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高中数学学考复习阶段复习卷4含答案
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这是一份高中数学学考复习阶段复习卷4含答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间:80分钟,满分:100分)
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.如图所示,F为平行四边形ABCD对角线BD上一点,BF=13FD,则AF=( )
A.34AB+14ADB.34AB-14ADC.14AB+34ADD.14AB-34AD
2.在△ABC中,若A=105°,C=30°,b=22,则c=( )
A.2B.3C.2D.1
3.(2023浙江台州八校联盟)如图,在圆C中,AC=5,点A,B在圆上,AB=4,则AB·AC的值为( )
A.25B.8C.10D.16
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若a2+c2+ac=12,b=2,B=π3,则△ABC的面积为( )
A.23B.2C.3D.1
5.(2021浙江学考)某简谐运动的图象如图所示,若A,B两点经过x秒后分别运动到图象上E,F两点,则下列结论不一定成立的是( )
A.AB·GB=EF·GBB.AB·AG≥EF·AG
C.AE·GB=BF·GBD.AB·EF>BF·AG
6.(2023浙江A9协作体)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法错误的是( )
A.若A>B,一定有sin A>sin B
B.若a2+b2-c2<0,那么△ABC一定是钝角三角形
C.一定有bcs C+ccs B=a成立
D.若acs A=bcs B,那么△ABC一定是等腰三角形
7.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2A=B+C,a=3,c=2b,则△ABC的面积为( )
A.32B.332C.32D.33
8.(2023浙江精诚联盟)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是3(b2+c2-a2)4,则A=( )
A.π3B.2π3C.π6D.5π6
9.(2023浙江余姚中学)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=2π3,b=23,b2+c2-a2=3bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E,则AE=( )
A.6B.7C.22D.3
10.
如图,矩形LMNK,LM=6,sin∠MLN=23,圆E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设MP=λML+μMN,λ,μ∈R,则λ+μ的最小值是( )
A.1B.54C.74D.5
11.(2023浙江奉化)e1,e2均为单位向量,且它们的夹角为π4,设向量a,b满足|a+e2|=24,b=e1+ke2(k∈R),则|a-b|的最小值为( )
A.2B.22C.24D.324
12.(2023浙江北斗联盟)在扇形中,OA=1,∠AOB=90°,M是OB的中点,P是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则PM·PN的最小值为( )
A.0B.1-52C.5-32D.1-52
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)
13.(2023浙江学军中学)在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有唯一解的是( )
A.a=9,b=10,c=15B.b=6,c=52,B=45°C.a=3,b=2,B=120°D.b=6,c=63,C=60°
14.(2022浙江绍兴)已知△ABC为锐角三角形,P为此三角形的外心,∠BAC=30°,△PBC,△PAC,△PAB面积分别为12,x,y,则以下结论正确的是( )
A.∠BPC=120°B.BP·BC=33
C.△ABC的外接圆半径为R=233D.x+y的最大值为33
15.(2023浙江精诚联盟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,B=π6,则下列结论正确的是( )
A.当b=32时,△ABC有两解
B.当b=3时,△ABC有两解
C.当A为钝角时,△ABC的面积的取值范围为0,32
D.当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长的取值范围为(3+3,2+23)
16.
如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1,点F为边AB中点.若点E为边CD上的动点,则( )
A.△EAB面积的最小值为34B.当E为边CD中点时,2EF=DA+CB
C.2|EF|≥|DA|+|CB|D.|EA|·|EB|的最小值为2116
三、填空题(本大题共4小题,共15分)
17.已知△ABC的重心为G,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若33aGA+12bGB+cGC=0,则角A为 .
18.已知e是单位向量,向量a满足a2-2a·e-3=0,则|a-4e|的取值范围是 .
19.
(2023浙江台州八校联盟)在△ABC中,B=60°,BA=2,CD=3BC,对任意μ∈R,有|CA-(μ-1)BC|≥|AC|恒成立,点P在直线BA上,则PC+PD的最小值是 .
20.(2023浙江杭州)在△ABC中,点D在边BC上,B=30°,AD=2,CD=2BD,若BC边上的高与AB边上的高的比为33,则b= .
四、解答题(本大题共3小题,共33分)
21.
(11分)(2023浙江杭州S9联盟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,bcsA2=asin B,BC=3,如图所示,点D在线段AC上,满足AB=AD.
(1)求A的值;
(2)若BD=2CD,求AB·CB的值.
22.(11分)(2023浙江湖州)在△ABC中,设角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知sinA-sinBsinC=a-ca+b.
