押浙江卷第23题（二次函数的应用与综合）（原卷版+解析版）

这是一份押浙江卷第23题（二次函数的应用与综合）（原卷版+解析版），文件包含押浙江卷第23题二次函数的应用与综合原卷版docx、押浙江卷第23题二次函数的应用与综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
押题方向：二次函数应用及综合问题
1．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
2．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
3．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
4．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
5．（2023•湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
6．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
7．（2023•湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为（1，5）．
（1）求c的值及顶点M的坐标．
（2）如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位（0＜t＜3）得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x2﹣4x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A′B′于点G．
①当t＝2时，求QG的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
8．（2023•金华）如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E．
（1）如图2，若抛物线经过原点O．
①求该抛物线的函数表达式；
②求的值．
（2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由．
9．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
10．（2023•衢州）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的函数表达式为s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．
（1）求出启航阶段s（m）关于t（s）的函数表达式（写出自变量的取值范围）．
（2）已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当t＝90s时，求出此时龙舟划行的总路程．
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，t≤85.20s视为达标．请说明该龙舟队能否达标．
（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
1．二次函数的应用：应用待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键.
2．二次函数的综合问题：熟练掌握待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象上点的特征是解题的关键．
3．要重视数形结合在解决二次函数综合问题中的作用.
1．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，A（x1，m），B（x2，m）为该函数图象上的任意两点，其中x1＜x2，求当x1，x2为何值时，m＝8a；
（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，2），当a＜b时求3a+b的取值范围．
2．在二次函数y＝﹣x2+ax+1中（a≠0）．
（1）当a＝2时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②当0≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）若A（a﹣2，b），B（a，c）两点都在这个二次函数的图象上，且b＜c，求a的取值范围．
3．已知二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．
（3）若点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，则b﹣a的最大值为多少？
4．定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]．
如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）．
（1）若a＝2．
①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值；
②已知，求p的值．
（2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值．
5．设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
（1）若m＝0时，求二次函数的表达式；
（2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值；
（3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20．
6．（2024•浙江模拟）已知点A（m，p），B（3，q），C（m+2，p）都在二次函数y＝2x2+bx+4的图象上．
（1）若m＝1，求该二次函数的表达式；
（2）求p+q的最大值；
（3）若p＜q＜4，求m的取值范围．
7．已知二次函数y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函数y2＝ax+m．
（1）若二次函数y1的图象过点（1，0）和（2，2），求二次函数的表达式．
（2）若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点A，且A不是原点．
①求证：m＝ab；
②若二次函数y1与一次函数y2的另一个交点B为y1的顶点，求b的值．
8．（2024•宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y＝y1+y2．
（1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0．
（2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式．
（3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1﹣x2的值．
9．如图，小车从点A出发，沿与水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：v＝10t，高度h与时间t满足关系：（g≠0，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面BE的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．
（1）当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？
（2）小车继续在粗糙的水平地面BE上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面BE上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：+vT（a≠0，a是常数），当v＝20（厘米/秒）时，s＝50（厘米），T＝5（秒）．如果把小车出发点A离水平地面BE的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间T＝4秒时，小车在水平地面BE上滑行的距离为多少？
10．（2024•北仑区一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识!通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间t与地铁到停止线的距离S之间的表格信息：
当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考：
（1）依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法；
（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 二次 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式；
（3）地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．
（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间）
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），且a＞b＞c，a+b+c＝0．
（1）当b＝0时，求方程ax2+bx+c＝0的根；
（2）已知该二次函数的对称轴为x＝m，求证：；
（3）已知该二次函数的图象与x轴，y轴分别交于A（x1，0），B（x2，0），C（0，c）三点（A在B的左侧），且x1+4x2＝0，若△ABC为直角三角形，求该二次函数表达式．
11．（2024•浙江模拟）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE＝BC，OF＝DF＝BD，这个大棚用了400根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元．
（1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当CC′＝1米，求GG′的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
12．（2024•镇海区一模）根据以下素材，探索完成任务．
13．（2024•上城区校级模拟）
14．（2024•西湖区一模）在平面直角坐标系中，点（1，m）和（3，n）都在二次函数y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常数）的图象上．
（1）若m＝n＝﹣6，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴．
（2）若a＝﹣1，m＜n，求b的取值范围．
（3）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）也都在该二次函数图象上，若mn＜0且a＜0，试比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C为顶点．
（1）请求出二次函数的表达式及图象的顶点C的坐标．
（2）若点E为抛物线对称轴左侧一点，过点E作x轴平行线交对称轴于点D，若ED＝m，试用m的代数式表示CD．
（3）连结EC，过点C作CF⊥EC交抛物线于点F，过点F作x轴的平行线交对称轴于点G，证明：GF•DE＝1．
16．已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0．
（1）当t＝0时．
①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？
②当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，求m，n之间的关系式．
（2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由．2023年浙江真题
考点
命题趋势
2023年湖州卷第21题
二次函数的应用
从近几年浙江各地中考来看，解答题中二次函数考查内容主要是二次函数的实际应用、二次函数综合，其中二次函数的综合题经常以压轴题出现，试题的整体难度比较高，预计2024年浙江卷还将重视二次函数综合问题的考查。
2023年湖州卷、衢州卷、绍兴卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第23题、杭州卷第22题、金华卷第24题
二次函数的综合
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…
t（秒）
0
4
8
12
16
20
24
…
S（米）
256
196
144
100
64
36
16
…
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．

素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2；
（2）9名跳绳同学身高如右表．

身高（m）
1.70
1.73
1.75
1.80
人数
2
2
4
1
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：
（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适；
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．

问题解决
任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．
请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
设计喷水方案
素材1
图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米


素材2
如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置OP（OP⊥CD），要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱（如图3），乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8m（如图4）．

问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2
选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度
若选择甲装置（图3），为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，OP不能再升高，求此时OP的最高高度．
任务3
选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围
若选择乙装置（图4），为了美观，要求OP喷出的水柱高度不低于5m，求喷水装置OP高度的变化范围．