2024北京人大附中高三考前热身数学试题及答案解析

2024北京人大附中高三考前热身数 学命题：高三数学组本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 若，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 3. 已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）A. B. 240 C. 60 D. 4. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 5. 若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集为( )．A. B. C. D. 7. 已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件9. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若是纯虚数，则实数a的值为__________.12. 已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为__________.13. 使成立的一组a，b的值为__________，__________.14. 已知函数，若是偶函数，则__________；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是__________.15. 已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D到平面的距离.17. 已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.18. 某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值.19. 已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率.（1）求椭圆C的方程和短轴长；（2）点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积.20. 已知函数.（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数的单调性；（3），若是的极大值点，求a的取值范围.21. 给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.（1）若，，，，，求和；（2）求证：，；（3）求的最小值.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】B【分析】化简集合，由得出，由子集的定义得出实数的取值范围.【详解】集合,故选：B【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.2. 【答案】B【分析】根据，得，结合数量积得运算律求出，再根据向量夹角公式即可得解.【详解】因为，所以，即，所以，所以，又，所以向量与的夹角为.故选：B.3. 【答案】B【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式分析求解.【详解】由题意可知：二项式系数之和为，可得，其展开式的通项为，令，解得，所以其展开式的常数项为.故选：B.4. 【答案】C【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确；对于B中，例如，此时，所以B不正确；对于C中，由函数在为单调递减函数，因为，所以，可得，所以C正确；对于D中，例如，此时，所以D不正确.故选：C.5. 【答案】C【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.【详解】双曲线的渐近线为，的渐近线为，由题可知，所以的离心率.故选：C.6. 【答案】D【分析】由题可得，然后分类讨论解不等式即得.【详解】∵，∴，当时，，∴，当时，，∴，综上所述，的解集为．故选:．7. 【答案】C【分析】先确定的轨迹以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值.【详解】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为，又直线，其过定点，故距离的最大值为.故答案为：C8. 【答案】A【分析】先将代入余弦定理，利用基本不等式得到，从而得到，接着根据得到可能为钝角，不满足成等比数列，从而得答案.【详解】当成等比数列时，，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，所以，充分性满足；当时，，而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足.则“成等比数列”是的充分不必要条件.故选：A.9. 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点到平面的垂线段，在根据已知条件得，解方程求出即可.【详解】取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点， 取中点，连接，由已知，、分别为、中点，因为是直三棱柱，所以，且 ，所以其，所以四边形为平行四边形，又，所以为矩形，所以，又，平面，平面，，所以平面，平面，所以，又因为，平面，平面，，所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为；，在中，，所以，设角，则有，因为四边形为平行四边形，所以，又因为因为是直三棱柱，所以，且，所以，，又因为平面， 平面，所以，所以，即，解得，所以点到平面的距离是，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点到平面的垂线段.10. 【答案】B【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为，因为，可得，由题意可知：均与y轴垂直，且，作垂足为，则，因为，即，解得；又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为，所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.【详解】，因为是纯虚数，所以，得.故答案为：12. 【答案】或【分析】先根据焦半径公式求出点坐标，进而可得直线方程.【详解】设，则，则，此时，所以或，又由已知，直线AB的方程为或，整理得或.故答案为：或.13. 【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 2（答案不唯一）【分析】根据题意结合对数运算分析可得，取特值检验即可.【详解】若，则，可得，例如符合上式.故答案为：2；2.（答案不唯一）14. 【答案】 ①. ②. 【分析】根据偶函数的对称性分析可知，即可得结果；结合对称性可知圆面在y轴右侧仅覆盖1个图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.【详解】因为是偶函数，则，且，所以；可得，设的最小正周期为，因为和均关于y轴对称，可知圆面在y轴右侧仅覆盖图象的1个最低点，对于，令，解得（不妨只考虑y轴右侧，舍负）；可得，解得，且，则，解得，所以的取值范围是，故答案为：；.15. 【答案】②【分析】①:先确定最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到，再进一步通过放缩判断；③④求出，然后举例排除.