(1)求角B的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC的面积S的取值范围.
23.(11分)(2023浙江余姚中学)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,且acs B+3asin B-b-c=0.
(1)求A;
(2)若锐角三角形ABC的面积为3,求b的取值范围.
阶段复习卷(四)
1.A 解析 如题图所示,由平行四边形ABCD,得AD=BC,利用平行四边形法则得出BD=BA+BC,由BF=13FD,则BF=14BD,再利用三角形法则,得AF=AB+BF=AB+14BD=AB+14(BA+BC)=34AB+14AD.故选A.
2.A 解析 因为A=105°,C=30°,所以B=45°,
由bsinB=csinC,即2222=c12,解得c=2,故选A.
3.B 解析 如图所示,在圆C中,过点C作CD⊥AB于点D,则D为AB的中点,
在Rt△ACD中,AD=12AB=2,可得cs A=ADAC=25,
所以AB·AC=|AB||AC|cs A=4×5×25=8.故选B.
4.C 解析 由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,得4=a2+c2-ac.又a2+c2+ac=12,所以ac=4,
所以S△ABC=12acsin B=12×4×32=3.故选C.
5.B 解析 由图象可得y=sinπ2x,设Ex1,sinπ2x1,
则Fx1+1,csπ2x1.
因为AB·GB=(1,1)·(1,0)=1,EF·GB=1,csπ2x1-sinπ2x1·(1,0)=1,故A成立;
AB·AG=(1,1)·(0,1)=1,EF·AG=1,csπ2x1-sinπ2x1·(0,1)=2csπ2x1+π4,故B不一定成立;
AE·GB=x1,sinπ2x1·(1,0)=x1,BF·GB=x1,csπ2x1-1·(1,0)=x1,故C成立;
AB·EF=(1,1)·1,csπ2x1-sinπ2x1=1+csπ2x1-sinπ2x1,BF·AG=x1,csπ2x1-1·(0,1)=csπ2x1-1,故AB·EF-BF·AG=2-sinπ2x1>0,故D成立.故选B.
6.D 解析 对于A,因为在三角形中,A>B,所以a>b,
根据正弦定理asinA=bsinB=csinC,所以sin A>sin B,所以A正确;
对于B,因为a2+b2-c2<0,所以cs C=a2+b2-c22ab<0,所以90°对于C,由bcs C+ccs B=a,根据正弦定理,得sin Bcs C+sin Ccs B=sin A,即sin A=sin(B+C)=sin(180°-A)=sin A,所以C正确;
对于D,acs A=bcs B,即sin Acs A=sin Bcs B,sin 2A=sin 2B,解得A=B或A+B=π2,所以D错误.故选D.
7.B 解析 由2A=B+C,得A=π3,所以C=2π3-B,由c=2b,得sin2π3-B=2sin B,解得tan B=33,
∴B=π6,C=π2,由a=3及asinA=bsinB,得b=3,
∴S△ABC=12absin C=332.故选B.
8.A 解析 由余弦定理可得b2+c2-a2=2bccs A,A∈(0,π),由条件及正弦定理可得S=12bcsin A=3(b2+c2-a2)4=32bccs A,所以tan A=3,则A=π3.故选A.
9.A 解析 ∵b2+c2-a2=3bc,∴cs A=b2+c2-a22bc=32.
∵A∈(0,π),∴A=π6.
又B=2π3,∴C=π6,∴csinπ6=23sin2π3,则c=2332×12=2.
∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠AEB=π4,∴csin∠AEB=AEsinB,
∴AE=csin∠AEB·sin B=2sinπ4·sin2π3=222×32=6.故选A.
10.
B 解析 由已知建立如图所示的平面直角坐标系,由LM=6,sin∠MLN=23,解得MN=1255,则M3,-1255,N(3,0),L-3,-1255.
设P(cs θ,sin θ).
因为MP=λML+μMN,MP=cs θ-3,sin θ+1255,ML=(-6,0),MN=0,1255,
所以MP=cs θ-3,sin θ+1255=λ(-6,0)+μ0,1255,
即csθ-3=-6λ,sinθ+1255=1255μ,解得λ=3-csθ6,μ=512sinθ+1,
所以λ+μ=32+512sin θ-16cs θ=32+14sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+μ取得最小值,且最小值是54.故选B.
11.C 解析 设OA=a,OB=b,以e1所在的直线为x轴,垂直于e1所在直线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy(图略),则e1=(1,0),e2=22,22.
