精品解析：河南省部分重点高中（金科未来）2023-2024学年高二下学期5月大联考数学试题

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注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定，再根据集合交集的定义求解.
【详解】由，解得，所以；
又由，解得，所以.
所以.
故选：B.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数四则运算可得，，即可得模长.
【详解】由题意可得，则，
所以.
故选：A.
3. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，令，利用导数求的单调递减区间.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得，
所以函数的单调递减区间是.
故选：B.
4. 若直线与圆相切，则圆的半径为（ ）
A. 2B. 4C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解.
【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为.
故选:C.
5. 从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解.
【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.
从而，，故.
故选：A.
6. 已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由分析可知，结合投影向量的定义分析求解.
【详解】由，则，整理可得，
所以在方向上的投影向量为.
故选：D.
7. 已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数单调性以及奇偶性分大于1或小于1进行讨论即可得解.
【详解】由是奇函数及在上单调递增，
所以，则关于对称，
当时，，此时若，则，即，所以，
当时，，此时若，则，即，所以，
综上所述，当且仅当或时，.
故选：C.
8. 已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当时，的最小值为，然后分是否大于1，讨论在时的最小值，由此分别列出不等式即可求解.
【详解】当时，易知的最小值为，
当时，，令，解得，
若，则在上单调递增，且时，，
所以只需，解得或，
又，所以，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
成立，所以符合题意，
综上，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：涉及到含参分段函数的最值时，一般讨论时尽量做到有序讨论，这样可以不充不漏，从而即可顺利得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，点，是曲线的两个相邻的对称中心，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 在区间上的最大值为2
C. 直线是曲线的一条对称轴D. 在区间上有3个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：根据题意结合正弦函数性质分析周期性，即可得结果；对于B：由选项A可知：，以为整体，结合正弦函数求最值；对于C：结合选项B中的最值分析判断；对于D：结合周期性分析判断.
【详解】对于选项A：设最小正周期为，且，
由题意可知：，可得，，故A正确；
对于选项B：由选项A可知：，
当时，则，
可知当，即时，取到最大值2，
所以在区间上的最大值为2，故B正确；
对于选项C：由选项B可知：当时，取到最大值2，
所以直线是曲线的一条对称轴，故C正确；
对于选项D：因为的最小正周期为，
且在一个周期长度内至多只有2个零点，故D错误；
故选：ABC.
10. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为（ ）
A. 若，则等差数列B. 若，则
C. 若，则是公差为的等差数列D. 若，则的最大值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】由递推数列、等差数列的性质即可逐一判断各个选项，从而得解.
【详解】当时，，所以为等差数列，A选项正确；
，所以是公差为-1的等差数列，C选项错误；
当时，，所以，B选项正确；
由可知，，所以，D选项正确.
故选：ABD.
11. 已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（ ）
A. 的准线方程为
B. ，，成等差数列
C. 若在的准线上，则
D. 若在的准线上，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】将抛物线方程化成标准形式即可判断A，设，，可以用表示，进一步判断B，设直线：，：，从而得到，进一步结合B选项分析可判断C，由抛物线定义结合基本不等式即可得解.
【详解】对A，抛物线：，抛物线的准线方程为，A选项错误；
对B，设，，
∵，∴，，，
∴，B选项正确；
对C，由上可知直线：，：，
解得，，，，C选项正确；
对D，，当且仅当时取等号，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得出，进一步结合，即可顺利判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中，的系数为_____________.（用数字作答）
【答案】-80
【解析】
【分析】直接利用二项式展开式，通过赋值即可得解.
【详解】的展开式的通项为，
令，的系数为.
故答案为：-80.
13. 已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得出，其中，结合离心率公式即可得解.
【详解】设渐近线的倾斜角为，则，即，
所以，离心率.
故答案为：.
14. 已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，，整理可得侧面积为，换元，结合基本不等式分析求解.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，且母线与底面所成角为，
则，，
可得圆锥侧面积为，
设，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该圆锥侧面积的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知数列满足，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）39
【解析】
【分析】（1）分析可得，结合等比数列的定义分析证明；
（2）由（1）可得，结合等差数列的性质列式求解.
【小问1详解】
因为，则，
且，可得，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列；
【小问2详解】
由（1）可得：，则，
由题意可得：，，
即，解得，所以的值为39.
16. 近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势. 已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：
（1）请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？
（2）为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望.
附：
参考公式：，其中.
【答案】（1）可以认为学生是否近视与体育运动时长有关
（2）分布列见详解，
【解析】
【分析】（1）根据题意结合分层抽样完善列联表，求，并与临界值对比分析；
（2）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望.
【小问1详解】
由题意可知：抽取50人中体育运动时长小于1小时的人数为，
据此可得列联表：
零假设：学生是否近视与体育运动时长无关，
可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出成立，
因此可以认为不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关.
【小问2详解】
由题意可知：的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为
的期望.
17. 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点.
（1）证明：；
（2）设为的中点，在棱上，满足平面，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）只需结合已知以及线面垂直的判定定理证明平面，再结合线面垂直的性质即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出的方向向量与平面的法向量，由向量夹角的余弦的坐标公式即可得解.
【小问1详解】
连接，设与交于点，因为，且，
所以，
所以，
所以，
又在直三棱柱中，，平面，平面，
故，
又，，平面，所以平面，
又平面，故；
小问2详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
设，，
因为平面，平面，平面，
所以，
则由，得，解得，
所以平面的一个法向量为，设与平面所成角为，
，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设有两个不同的正实数根，根据单调性可知的极值点，结合零点代换可得，构建，结合单调性分析可得，则，即可得取值范围.
【小问1详解】
当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法
（1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号；
（2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数；
（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解；
（4）求函数f(x)在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较，从而得到函数的最值．
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点为上的一个动点，求面积的最大值；
（3）若直线与交于两点，且，证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意结合离心率列式求，即可得方程；
（2）设，根据点到直线的距离结合三角函数分析可知：取到最大值，即可得面积最大值；
（3）设直线：，，，根据向量夹角结合向量运算分析可得，进而可得，即可得定点.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为，
由题意可知：，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）可知：，则直线的斜率为，且，
可知直线：，即，
因为点为椭圆上的一个动点，设，
则点到直线的距离，
其中，
可知当时，取到最大值，
所以面积最大值为.
【小问3详解】
由题意可知：直线的斜率存在，设直线：，，，
因为，则，即，
又因为点在椭圆上，则，即，
可得，
同理可得：，
且，，
可得，则，
整理可得，
显然，则，即，
可得直线：，
所以直线过定点.
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
体育运动时长小于1小时
体育运动时长大于或等于1小时
合计
近视
4
无近视
2
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
体育运动时长小于1小时
体育运动时长大于或等于1小时
合计
近视
8
4
12
无近视
2
36
38
合计
10
40
50
0
1
2
3