2024年广东省东莞市星晨中学中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省东莞市星晨中学中考数学一模试卷，共22页。
A．B．
C．D．
2．（3分）石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米．数据0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．3.4×10﹣9B．3.4×10﹣10C．3.4×10﹣11D．0.34×10﹣9
3．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
4．（3分）把抛物线y＝﹣x2先向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2+1B．y＝﹣（x﹣2）2+1
C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+2
5．（3分）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．作角A的平分线D．内错角相等
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠OBC＝56°，则∠A的度数是（ ）
A．28°B．30°C．34°D．56°
8．（3分）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为x人，羊价y钱，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，CA＝CB，动点E从点D出发，沿折线D﹣C﹣B﹣A方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△ADE的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．15B．16C．17D．18
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③∠DFE＝2∠AMN；④EF2＝2BM2+2DN2．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：4a2﹣6a＝ ．
12．（3分）计算：＝ ．
13．（3分）底面半径为6cm的圆锥，将其侧面展开之后所得扇形的圆心角是135°，则此圆锥的母线长为 cm．
14．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则＝ ．
15．（3分）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为 ．
16．（3分）如图，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2，AB＝，若点P是AB上的一个动点，则CP+AP的最小值为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程：x2+6x﹣1＝0．
18．（4分）如果m2﹣4m﹣7＝0，求代数式的值．
19．（6分）一个不透明的袋中装有2个白球，3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）①从中任意摸出1个球是黑球；②从中任意摸出1个球是白球；③从中任意摸出1个球是红球；④从中任意摸出3个球，其中有红球．
上述事件是随机事件的是 ，是确定事件的是 （只填序号）．将它们的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
（2）现往袋中放入黑、白两种球共4个，每个球与袋中的球除颜色外都相同，将球摇匀，此时从中任意摸出1个球，摸到三种颜色的球的概率都相等，则放入的黑球个数为 ，白球的个数为 ．
20．（6分）为了创建国家卫生城市，我县某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．
（1）求购买一个A型垃圾桶需多少元？
（2）若小区一 次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？
21．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（3，1），B（﹣1，n）两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在图中做出该反比例函数的图象．
（2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围；
（3）请自己作图：连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求△ABC的面积．
22．（10分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是多少米（结果保留根号）．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．
24．（12分）已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE，∠DAE的平分线所在直线与直线BE相交于点F．
【探索发现】
（1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：EF＝DF；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，
①∠DEB的度数为 ；
②连接CF，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；
【拓展思考】
（3）若正方形的边长AB＝6，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作MN∥y轴，交AC于点N，过N作ND∥BC交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线y＝ax2+bx+2沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线y'，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作PQ∥y轴交射线MK于点Q，连接PK，当△PQK为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2． 解：0.000 000 000 34＝3.4×10﹣10；
故选：B．
