押浙江卷第22题（四边形综合）（原卷版+解析版）

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押题方向：四边形综合
1．（2023•杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
2．（2023•绍兴）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
3．（2023•杭州）在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．
（1）若ED＝，求DF的长．
（2）求证：AE•CF＝1．
（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG＝ED，求ED的长．
4．（2023•丽水）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
（1）用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画AF⊥DE于点F；
（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．
5．（2023•衢州）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G．
（1）求证：GE＝GF．
（2）当AE＝2DG时，求AE的长．
（3）令AE＝a，DG＝b．
①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4．
②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K．记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a＝1时，求的值．
6．（2023•绍兴）在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB＝12，AD＝10，∠B为锐角，且sinB＝．
（1）如图1，求AB边上的高CH的长；
（2）P是边AB上的一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，D'，
①如图2，当C'落在射线CA上时，求BP的长；
②当△AC'D'是直角三角形时，求BP的长．
7．（2023•宁波）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长．
1.平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；
（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。
2.矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。（5）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
3.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
4.正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；（5）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
1．如图，已知四边形ABCD是菱形，延长AD至点E，使AE＝2BC．
（1）求证：∠ACE＝90°；
（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCE的面积．
2．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OAB＝∠OBA．
（1）求证：▱ABCD是矩形．
（2）若AD＝4，∠AOB＝120°，求对角线AC的长．
3．（2024•萧山区一模）如图，菱形ABCD中，F是CD上一动点，过F作FG⊥AC交BC于点G，垂足为E，连结AF，AG．
（1）求证：AF＝AG．
（2）当∠DAB＝100°，AF＝AD时，试求∠AFG的度数．
4．【背景】如图（1），点E，F分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，CE与DF相交于点P，连接BP．同学们在研究图形时，作DH∥BP交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段DH相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】若把正方形ABCD改成平行四边形ABCD，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】在图（2）的条件下连接BH，那么四边形BHDP的面积和△BPF的面积有什么关系？请说明理由．
5．已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE、CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝6，DE＝3，在△DEF旋转的过程中，请直接写出线段BG长度的最小值为 ．
6．在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张A4纸进行折纸．
下面给出了“遥遥领先”小组利用半张A4纸（矩形ABCD的长：宽＝折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理．
（1）折法一：如图1，将矩形ABCD的顶点D与BC边上的任意一点G重合对折，折痕为EF．求证：△EFG是等腰三角形．
（2）在折法一的条件下，若E是AD的中点，求sin∠EGF的值．
（3）折法二：如图2，先折出一个正方形CDHF，折痕为CH，再将点D折到BF上并让折痕过点F，折痕为EF，点D的对应点为点G．求证：EH＝BG．
7．综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当AB＝4，AD＝8，BF＝3时，连结B′C，则B′C的长为 4 ．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？
8．综合与实践
问题情境：
如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，过点A作AE⊥BD，E为垂足，过点D作AE的平行线，过点A作BD的平行线，两线相交于点F．
问题解决：
（1）判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）如图2，将四边形AEDF绕着点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形AE′D′F′，且C，E′，F′三点在同一条直线上，过点B作BG⊥CE′，G为垂足，连接BE′并延长交DF′于点H，
①求证：G是CE′的中点；
②若正方形ABCD的边长为2，请直接写出BH的长．
9．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），AF⊥DE于点O，交BC于点F，点G在OD上，OG＝OA，∠DOF的平分线交CG于点M，连接DM并延长与AF的延长线交于点N．
（1）求证：AE＝BF；
（2）点E在AB边上运动时，探究∠ODM的大小是否发生变化？若不变，求出∠ODM的度数；若变化，说明理由；
（3）若AB＝10，当点E运动到AB中点时，求BN的长．
10．如图1，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠ACE＝90°，M是AC上的动点（不与点A、C重合），连接BM，作BN⊥MB，交射线CE千点N，连接MN．
（1）求证：△ABM≌△CBN；
（2）点M在运动过程中，四边形BMCN的面积是否改变，若不变，请求出四边形BMCN面积；若改变，请说明理由；
（3）如图2，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，AB＝4，AD＝4，其他条件不变．
①请判断线段AM与线段CN的数量关系，并说明理由；
②若BC把四边形BMCN的面积分为1：2两部分，求此时线段CN的长．
11．如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在AB上，FH⊥AC于点H，分别交AE、AD于点G、点P．
（1）求证：∠AFH＝∠CAE；
（2）若∠GFE＝45°，求证：AF＝AE；
（3）若∠GFE＝45°，且，S△AFG＝6，求菱形ABCD的边长．
12．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，E为BC的中点，求AE的取值范围．
【解决问题】（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程．
【灵活运用】（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围．
（3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为 1＜EF＜7 ．
【迁移拓展】（4）如图④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝8，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF＝ ．
13．已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．
（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时：
①依题意补全图1；
②求证：BE＝DF；
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明．
2023年浙江真题
考点
命题趋势
2023年衢州卷、丽水卷第22题宁波卷第23题
四边形综合题
从近几年浙江中考来看，特殊四边形的性质与四边形的综合问题在解答题中经常出现，考查特殊四边形的性质的试题难度不大，四边形综合问题有一定的难度，考查四边形的判定与性质与其他知识的综合应用。预计2024年浙江卷还将继续考查特殊四边形的性质与四边形综合问题。
2023年温州卷第21题
矩形的性质
2023年绍兴卷第22题、杭州卷第21题
正方形的性质
2023年舟山嘉兴卷第19题
菱形的性质