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),因为|a+e2|=24,所以x1+222+y1+222=18,所以向量a的终点A在以-22,-22为圆心,24为半径的圆上.
因为b=e1+ke2,所以(x2,y2)=1+22k,22k,所以y2=x2-1,所以向量b的终点B在直线y=x-1上.
又因为|a-b|=|OA-OB|=|BA|,所以|a-b|的最小值为直线y=x-1上的点与圆x+222+y+222=18上的点的距离的最小值,为|-22+22-1|1+1-24=24.故选C.
12.
D 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设P(cs t,sin t),M0,12,N(m,0),
则PM=-cs t,12-sin t,PN=(m-cs t,-sin t),
故PM·PN=1-12sin t+mcs t.
因为0≤m≤1,所以PM·PN=1-12sin t+mcs t≥1-12sin t+cs t.
又因为1-12sin t+cs t=1-14+1sin(t+φ)=1-52sin(t+φ)(其中tan φ=2),所以1-12sin t+cs t=1-52sin(t+φ)≥1-52,当且仅当sin(t+φ)=1时,等号成立,故选D.
13.AD 解析 对于A,三角形三边确定,三角形唯一,故A正确;
对于B,csin B=52×22=5,则c>b>csin B,故三角形有两个解,故B错误;
对于C,由余弦定理得cs B=a2+c2-b22ac=-12,又a=3,b=2,所以c2+3c+5=0,Δ=9-4×5<0,方程无解,所以无法构成三角形,故C错误;
对于D,由余弦定理得cs C=a2+b2-c22ab=12.又b=6,c=63,所以a2-6a-72=0,解得a=12或a=-6(舍去),
所以能确定三角形且三角形唯一,故D正确.故选AD.
14.
BD 解析 对于A,由题意画图,由圆的性质可得∠BPC=2∠BAC=60°,故A错误;
对于B,C,设△ABC的外接圆半径为R,因为S△PBC=12,∠BPC=60°,故12R2sin 60°=12,解得R2=233,故C错误;
易得△BPC为正三角形,故BP·BC=R2cs 60°=33,故B正确;
对于D,因为△ABC为锐角三角形,故P在△ABC内部,故S△ABC=x+y+12,当S△ABC最大时x+y取得最大值,
易得当A离BC最远时,S△ABC最大,此时AB=AC,x+y=S△PAB+S△PAC=2S△PAB=2×12×R2sin360°-60°2=33,故D正确.故选BD.
15.ACD 解析 对于A,asin B=2×12=1,故asin B对于B,b>a,且B=π6,所以△ABC有唯一解,故B错误;
对于C,根据正弦定理asinA=csinC,得c=asinCsinA=2sinCsinA,S△ABC=12acsin B=sinCsinA=sin(A+π6)sinA=32+12tanA.因为A∈π2,5π6,所以1tanA∈(-3,0),所以△ABC的面积的取值范围为0,32,故C正确;
对于D,bsinB=asinA⇒b12=2sinA,得b=1sinA,则△ABC的周长为a+b+c=2+1sinA+2sinCsinA=2+1sinA+2sin(A+π6)sinA=2+1+3sinA+csAsinA=2+3+2cs2A22sinA2csA2=2+3+1tanA2,
因为△ABC是锐角三角形,所以A∈π3,π2,
所以tanA2∈33,1,所以△ABC周长的取值范围是(3+3,2+23),故D正确.故选ACD.
16.AB 解析 当E在点D时,S△EAB取得最小值,且最小值为12×AB×AD×sin(180°-120°)=12×1×32=34,故A项正确;
当E为边CD中点时,EF=ED+DA+AF=EC+CB+BF,又因为ED+EC=0,AF+BF=0,所以2EF=DA+CB,故B项正确;
当E在D点时,由余弦定理,可得EF=72,所以2|EF|=7<1+3=|DA|+|CB|,故C项错误;
因为EA·EB=EF2-14,而|EF|min=AD+AF·sin(120°-90°)=1+14=54,所以(EA·EB)min=2116,又∠AEB∈0,π2,所以|EA|·|EB|>EA·EA=2116,故D项错误.故选AB.
17.π3 解析 ∵△ABC的重心为G,
∴GA+GB+GC=0,即GA+GB=-GC.
∵33aGA+12bGB+cGC=0,
∴33a-cGA+12b-cGB=0,
∴33a-c=0,12b-c=0,即a=3c,b=2c,
∴cs A=b2+c2-a22bc=4c2+c2-3c22×2c×c=12.
