2024北京市第四中学高三下学期三模数学试题及答案

这是一份2024北京市第四中学高三下学期三模数学试题及答案，共11页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
2.如果复数（其中为虚数单位，为实数）为纯虚数，那么（ ）
A.1B.2C.4D.
3.已知，且，则（ ）
A.B.C.D.
4.函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
5.已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ）
A.4B.5C.6D.7
6.若，使得对任意成立，则可以是（ ）
A.B.C.D.
7.已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知数列的通项为，则“”是“，”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9.已知，若存在（，，彼此不等），使得，设的最大值为，最小值为，则（ ）
A.B.C.D.
10.已知等比数列的公比为，前项和为，下列结论正确的是（ ）
A.若，则是递增数列或递减数列
B.若，，则
C.若，则，使得，
D.若，则有最大值
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，含有的项的系数是________.
12.双曲线：的离心率是________，渐近线方程是________.
13.已知命题：“中，若，，则为钝角三角形”.能说明为假命题的一个的值为________.
14.已知函数若的值域为，则的一个取值为________；若是上的增函数，则实数的取值范围是________.
15.直线与抛物线：交于，两点，点是抛物线准线上的一点，记（），其中为抛物线的顶点.给出下列命题：
①，使得与平行；
②且，使得与垂直；
③不可能是等边三角形；
④无论点在准线上如何运动，总成立.
其中，所有正确命题的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，为边上的一点，，求的面积.
17.（本小题14分）
如图，在三棱锥中，，， 为的中点.
（Ⅰ）证明：.
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三棱锥存在.
（ⅰ）证明：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值.
① ② ③
18.（本小题13分）
某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种，累计得分高者获胜.
方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投3次，如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分；
已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立.
（Ⅰ）求甲得分不低于2分的概率；
（Ⅱ）求乙得分的分布列及期望；
（Ⅲ）甲，乙谁胜出的可能性更大？直接写出结论.
19.（本小题15分）
已知椭圆：.
（Ⅰ）求椭圆的离心率和长轴长；
（Ⅱ）已知直线与椭圆有两个不同的交点，，为轴上一点.是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由.
20.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性；
（Ⅲ）当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
21.（本小题15分）
项数为的数列是的一个全排列，如果它满足对任意，当是奇数时，；当是偶数时，，则称是交错全排列，并称集合为它的峰值集.
（Ⅰ）分别判断下列数列是否为1，2，3，4的交错全排列.如果是，求出它的峰值集：
①3，4，1，2； ②2，1，4，3；
（Ⅱ）设，，，，，是1，2，3，4，5，6的交错全排列，且它的峰值集是，求这个数列；
（Ⅲ）设，求峰值集是的的交错全排列的个数.
2024北京四中高三数学保温测试参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
（1）B （2）A （3）B （4）D （5）C
（6）C （7）B （8）A （9）D （10）C
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）-21 （12），
（13）答案不唯一， （14），
（15）②③④
三、解答题共6小题，共85分。
16.（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为
所以由正弦定理可得，
即.
所以.
所以.
因为.
所以.
因为，所以.所以.
因为，所以.
（Ⅱ）.所以.
因为，，.
所以由余弦定理得，即.
所以.
因为.所以为直角三角形.
所以.所以.
所以.
所以的面积是.
17.（本小题14分）
解：（Ⅰ）连结，.
；同理得
；所以平面
所以
（Ⅱ）选择①不得分
选择（2）
（ⅰ）因为为的中点，，.
所以，
因为，所以
因为，所以.所以.
因为.所以平面.
（ii）由题意得：
同理得
则
得：，由（Ⅰ）可得：
，平面
所以，，， 两两垂直，建立如图所示坐标系
则，，，
，设平面的法向量为
则，
平面的法向量，设二面角的大小为，显然为锐角，
可得：
选择（3）
（ⅰ）因为为的中点，
所以
因为，
所以平面.
（ⅱ）由（Ⅰ）得：，，可得：平面，由题意
则，可得为直角三角形，
，，两两垂直，建立如图所示坐标系
则，，，
，，
设平面的法向量为
则，
平面的法向量，
设二面角的大小为，显然为锐角，
可得：
18.（本小题13分）
（Ⅰ）解：设甲选择方式一参加比赛得分为
设甲得分不低于2分为事件
则
（Ⅱ）设乙选择方式二参加比赛得分为，的可能取值为0，2，4，6
，，
所以的分布列为
所以
（Ⅲ）甲获胜的可能性更大.
（理由：若甲胜，则可能结果为甲3分，乙0分、2分；甲2分，乙0分；甲1分，乙0分。此时甲胜的概率.
若乙胜，则可能结果为乙6分，甲0分、1分、2分、3分；乙4分，甲0分、1分、2分、3分；乙2分，甲0分、1分，此时乙获胜的概率.因此甲获胜的可能性更大。）
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意：， ，所以.
因为，所以，.
所以.
所以椭圆离心率为，长轴长为4.
（Ⅱ）联立消整理得：.
因为直线与椭圆交于、两点，故，解得.
设，，则，
设中点，则，，
故
假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，故，
所以，解得，故
又因为，所以.
所以，即.
整理得.
所以，
代入，整理得，即.
当时，点坐标为；当时，点坐标为.
此时，是以为直角顶点的等腰直角三角形.
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）.
因为所以
所以切线方程为.
（Ⅱ）当时，，.
，在单调递增，且.
当时，；当时，.
所以函数在单调递减，在单调递增.
（Ⅲ）令，
当时，恒成立等价于恒成立.
由于，，
所以当时，在单调递增，.
①当即时，，
函数在单调递增，所以在恒成立，符合题意.
②当即时，，，
若，即时，在恒小于0
则在单调递减，，不符合题意.
若，即时，存在使得.
所以当时，，则在单调递减，
，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
21.（本小题15分）
解：（Ⅰ）①否 ②是，峰值集是.
（Ⅱ）这个数列是2，1，4，3，6，5.
因为大于和，大于和，
所以和不可能是2，因此.
由得.
所以，中一个是3，一个是5，因此，
于是.
由，得.
因此有.
（Ⅲ）.
显然，只需要证对任意的，.
任取峰值集是的的交错全排列.
①如果，则或2，那么把中唯一的1或2变为1，
其余数减去2，则构成的交错全排列，且峰值集为.显然过程是可逆的，因此这样的的个数是.
②如果对某个，，则，
或，.则把中所有数减去2，则构成的交错全排列，且峰值集为.显然过程是可逆的，因此这样的的个数是.
0
2
4
6