得，
即， ,
故．
故选：D
8. 已知是定义在上的函数，，若对有，成立，则（ ）
A. 72B. 75C. 77D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目条件得到，即函数是以8为周期的周期函数，并利用赋值法得到，，，，，，进而根据周期求出.
【详解】由有得，．
由有得，
故①，则，
∴，即函数是以8为周期的周期函数．
∴，②，
由①②得③，
令③中得．
令③中得．
由得，而，则，
且．
∴，
∴．
【点睛】结论点睛：设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可.
【详解】存在,,使成立,A正确．
不存在,,使成立,B错误．
,存在,使得成立,C正确．
存在,，使成立,D正确,
故选:ACD.
10. 如图，正方体的边长为4，，平面经过点，，则（ ）
A.
B. 直线与直线所成角的正切值为
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 若，则正方体截平面所得截面面积为26
【答案】BC
【解析】
【分析】本题四个选项逐个分析，A选项利用在勾股定理判断；B，C选项分别作出线线角，线面角算出正切值判断是否正确；D选项面面平行的性质的定理画出完整的截面进而计算面积即可.
【详解】在中，,
在中，，，，
∵，∴A错误．
∵，∴直线与直线所成角等于，，∴B正确．
因为平面，且平面
所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，，∴C正确．
因为正方体的对面都是相互平行，且根据面面平行的性质定理可得，
在边上作点使得，则平行四边形为所求截面．
在中，
∴，，
∴平行四边形的面积为．∴D错误．
故选：BC
11. 已知抛物线：的焦点为F，点在C的准线上，过点P作的两条切线，切点分别为M，N，则（ ）
A. M，F，N三点共线
B. 若，则的方程为
C. 当时，直线的方程为
D. 面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：设切点，，求导可得过，切线方程，进而可得直线的方程，可判断A；对于B：联立方程组可得①，②，结合，可求判断B；对于C：求得直线的方程判断C；对于D：求得，点到直线的距离，可得，利用换元法与导数可求面积的最小值.
【详解】对于A：由已知可得，，设切点，，
则，化简得，．
同理可得，，∴切点在直线上，
焦点也在该直线上．∴A正确．
对于B：，是方程的两根，①，②．
又由，得，即③．
联立①②③解得，∴C的方程为．∴B错误．
对于C：当时，，直线的方程为．∴C正确．
对于D：，点到直线的距离，
，设，，，
所以函数在单调递减，在单调递增，，
∴面积的最小值为．∴D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤平面向量；⑥导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为_________．
【答案】-80
【解析】
【分析】利用的二项展开式的通项公式，可求的系数.
【详解】的二项展开式的通项为，
则的系数为．
故答案为：.
13. 如图，等边的边长为4，点D为边的中点，以为折痕把折叠，在折叠过程中当三棱锥的体积最大时，该棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用折叠过程中始终有平面，从而可计算三棱锥体积，再引入变量，找到最大值解，得到的是一个直角四面体，然后利用补形为长方体来求外接球半径及表面积.
【详解】
在折叠过程中始终有平面，，．
，
∵，∴当时，三棱锥的体积最大．
此时，可以将三棱锥补成长方体，
所以可得它的外接球半径，
即三棱锥的外接球半径，
∴此时外接球表面积为．
故答案为：．
14. 已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点A为C的右顶点，点P为C右支上的动点，记，分别为，内切圆半径．若，，成等差数列，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由等差中项和双曲线的定义可以直接求出与，以为圆心，以为半径作圆，圆与双曲线的交点为点P，联立方程，可得点P的坐标，再结合内切圆半径求两个三角形的面积，利用面积之比，得到与的比.
【详解】∵，，成等差数列，∴，
又∵，∴，．
由对称性可设点，，则有解得，．
，
，
∴，，，
∴，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答该题的关键之一是利用双曲线定义结合等差中项求出P点坐标，同时另一关键点的是利用内切圆半径与三角形面积的关系：，将所求的半径之比，转化为了面积之比，从而得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 截至2月10日2时，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》全媒体累计触达142亿人次，收视传播人次等数据创下新纪录．
（1）某媒体随机抽查200名在线用户，得到2×2列联表，根据该表是否有99.5%的把握认为完整观看与年龄有关?
（2）某媒体举办“看春晚赢文创”在线活动，每个在线用户在看春晚期间有三次答题机会，三次回答正确就可以赢得文创奖品，第一题预设难度（预设难度：用户回答正确的概率）0.8，后两题预设难度0.6，且每道题回答正确与否互不影响．记X为每个参加答题的用户答对题目个数，求X的分布列及期望．
参考公式和数据：
，其中．
【答案】（1）有 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由2×2列联表得，计算，可得结论；
（2）根据题意X可以取0，1，2，3，分别求得对应概率，可得分布列，进而可求数学期望.