【详解】对于①：，则，则，即，假设长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形，则为斜边，所以，所以，所以或，与矛盾，故①错误；对于②：，当且仅当等号成立，所以，所以，所以，②正确；对于③：由已知，此时，所以不成立，③错误；对于④：由已知，此时，所以不成立，④错误.故答案为：②.【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达到排除的目的.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明面可得结论；（2）先证明出两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）斜线段的长度乘以线面角的正弦可得点到面的距离.【小问1详解】取线段的中点，连接，因为四边形ABCD为菱形，且，所以，为等边三角形，所以，又面，所以面，又面，所以；【小问2详解】由，为边长为2的等边三角形可得，所以，结合面可得两两垂直，如图建立空间直角坐标系，，，设面的法向量为，直线与平面所成角为，则，取得，，即直线与平面所成角的正弦值为；【小问3详解】由（2）得点D到平面的距离为.17. 【答案】（1）1 （2）【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解；以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解.【小问1详解】由题意可知：，因为函数的最小正周期为，且，所以.【小问2详解】由（1）可知：，因为，则，可知当，即时，取到最大值3，即.若条件①：因为，由正弦定理可得，又因为，可得，且，则，可得，所以，由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为；若条件②；因为，由正弦定理可得：，则，因为，则，可得，即，且，所以，由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为；若选③：因为，则，整理得，且，所以，由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为.18. 【答案】（1）0.3 （2）分布列见详解；元 （3）（答案不唯一，满足即可）【分析】（1）根据可得A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求解；（2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望；（3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为，由题意可知：Y的可能取值为，求相应的概率，进而可得期望，令运算求解即可.【小问1详解】设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为，用频率估计概率可得：，记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件，所以.【小问2详解】由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，则有：，，所以X的分布列为X的期望（元）.【小问3详解】由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为，设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为，由题意可知：Y的可能取值为，则有：，，，所以Y的期望（元），令，即，解得，例如符合题意.19. 【答案】（1）； （2）【分析】（1）线段为直径的圆过C的上下顶点，得，即，然后计算离心率，从而点代入可得椭圆C的方程并可求短轴长；（2）由题可知，的面积等于，所以求的值；由，得，进而得点的坐标关系，即，将点代入C，求得，再由，得 ，即，从而计算的面积即可.【小问1详解】设，上下顶点分别为.由以线段为直径的圆过C的上下顶点，得，得，即.因为，即，所以，由点在C上，得，，解得，所以，则，短轴长.【小问2详解】根据题意，画出图象如图所示：因为，所以，又，则，即，.设，由得，即，因为点在椭圆上，所以，即，两式相减得，即，，又点在轴的上方，所以.又得，即于是.20. 【答案】（1） （2）上单调递减，上单调递增 （3）【分析】（1）求导，然后根据列式计算即可；（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.【小问1详解】由已知，则，由于曲线在处的切线为x轴，所以，所以；【小问2详解】当时，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又当时，恒成立，，，所以当时，时，，所以在上单调递减，在上单调递增；【小问3详解】由已知，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又当时，恒成立，且，当时，，即在上有且只有一个零点，设为，当，即，解得，此时若，解得，在上单调递减，若，解得或，在上单调递增，此时在处取极小值，不符合题意，舍去；当，即，解得，此时若，解得，在上单调递减，若，解得或，在上单调递增，此时在处取极大值，符合是的极大值点，当时，即，解得，此时恒成立，无极值点，综上所述：a的取值范围为.【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.21. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是.【分析】（1）直接根据定义求解；（2）分情况讨论证明，故可推知和不能同时为零，进而得到结论；（3）对的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.【小问1详解】以为首项的最长递增子列是，以为首项的最长递减子列是和.所以，【小问2详解】对，由于是的一个排列，故.若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，得到一个以为首项的更长的递增子列，所以；而每个以为首项的递减子列都不包含，且，故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以.这意味着；若，同理有，，故.总之有，从而和不能同时为零，故.【小问3详解】根据小问2的证明过程知和不能同时为零，故.情况一：当为偶数时，设，则一方面有；另一方面，考虑这样一个数列：，.则对，有，.故此时.结合以上两方面，知的最小值是.情况二：当为奇数时，设，则一方面有；另一方面，考虑这样一个数列：，.则对，有，.故此时.结合以上两方面，知的最小值是.综上，当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是.【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数，再说明该表达式在某种情况下能取到，就得到了最小（或最大）值是，这便是“求最小（或最大）值”的本质. 而在这个过程中，“想到的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到的取值”无需交代，不影响解答的正确性. 换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的. 在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5X210.5P0.30.50.2