3． 解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CPF＝55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，
∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，
故选：B．
4． 解：将抛物线y＝﹣x2先向上平移1个单位，则函数解析式变为y＝﹣x2+1，
将y＝﹣x2+1向左平移2个单位，则函数解析式变为y＝﹣（x+2）2+1，
故选：A．
5． 解：A、两点确定一条直线，是命题，不符合题意；
B、垂线段最短，是命题，不符合题意；
C、没有做出任何判断，不是命题，符合题意；
D、内错角相等，是命题，不符合题意；
故选：C．
6． 解：﹣＝﹣＝．
故选：D．
7． 解：∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝56°，
∴∠BOC＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴∠A＝∠BOC＝34°，
故选：C．
8． 解：设人数为x人，羊价y钱，
由题意可得：，
故选：B．
9． 解：当t＝3时，点E到达点C处，即CD＝3，
如图，过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，
∴AF＝CD＝3，
∵CA＝CB，
∴AB＝2AF＝6，
当S＝12时，点E到达点B处，
∴S＝AB•AD＝×2AF•AD＝3AD＝12，
∴AD＝4，
∴四边形ABCD的面积：（CD+AB）•AD＝×（3+6）×4＝18，
故选：D．
10． 解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，则∠1＝∠4，AE＝AH，BE＝DH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
在△BNA和△BNC中，
，
∴△BNA≌△BNC（SAS），
∴AN＝CN，∠NCE＝∠BAN，
∵CN＝EN，
∴∠NEC＝∠NCE＝∠BAN，
∵∠NEC+∠BEN＝180°，
∴∠BAN+∠BEN＝180°，
∴∠ABC+∠ANE＝180°，
∴∠ANE＝90°，
∴AN＝NE，AN⊥NE，故①正确；
∴∠3＝∠AEN＝45°，
∵∠1＝∠4，
∴∠2+∠4＝∠2+∠1＝45°，
∴∠3＝∠FAH＝45°，
∵AF＝AF，AE＝AH，
∴△AFE≌△AFH，
∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE，∠AFH＝∠AFE，故②正确；
∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，
∴∠AMN＝∠AFD＝∠AFE，
又∵∠AFE＝∠AFD，∠DFE＝∠AFE+∠AFD，
∴∠DFE＝2∠AMN，故③正确；
∵∠MAN＝∠EAF，∠AMN＝∠AFE，
∴△AMN∽△AFE，
∴，
∵AN＝NE，AN⊥NE，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，
则∠DAG＝∠BAM，AM＝AG，∠ADG＝∠ABM＝45°，
∴∠NDG＝90°，即△GDN是直角三角形，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝∠DAG+∠DAN＝∠GAN＝45°＝∠MAN，
∵AN＝AN，
∴△ANG≌△ANM（SAS），
∴MN＝GN，
∴MN2＝DN2+DG2＝DN2+BM2，
∴，
故④正确；
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：原式＝2a（2a﹣3），
故答案为：2a（2a﹣3）
12． 解：原式＝﹣3﹣1
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
13． 解：圆锥的底面周长＝2π×6＝12πcm，
设圆锥的母线长为R，则：＝12π，
解得R＝16．
故答案为：16．
14． 解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
∴，x1+x2＝﹣1，
∴，
∴
＝x1（﹣x1+3）+4x2﹣12+20
＝4（x1+x2）+5
＝﹣4+5
＝1；
故答案为：1．
15． 解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝2×4＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵点E在反比例函数图象上，
∴可设E（a，）．
∴AD＝a﹣2＝ED＝．
∴a1＝4，a2＝﹣2．
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故答案为：（4，2）．
16． 解：过点A在△ABC外作射线AD，使得∠BAD＝30°，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接CQ，则PQ＝AP，
∴CP+AP＝CP+PQ≥CQ，
当C、P、Q三点共线，且CQ⊥AD时，CP+AP＝CP+PQ＝CQ的值最小，
∵∠CAQ＝30°+30°＝60°，
∴∠ACQ＝30°，
∴AQ＝＝1，
∴CQ＝，
故CP+AP的最小值为：，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：方程变形得：x2+6x＝1，
配方得：x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
18． 解：原式＝•
＝•
＝（m﹣1）（m﹣3）
＝m2﹣4m+3，
∵m2﹣4m﹣7＝0，
∴m2﹣4m＝7，
∴原式＝7+3
＝10．
19． 解：（1）①从中任意摸出1个球是黑球的概率为0，是不可能事件，是确定事件；
②从中任意摸出1个球是白球的概率是，是随机事件；
③从中任意摸出1个球是红球的概率是，是随机事件；
④从中任意摸出3个球，其中有红球概率是1，是必然事件，是确定事件；
故答案为：②③，①④，①②③④；
（2）∵一个不透明的袋中装有2个白球，3个红球，又往袋中放入黑、白两种球共4个，从中任意摸出1个球，摸到三种颜色的球的概率都相等，
∴三种颜色的球的数量相等，
∴放入的黑球个数为3，白球个数为1，
故答案为：3，1．
20． 解：（1）设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需（x+30）元，
由题意得：＝×2，
解得：x＝50，
经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意，