∵A∈(0,π),∴A=π3.
18.
[1,5] 解析 由条件a2-2a·e-3e2=(a+e)(a-3e)=0,设OP=-e,OQ=3e,OA=a,则点A在以PQ为直径的圆周上,故|a-4e|的取值范围是[1,5].
19.21 解析 因为|CA-(μ-1)BC|≥|AC|,所以|BA-μBC|≥|AC|,由减法与数乘的几何意义,AC为点A到BC的垂线段,所以∠ACB=90°.因为BA=2,B=60°,所以BC=1,AC=3,CD=3,所以BD=4,在△ABD中,由余弦定理易得,∠BAD=90°,
设D关于直线AB的对称点为Q,连接BQ,连接CQ交AB于点P,易得此时PC+PD最小,PC+PD=CQ,CQ=
BC2+BQ2-2BC·BQ·cs120°=12+42-2×1×4×(-12)=21,
即PC+PD的最小值为21.
20.23 解析 设BC边上的高为AE,AB边上的高为CF,AE=x,
因为B=30°,所以在Rt△ABE中,AB=2AE=2x,
又BC边上的高与AB边上的高之比为33,所以AECF=33,
即CF=3x,
所以在Rt△BCF中,BC=2CF=23x,又CD=2BD,所以BD=13BC=23x3.
在△ABD中,由余弦定理,得cs B=AB2+BD2-AD22AB·BD,
即32=(2x)2+(23x3) 2-222·2x·23x3,解得x=3,
所以AB=2x=23,BC=23x=6.
在△ABC中,由余弦定理,得cs B=AB2+BC2-AC22AB·BC,
即32=(23)2+62-AC22×23×6,解得AC=23,即b=23.
21.解 (1)由正弦定理asinA=bsinB得,asin B=bsin A.
又bcsA2=asin B,所以2bsinA2csA2=2asinA2sin B,
即bsin A=2asinA2sin B,所以2sinA2=1,所以sinA2=12.
因为0(2)设AB=m,CD=n,则AD=m,BD=2n,在△ABD中,AB=AD=m,∠BAD=π3,所以△ABD为等边三角形,所以m=2n.
在△ABC中,∠BAC=π3,AB=2n,AC=m+n=3n,BC=3,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcs∠BAC,即9=4n2+9n2-2×2n×3n×12,整理可得7n2=9,解得n=377,所以AC=977,AB=677.
由余弦定理,得cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=(677) 2+32-(977) 22×677×3=714.
所以AB·CB=|AB||CB|cs∠ABC=677×3×714=97.
22.解 (1)∵sinA-sinBsinC=a-ca+b,∴由正弦定理,得a-bc=a-ca+b,
即(a-b)(a+b)=c(a-c),即a2-b2=ac-c2,
即a2+c2-b2=ac,由余弦定理,得cs B=a2+c2-b22ac=12,
∵B∈(0,π),∴B=π3.
(2)∵B=π3,
∴A+C=2π3,即A=2π3-C,又c=2,
∴由正弦定理,得a=csinAsinC=2sin(2π3-C)sinC=3csC+sinCsinC=3tanC+1,
∴S△ABC=12acsin B=asinπ3=323tanC+1.
∵△ABC为锐角三角形,
∴0从而tan C∈33,+∞,
∴S△ABC∈32,23.
23.解 (1)因为acs B+3asin B-b-c=0,由正弦定理,得sin Acs B+3sin Asin B-sin B-sin C=0.①
又因为C=π-A-B,
所以sin C=sin(A+B)=sin Acs B+cs Asin B.
代入①得3sin Asin B-sin B-cs Asin B=0,
即(3sin A-1-cs A)sin B=0.
因为B∈(0,π),则sin B>0,所以3sin A-1-cs A=0,
则2sinA-π6=1,即sinA-π6=12.
因为A∈(0,π),则-π6则A-π6=π6,所以A=π3.
(2)(方法1)由题意得S△ABC=12bcsin A=34bc=3,所以bc=4,在△ABC中,由余弦定理,得b2+c2-a2=2bccs A=2bc×12=4.②
又因为△ABC是锐角三角形,
所以csB=a2+c2-b22ac>0,csC=a2+b2-c22ab>0,
即a2+c2-b2>0,③
且a2+b2-c2>0.④
由②③得c2>2,即c>2,即4b>2,解得b<22.
由②④得b2>2,即b>2.
综上,b的取值范围是(2,22).
