湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三高考考前数学测试卷

这是一份湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三高考考前数学测试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

总分：150分，考试时间：120分钟 命审题：数学核心素养小组
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.设复数，则的虚部是（ ）
A.1B.-1C.D.
2.设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A.B.3C.2D.
3.若命题“，”是假命题，则不能等于（ ）
A.B.0C.1D.
4.若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（ ）
A.B.C.D.
5.已知数列的前项和为，若是等差数列，且，，则（ ）
A.1B.C.10D.
6.如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（ ）
A.B.C.D.
7.（ ）
A.B.C.D.
8.如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为4，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（ ）
A.为正三角形B.平面
C.平面D.点到平面的距离为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A.存在实数使得B.方程有唯一正实数解
C.方程有唯一负实数解D.有负实数解
10.已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
11.设点（）是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.直线与抛物线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为______.
13.已知，，若有且只有一组数对满足不等式
，则实数的取值集合为______.
14.在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在等差数列（）中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，证明.
16.（15分）
如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥，且.
图1 图2
（1）求翻折后线段的长；
（2）点满足，求与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
已知函数，.（注：是自然对数的底数）
（1）若无极值点，求实数的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
18.（17分）
已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
19.（17分）
泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，
其中，则称服从泊松分布，记作.
（1）设，且，求；
（2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.
（ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率；
（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.
2024届高三年级高考考前素养卷
数学试题参考答案
总分：150分 考试时间：120分钟 命审题数学核心素小组
一、单选题，本题共8小题，每小题5分、共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】，则，虚部是1，选A.
2.【答案】D
【解析】∵，
∴，∴离心率
3.【答案】C
【解析】淘汰法或写出真命题，然后根据王元思想求出的取值范围.
4.【答案】B
【解析】函数向左平移个单位后为，
当时，，
∵单调递增，且，∴，∴.
5.【答案】B
【解析】设数列的公差为，首项为，
∵，两边同除以6得：，
∴，解得，又，
即，解得，故选：B.
6.【答案】C
【解析】（方法一）设，∵，∴，
∴，∴，
∴，∵，
∴，，，代入解得，
∴，∴，故选C.
（方法二）因为，，所以为等腰直角三角形，
又因为，为中线，所以，，所以.因为，所以，
所以，即，
所以.
过点作交于点，所以，
因为，设，则，
所以，解得，∴.选C.
7.【答案】B
【解析】
∵
.
其中，∴
，选B.
8.【答案】C
【解析】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，
设圆锥底面半径为，则，∴，∴，
∵为的中点，为的中点，∴，且，
∴，为等腰直角三角形，选项A错误；
选项B，若平面，则，直角中，，
∴，选项B错误；
选项C，∵，∴平面，选项C正确；
选项D，∵，，∴平面，∴平面平面，
∴到直线的距离即为到平面的距离，
又∵，∴到直线的距离等于到直线的距离，为，选项D错误；
故正确选项为C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.【答案】ABC
【解析】由题意可知，函数，
而，结合图像易得.故正确选项为ABC.
10.【答案】ABD
【解析】∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，故A正确；
∵，∴，
又∵
解得，，故B正确；
，故C不正确；
，故D正确；
综上，选ABD
11.【答案】BCD
【解析】∵直线的斜率为，
∴直线的方程为，
即，
∵，∴直线的方程为，
联立，消得：，
∵直线与抛物线相切，∴，
∴，∴选项A错误；
同理可得，∴，
∵，∴
整理得，
∵，∴，∴选项B正确；由可得，
代入得，∴选项C正确；
将直线的方程与抛物线联立，
同理可得，
∴直线与抛物线相切，∴选项D正确：综上所述，正确选项为BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】：函数的导数，∵函数在处的倾斜角为，
∴，∴，∴
13.【答案】
【解析】如图所示，，，，，，，
∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为
14.【答案】
【解析】设点在平面内的投影为，因为直线，与平面所成角分别为，
，且，则，根据线面夹角关系可知，，
所以，由阿波罗尼斯圆可知，投影在圆上运动，以为轴，过的中点作垂线，建立如图所示直角坐标系.令，由题可知，，.
则，化简得，
可知在以为圆心，半径为的圆上，
当最小时，最小，即三棱锥的体积最小，
此时，，，，
∴点在底面上的射影在上，且，又
∴此时三棱锥的外接球的球心为的中点，外接球的半径，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为即解得，
所以.
所以数列的通项公式为
（2）∵，∴
（方法一）
∴
化简得：
∴
（方法二）
∴
16.【解析】（1）由，，，，平面，
可得平面，又平面，则，
在中，根据勾股定理，
（2）如图，过点作于点，由（1）可知，平面平面，交于，
∴平面，∵，又，，∴为直角三角形，
∴
如图，以为轴，为轴，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，有，，
设平面的法向量，则，
令，解得其中一个法向量；于是，
，
故与平面所成角的正弦值为.
17.【解析】（1）（方法一）易知，由无极值点可知，
无变号零点，令（*），
显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意；
故（*）可变形得，
令，原问题等价于的图像与无相交交点，
又，则，，单调递增；
，，单调递减；
又，；，；；
故，解得，
综上，
（方法二）构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当，；当，，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，，
设，，故，
故在上为增函数，
故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点.
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：
（2）（方法一）由可知，，
即，
令，易知，
则，
若，即时，
则，，单调递增，，不符合题意；
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
又，故令，
解得，即，
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减
故令
记，则恒成立，
故当时，，即，
即对于任意，恒成立，
综上所述，
（方法二）①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，设，
则
.
可设，可得，
设，，
由，可得恒成立，可得在递增，
在递增，所以，
即恒成立，即在递增，所以，
再令，可得，当时，，在递增；
时，，在递减，所以，
所以，综上可得的取值范围是.
18.【解析】
（1），则：.
（2）设直线：，，
联立，
得，
且，则
ⅰ）则
设，则.
则.
ⅱ）设，则.
设直线，：，，
由，则到直线，的距离相等，
即.
代入，化简得.
则，
通分并整理得
.代入得
.
化简得.
故.则.
（注：其他解法对照给分）
19.【解析】：（1）由得，解得.
故.
（2）（ⅰ）设为甲地区某天需要的水电工数目，则，且.
因为，，，
所以.那么，某天至少需要2名水电工的概率约为
（ⅱ）设为乙地区某天需要的水电工数目，则，且.
因为，，，
所以.
于是
.
那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为
.