则x+30＝80，
答：购买一个A型垃圾桶需50元，一个B型垃圾桶需80元．
（2）设小区一次性购买y个A型垃圾桶，则购买（60﹣y）个B型垃圾桶，
由题意得：50y+80（60﹣y）≤4000，
解得：y≥27．
答：最少要购买27个A型垃圾桶．
21． 解：（1）将点A（3，1）代入反比例函数y＝，得k2＝3×1＝3，
∴反比例函数解析式：y＝，
将点B（﹣1，n）代入y＝，得﹣n＝3，
解得n＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
将点A，B代入一次函数y＝k1x+b，得，
解得，
∴一次函数解析式：y＝x﹣2．
画出反比例函数的图象如图：
；
（2）根据图象可知，的x的取值范围：x≥3或﹣1≤x＜0；
（3）连接OA，如图所示：
根据题意可知，C与B关于原点对称，
∵B（﹣1，﹣3），
∴C（1，3），
∴S△AOC＝×2×（3+1）＝4，
∴S△ABC＝2S△AOC＝8，
∴△ABC的面积为8．
22． 解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15米，
∴CE＝BE×tan45°＝BE＝15米，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15米，
∴AE＝BE×tan30°＝15×＝15（米）．
∴教学楼AC的高度是AC＝AE+CE＝（15+15）（米）．
答：教学楼AC的高度为（15+15）米．
23． （1）解：如图：
过B作BF⊥AB，交CE于F，直线BF即为所求直线；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CE，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠ACB，
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°，
∵AB∥CE，
∴∠BFC+∠ABF＝180°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（AAS），
∴BD＝BF．
24． 解：（1）“尺规作图”补全图形如图：
证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
由旋转知，AB＝AE，
∴AE＝AD，
∵AF平分∠DAE，
∴∠EAF＝∠DAF，
在△EAF和△DAF中，
，
∴△EAF≌△DAF（SAS），
∴EF＝DF；
（2）①设∠EAB＝α，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝＝＝，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+α，
∵AE＝AD，
∴＝＝，
∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝＝45°；
故答案为：45°；
②，理由如下：
如图，连接DE、DB和DF，
∵EF＝DF，∠DEB＝45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝45°，
∴DE：DF＝：1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴∠BDC＝45°，BD：CD＝：1，
∴，
∴∠EDF﹣∠BDF＝∠BDC﹣∠BDF，即∠EDB＝∠FDC，
∴△DEB∽△DFC，
∴，
∴BE＝CF；
（3）当CE为对角线时，如图，
此时，BE＝BA+AE＝6+6＝12；
当CD为对角线时，如图，连接DB，
∵四边形ABCD为边长为6的正方形，
∴BD＝，
同（1）可证：△EAF≌△DAF，
∴EF＝DF，
∵AD＝AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，
∴，
∴∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
同（2）②可证：△DEB∽△DFC，且，
设DF＝EF＝x，则DE＝，
∵四边形DECF为平行四边形，
∴DE＝CF，
∴BE＝CF＝DE＝＝2x，
∴BF＝BE+EF＝2x+x＝3x，
在Rt△DBF中，DF2+BF2＝BD2，
∴，
解得：或（舍去），
∴BE＝2x＝．
综上，BE＝12或．
25． 解：（1）把A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+2，
∵﹣＝﹣1，＝，
∴顶点坐标为（﹣1，）；
（2）延长MN交x轴于R，如图：
在y＝﹣x2﹣x+2令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），OC＝2＝OB，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵ND∥BC，
∴∠RDN＝45°，
∵MN∥y轴，
∴△RDN是等腰直角三角形，
∴NR＝ND，
由A（﹣4，0），C（0，2）可得直线AC解析式为y＝x+2，
设M（t，﹣t2﹣t+2），则N（t，t+2），R（t，0），
∴MN＝﹣t2﹣t+2﹣（t+2）＝﹣t2﹣t，NR＝t+2，
∴MN﹣ND＝MN﹣NR＝﹣t2﹣t﹣（t+2）＝﹣t2﹣t﹣2＝﹣（t+3）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣3时，MN﹣ND取最大值，
此时M（﹣3，）；
（3）∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴AC＝2，
∴OC：OA：AC＝1：2：，
将抛物线y＝﹣x2﹣x+2沿射线AC方向平移个单位，相当于把抛物线向右移6个单位，再向上移3个单位，
∴新抛物线y'＝﹣（x﹣5）2+＝﹣x2+x﹣1，
∵新抛物线与y轴交于点K，
∴K（0，﹣1），
∵M（﹣3，），
∴直线MK解析式为y＝﹣x﹣1，
设P（m，﹣m2+m﹣1），则Q（m，﹣m﹣1），
∴PK2＝m2+（﹣m2+m）2，QK2＝m2+（﹣m）2＝m2，PQ2＝（﹣m2+m）2，
当PK＝QK时，m2+（﹣m2+m）2＝m2，
解得m＝0（与K重合，舍去）或m＝7或m＝13（P，Q重合，舍去），
∴P（7，）；
当PK＝PQ时，m2+（﹣m2+m）2＝（﹣m2+m）2，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴P（，），
当QK＝PQ时，m2＝（﹣m2+m）2，
解得m＝0（舍去）或m＝8或m＝18，
∴P（8，3）或（18，﹣37），
综上所述，P的坐标为（7，）或（，）或（8，3）或（18，﹣37）．