(方法2)由题意得S△ABC=12bcsin A=34bc=3,
所以bc=4,则b=4c⇒b2=4bc=4sinBsinC=4sin(C+π3)sinC=412sinC+32csCsinC=2+23tanC,
又因为△ABC是锐角三角形,则0则tan C>33,所以0<1tanC<3,则b2=2+23tanC∈(2,8),故2
(时间:80分钟,满分:100分)
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.如图所示,F为平行四边形ABCD对角线BD上一点,BF=13FD,则AF=( )
A.34AB+14ADB.34AB-14ADC.14AB+34ADD.14AB-34AD
2.在△ABC中,若A=105°,C=30°,b=22,则c=( )
A.2B.3C.2D.1
3.(2023浙江台州八校联盟)如图,在圆C中,AC=5,点A,B在圆上,AB=4,则AB·AC的值为( )
A.25B.8C.10D.16
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若a2+c2+ac=12,b=2,B=π3,则△ABC的面积为( )
A.23B.2C.3D.1
5.(2021浙江学考)某简谐运动的图象如图所示,若A,B两点经过x秒后分别运动到图象上E,F两点,则下列结论不一定成立的是( )
A.AB·GB=EF·GBB.AB·AG≥EF·AG
C.AE·GB=BF·GBD.AB·EF>BF·AG
6.(2023浙江A9协作体)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法错误的是( )
A.若A>B,一定有sin A>sin B
B.若a2+b2-c2<0,那么△ABC一定是钝角三角形
C.一定有bcs C+ccs B=a成立
D.若acs A=bcs B,那么△ABC一定是等腰三角形
7.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2A=B+C,a=3,c=2b,则△ABC的面积为( )
A.32B.332C.32D.33
8.(2023浙江精诚联盟)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是3(b2+c2-a2)4,则A=( )
A.π3B.2π3C.π6D.5π6
9.(2023浙江余姚中学)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=2π3,b=23,b2+c2-a2=3bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E,则AE=( )
A.6B.7C.22D.3
10.
如图,矩形LMNK,LM=6,sin∠MLN=23,圆E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设MP=λML+μMN,λ,μ∈R,则λ+μ的最小值是( )
A.1B.54C.74D.5
11.(2023浙江奉化)e1,e2均为单位向量,且它们的夹角为π4,设向量a,b满足|a+e2|=24,b=e1+ke2(k∈R),则|a-b|的最小值为( )
A.2B.22C.24D.324
12.(2023浙江北斗联盟)在扇形中,OA=1,∠AOB=90°,M是OB的中点,P是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则PM·PN的最小值为( )
A.0B.1-52C.5-32D.1-52
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)
13.(2023浙江学军中学)在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有唯一解的是( )
A.a=9,b=10,c=15B.b=6,c=52,B=45°C.a=3,b=2,B=120°D.b=6,c=63,C=60°
14.(2022浙江绍兴)已知△ABC为锐角三角形,P为此三角形的外心,∠BAC=30°,△PBC,△PAC,△PAB面积分别为12,x,y,则以下结论正确的是( )
A.∠BPC=120°B.BP·BC=33
C.△ABC的外接圆半径为R=233D.x+y的最大值为33
15.(2023浙江精诚联盟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,B=π6,则下列结论正确的是( )
A.当b=32时,△ABC有两解
B.当b=3时,△ABC有两解
C.当A为钝角时,△ABC的面积的取值范围为0,32
D.当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长的取值范围为(3+3,2+23)
16.
如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1,点F为边AB中点.若点E为边CD上的动点,则( )
A.△EAB面积的最小值为34B.当E为边CD中点时,2EF=DA+CB
C.2|EF|≥|DA|+|CB|D.|EA|·|EB|的最小值为2116
三、填空题(本大题共4小题,共15分)
17.已知△ABC的重心为G,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若33aGA+12bGB+cGC=0,则角A为 .
18.已知e是单位向量,向量a满足a2-2a·e-3=0,则|a-4e|的取值范围是 .
19.
(2023浙江台州八校联盟)在△ABC中,B=60°,BA=2,CD=3BC,对任意μ∈R,有|CA-(μ-1)BC|≥|AC|恒成立,点P在直线BA上,则PC+PD的最小值是 .
20.(2023浙江杭州)在△ABC中,点D在边BC上,B=30°,AD=2,CD=2BD,若BC边上的高与AB边上的高的比为33,则b= .
四、解答题(本大题共3小题,共33分)
21.
