精品解析：江西省抚州市临川第一中学2024届高三下学期5月训练检测数学试题

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1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.
选择题部分（共58分）
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（ ）
A. 2或B. 2C. D. 0
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，是单位向量，若，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线和平面，则的一个必要条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. 与平面成等角
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
7. 定义在上函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列通项公式为，数列的通项公式为，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列，则484是数列中的第（ ）
A. 12项B. 13项C. 14项D. 15项
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于函数，下列说法中正确有（ ）
A. 是奇函数B. 在区间上单调递增
C. 为其图象的一个对称中心D. 最小正周期为
10. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，点是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 该椭圆的蒙日圆的方程为
B. 存在点使的面积为25
C. 使的点有四个
D. 直线的斜率之积
11. 日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（ ）
A.
B
C. 设，则为等比数列
D. 设，则
非选择题部分（共92分）
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：，，则这15人成绩的第80百分位数是_______．
13. 在菱形中，，，将沿翻折，使二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为______.
14. 已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为________.
四、解答题:本题共5小题共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列前项和．
16. 已知函数在处有极值2．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：．
17. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
18. 平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
19. 一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）.
（1）在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；
（2）在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为，设最后一个士兵离开独木桥的时间为秒，求的分布列和期望；
（3）若初始状态共个士兵，初始方向向右的概率为，计算自左向右的第个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率，以及当取得最大值时取值．