【小问1详解】
由2×2列联表得，
．
因为9.524>7.879，
所以有99．5%的把握认为完整观看与年龄有关．
【小问2详解】
根据题意X可以取0，1，2，3．
，
，
，
．
∴的分布列为：
∴的期望为：.
16. 如图，在长方体中有一八面体，其中点G，H分别为正方形，正方形的中心，点M，N，P，Q分别为侧棱，，，的中点，且．
（1）证明：平面//平面；
（2）求钝二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行、面面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦即可.
【小问1详解】
连接，，，
则H，G分别为，的中点，又Q，N分别为，的中点，故，，
∴，又平面，平面，
∴平面，同理可证，平面，
又平面，，所以平面平面．
【小问2详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，所以，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，故，
又，所以钝二面角的余弦值为．
17. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，，求数列的前100项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解通项，
（2）利用等差等比求和公式，结合分组求和即可求解.
【小问1详解】
设数列的首项为，公差为，
根据题意得即
解得或．
又因，所以．
所以的通项公式为．
【小问2详解】
由（1）得．
即数列的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，
奇数项是以为首项，16为公比的等比数列．
数列的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项，
数列的前100项和．
，
．
所以．
18. 椭圆：的离心率为，圆：的周长为．
（1）求的方程；
（2）如图，是的左焦点，过的直线交圆O于点M，N，线段的垂直平分线交C于点P，Q，交于点A．
（i）证明：四边形的面积为定值．
（ii）记，的面积分别为，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析，（ii）
【解析】
【分析】（1）根据离心率和圆的周长，得到方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）（i）考虑直线与x轴重合和与轴不重合两种情况，利用，求出四边形面积为定值；
（ii）由题得，当直线与x轴重合时，A与O重合，，当直线与x轴不重合时，表达出，结合（i）知，换元得到，由基本不等式求出最值，得到答案.
【小问1详解】
由题得解得，．
又，
所以方程为．
【小问2详解】
（i）证明：由题得四边形的面积．
①当直线与x轴重合时，A与O重合，，，
．
②当直线与轴不重合时，
由圆性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知，
．
设直线的方程为，，
，．
则直线的方程为，将它代入解得，，
，．
．
综上所述四边形的面积为定值．
（ii）由题得，，，．
①当直线与x轴重合时，A与O重合，．
②当直线与x轴不重合时，由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知，
．
由（i）知，，
∴，令，，则，
∴，
当且仅当即时取得等号．
所以，即．
综上所述，的取值范围为．
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
19. 已知函数，．
（1）曲线与在处的切线分别是：，，且，求的方程；
（2）已知．
（i）求的取值范围；
（ii）设函数的最大值为，比较与（1）中的的大小．
【答案】（1）
（2）（i），（ii）
【解析】
【分析】（1）分别求导，由已知可得，求解可得，进而可求切线的方程；
（2）设，求导后令，求得，分类讨论可得若，可得程有两个不相等实根，进而可得的单调性，可求得的取值范围；
（3），求导后令，可得，使得，，可得，设，可得，进而可得，得到，通过构造函数设，判断单调性可得结论.
【小问1详解】
，，，
∵两切线平行，∴，，即，
∵，，∴．
∴直线与曲线相切于点，斜率为0．
∴的方程为．
【小问2详解】
（i）设，则，．
求导可得，
设，则．当时，，单调递增；
当时，，单调递减．因，所以．
若，则当时，，又，∴，不合题意．
若，则，不合题意．
若，则关于的方程有两个不相等实根，
设为，所以，且．
当变化时，，变化情况如下表：
设，则，同上可证．
所以，，
所以．
综上所述，的取值范围为．
（ii），∴．
设，则，在单调递减．
因为，所以．
若，则，，，所以存在，使得，．
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
是的极大值点，且．
设，则，所以在区间单调递减，
即当时，，①．
所以，所以，即．
由，得，∴．
设，则，单调递增，
所以．
所以．
【点睛】方法点睛：本题考查函数与导数的综合应用，涉及函数的恒成立问题以及构造函数利用单调性求得函数的最值，通过最值求得参数的范围，以及分类讨论的应用，考查转化能力，运算量大．
完整观看
未完整观看
合计
不超过30岁
60
40
100
超过30岁
80
20
100
合计
140
60
200
0.025
0.010
0.005
5.024
6.635
7879
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极大值
极小值
极大值