(11分)(2023浙江杭州S9联盟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,bcsA2=asin B,BC=3,如图所示,点D在线段AC上,满足AB=AD.
(1)求A的值;
(2)若BD=2CD,求AB·CB的值.
22.(11分)(2023浙江湖州)在△ABC中,设角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知sinA-sinBsinC=a-ca+b.
(1)求角B的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC的面积S的取值范围.
23.(11分)(2023浙江余姚中学)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,且acs B+3asin B-b-c=0.
(1)求A;
(2)若锐角三角形ABC的面积为3,求b的取值范围.
阶段复习卷(四)
1.A 解析 如题图所示,由平行四边形ABCD,得AD=BC,利用平行四边形法则得出BD=BA+BC,由BF=13FD,则BF=14BD,再利用三角形法则,得AF=AB+BF=AB+14BD=AB+14(BA+BC)=34AB+14AD.故选A.
2.A 解析 因为A=105°,C=30°,所以B=45°,
由bsinB=csinC,即2222=c12,解得c=2,故选A.
3.B 解析 如图所示,在圆C中,过点C作CD⊥AB于点D,则D为AB的中点,
在Rt△ACD中,AD=12AB=2,可得cs A=ADAC=25,
所以AB·AC=|AB||AC|cs A=4×5×25=8.故选B.
4.C 解析 由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,得4=a2+c2-ac.又a2+c2+ac=12,所以ac=4,
所以S△ABC=12acsin B=12×4×32=3.故选C.
5.B 解析 由图象可得y=sinπ2x,设Ex1,sinπ2x1,
则Fx1+1,csπ2x1.
因为AB·GB=(1,1)·(1,0)=1,EF·GB=1,csπ2x1-sinπ2x1·(1,0)=1,故A成立;
AB·AG=(1,1)·(0,1)=1,EF·AG=1,csπ2x1-sinπ2x1·(0,1)=2csπ2x1+π4,故B不一定成立;
AE·GB=x1,sinπ2x1·(1,0)=x1,BF·GB=x1,csπ2x1-1·(1,0)=x1,故C成立;
AB·EF=(1,1)·1,csπ2x1-sinπ2x1=1+csπ2x1-sinπ2x1,BF·AG=x1,csπ2x1-1·(0,1)=csπ2x1-1,故AB·EF-BF·AG=2-sinπ2x1>0,故D成立.故选B.
6.D 解析 对于A,因为在三角形中,A>B,所以a>b,
根据正弦定理asinA=bsinB=csinC,所以sin A>sin B,所以A正确;
对于B,因为a2+b2-c2<0,所以cs C=a2+b2-c22ab<0,所以90°
对于D,acs A=bcs B,即sin Acs A=sin Bcs B,sin 2A=sin 2B,解得A=B或A+B=π2,所以D错误.故选D.
7.B 解析 由2A=B+C,得A=π3,所以C=2π3-B,由c=2b,得sin2π3-B=2sin B,解得tan B=33,
∴B=π6,C=π2,由a=3及asinA=bsinB,得b=3,
∴S△ABC=12absin C=332.故选B.
8.A 解析 由余弦定理可得b2+c2-a2=2bccs A,A∈(0,π),由条件及正弦定理可得S=12bcsin A=3(b2+c2-a2)4=32bccs A,所以tan A=3,则A=π3.故选A.
9.A 解析 ∵b2+c2-a2=3bc,∴cs A=b2+c2-a22bc=32.
∵A∈(0,π),∴A=π6.
又B=2π3,∴C=π6,∴csinπ6=23sin2π3,则c=2332×12=2.
∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠AEB=π4,∴csin∠AEB=AEsinB,
∴AE=csin∠AEB·sin B=2sinπ4·sin2π3=222×32=6.故选A.
10.
B 解析 由已知建立如图所示的平面直角坐标系,由LM=6,sin∠MLN=23,解得MN=1255,则M3,-1255,N(3,0),L-3,-1255.
设P(cs θ,sin θ).
因为MP=λML+μMN,MP=cs θ-3,sin θ+1255,ML=(-6,0),MN=0,1255,
所以MP=cs θ-3,sin θ+1255=λ(-6,0)+μ0,1255,
即csθ-3=-6λ,sinθ+1255=1255μ,解得λ=3-csθ6,μ=512sinθ+1,
所以λ+μ=32+512sin θ-16cs θ=32+14sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+μ取得最小值,且最小值是54.故选B.
11.C 解析 设OA=a,OB=b,以e1所在的直线为x轴,垂直于e1所在直线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy(图略),则e1=(1,0),e2=22,22.
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),因为|a+e2|=24,所以x1+222+y1+222=18,所以向量a的终点A在以-22,-22为圆心,24为半径的圆上.
因为b=e1+ke2,所以(x2,y2)=1+22k,22k,所以y2=x2-1,所以向量b的终点B在直线y=x-1上.
又因为|a-b|=|OA-OB|=|BA|,所以|a-b|的最小值为直线y=x-1上的点与圆x+222+y+222=18上的点的距离的最小值,为|-22+22-1|1+1-24=24.故选C.
12.
D 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设P(cs t,sin t),M0,12,N(m,0),
则PM=-cs t,12-sin t,PN=(m-cs t,-sin t),
故PM·PN=1-12sin t+mcs t.
因为0≤m≤1,所以PM·PN=1-12sin t+mcs t≥1-12sin t+cs t.
又因为1-12sin t+cs t=1-14+1sin(t+φ)=1-52sin(t+φ)(其中tan φ=2),所以1-12sin t+cs t=1-52sin(t+φ)≥1-52,当且仅当sin(t+φ)=1时,等号成立,故选D.
13.AD 解析 对于A,三角形三边确定,三角形唯一,故A正确;
对于B,csin B=52×22=5,则c>b>csin B,故三角形有两个解,故B错误;
对于C,由余弦定理得cs B=a2+c2-b22ac=-12,又a=3,b=2,所以c2+3c+5=0,Δ=9-4×5<0,方程无解,所以无法构成三角形,故C错误;
对于D,由余弦定理得cs C=a2+b2-c22ab=12.又b=6,c=63,所以a2-6a-72=0,解得a=12或a=-6(舍去),
所以能确定三角形且三角形唯一,故D正确.故选AD.
14.
BD 解析 对于A,由题意画图,由圆的性质可得∠BPC=2∠BAC=60°,故A错误;
对于B,C,设△ABC的外接圆半径为R,因为S△PBC=12,∠BPC=60°,故12R2sin 60°=12,解得R2=233,故C错误;
易得△BPC为正三角形,故BP·BC=R2cs 60°=33,故B正确;
对于D,因为△ABC为锐角三角形,故P在△ABC内部,故S△ABC=x+y+12,当S△ABC最大时x+y取得最大值,
易得当A离BC最远时,S△ABC最大,此时AB=AC,x+y=S△PAB+S△PAC=2S△PAB=2×12×R2sin360°-60°2=33,故D正确.故选BD.
15.ACD 解析 对于A,asin B=2×12=1,故asin B
对于C,根据正弦定理asinA=csinC,得c=asinCsinA=2sinCsinA,S△ABC=12acsin B=sinCsinA=sin(A+π6)sinA=32+12tanA.因为A∈π2,5π6,所以1tanA∈(-3,0),所以△ABC的面积的取值范围为0,32,故C正确;
对于D,bsinB=asinA⇒b12=2sinA,得b=1sinA,则△ABC的周长为a+b+c=2+1sinA+2sinCsinA=2+1sinA+2sin(A+π6)sinA=2+1+3sinA+csAsinA=2+3+2cs2A22sinA2csA2=2+3+1tanA2,
因为△ABC是锐角三角形,所以A∈π3,π2,
所以tanA2∈33,1,所以△ABC周长的取值范围是(3+3,2+23),故D正确.故选ACD.
16.AB 解析 当E在点D时,S△EAB取得最小值,且最小值为12×AB×AD×sin(180°-120°)=12×1×32=34,故A项正确;
当E为边CD中点时,EF=ED+DA+AF=EC+CB+BF,又因为ED+EC=0,AF+BF=0,所以2EF=DA+CB,故B项正确;
当E在D点时,由余弦定理,可得EF=72,所以2|EF|=7<1+3=|DA|+|CB|,故C项错误;
因为EA·EB=EF2-14,而|EF|min=AD+AF·sin(120°-90°)=1+14=54,所以(EA·EB)min=2116,又∠AEB∈0,π2,所以|EA|·|EB|>EA·EA=2116,故D项错误.故选AB.
17.π3 解析 ∵△ABC的重心为G,
∴GA+GB+GC=0,即GA+GB=-GC.
∵33aGA+12bGB+cGC=0,
∴33a-cGA+12b-cGB=0,
∴33a-c=0,12b-c=0,即a=3c,b=2c,
∴cs A=b2+c2-a22bc=4c2+c2-3c22×2c×c=12.
∵A∈(0,π),∴A=π3.
18.
[1,5] 解析 由条件a2-2a·e-3e2=(a+e)(a-3e)=0,设OP=-e,OQ=3e,OA=a,则点A在以PQ为直径的圆周上,故|a-4e|的取值范围是[1,5].
19.21 解析 因为|CA-(μ-1)BC|≥|AC|,所以|BA-μBC|≥|AC|,由减法与数乘的几何意义,AC为点A到BC的垂线段,所以∠ACB=90°.因为BA=2,B=60°,所以BC=1,AC=3,CD=3,所以BD=4,在△ABD中,由余弦定理易得,∠BAD=90°,
设D关于直线AB的对称点为Q,连接BQ,连接CQ交AB于点P,易得此时PC+PD最小,PC+PD=CQ,CQ=
BC2+BQ2-2BC·BQ·cs120°=12+42-2×1×4×(-12)=21,
即PC+PD的最小值为21.
20.23 解析 设BC边上的高为AE,AB边上的高为CF,AE=x,
因为B=30°,所以在Rt△ABE中,AB=2AE=2x,
又BC边上的高与AB边上的高之比为33,所以AECF=33,
即CF=3x,
所以在Rt△BCF中,BC=2CF=23x,又CD=2BD,所以BD=13BC=23x3.
在△ABD中,由余弦定理,得cs B=AB2+BD2-AD22AB·BD,
即32=(2x)2+(23x3) 2-222·2x·23x3,解得x=3,
所以AB=2x=23,BC=23x=6.
在△ABC中,由余弦定理,得cs B=AB2+BC2-AC22AB·BC,
即32=(23)2+62-AC22×23×6,解得AC=23,即b=23.
21.解 (1)由正弦定理asinA=bsinB得,asin B=bsin A.
又bcsA2=asin B,所以2bsinA2csA2=2asinA2sin B,
即bsin A=2asinA2sin B,所以2sinA2=1,所以sinA2=12.
因为0
在△ABC中,∠BAC=π3,AB=2n,AC=m+n=3n,BC=3,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcs∠BAC,即9=4n2+9n2-2×2n×3n×12,整理可得7n2=9,解得n=377,所以AC=977,AB=677.
由余弦定理,得cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=(677) 2+32-(977) 22×677×3=714.
所以AB·CB=|AB||CB|cs∠ABC=677×3×714=97.
22.解 (1)∵sinA-sinBsinC=a-ca+b,∴由正弦定理,得a-bc=a-ca+b,
即(a-b)(a+b)=c(a-c),即a2-b2=ac-c2,
即a2+c2-b2=ac,由余弦定理,得cs B=a2+c2-b22ac=12,
∵B∈(0,π),∴B=π3.
(2)∵B=π3,
∴A+C=2π3,即A=2π3-C,又c=2,
∴由正弦定理,得a=csinAsinC=2sin(2π3-C)sinC=3csC+sinCsinC=3tanC+1,
∴S△ABC=12acsin B=asinπ3=323tanC+1.
∵△ABC为锐角三角形,
∴0
∴S△ABC∈32,23.
23.解 (1)因为acs B+3asin B-b-c=0,由正弦定理,得sin Acs B+3sin Asin B-sin B-sin C=0.①
又因为C=π-A-B,
所以sin C=sin(A+B)=sin Acs B+cs Asin B.
代入①得3sin Asin B-sin B-cs Asin B=0,
即(3sin A-1-cs A)sin B=0.
因为B∈(0,π),则sin B>0,所以3sin A-1-cs A=0,
则2sinA-π6=1,即sinA-π6=12.
因为A∈(0,π),则-π6
(2)(方法1)由题意得S△ABC=12bcsin A=34bc=3,所以bc=4,在△ABC中,由余弦定理,得b2+c2-a2=2bccs A=2bc×12=4.②
又因为△ABC是锐角三角形,
所以csB=a2+c2-b22ac>0,csC=a2+b2-c22ab>0,
即a2+c2-b2>0,③
且a2+b2-c2>0.④
由②③得c2>2,即c>2,即4b>2,解得b<22.
由②④得b2>2,即b>2.
综上,b的取值范围是(2,22).
(方法2)由题意得S△ABC=12bcsin A=34bc=3,
所以bc=4,则b=4c⇒b2=4bc=4sinBsinC=4sin(C+π3)sinC=412sinC+32csCsinC=2+23tanC,
又因为△ABC是锐角三角形,则0
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