广东省惠州仲恺高新区惠环德园学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省惠州仲恺高新区惠环德园学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共14页。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若不等式组有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜4B．m≤4C．m≥4D．m＞4
3．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB边上的高与另一腰的夹角为40°，则∠B的大小为（ ）
A．65°B．25°C．50°D．25°或65°
4．（3分）公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：km/h）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：km/h）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（ ）
A．x≥40B．x≤40C．x＞40D．x＜40
5．（3分）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有无数条直线
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．（3分）若a＞b，下列不等式变形中，正确的是（ ）
A．a﹣5＜b﹣5B．3﹣2a＞3﹣2bC．4a＞4bD．
8．（3分）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（ ）
A．点AB．点B
C．线段AB的中点D．无法确定
9．（3分）某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A．300x﹣200≥200×5%B．
C．D．300x≥200×（1+5%）
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）“a与2的和是非负数”用不等式表示为 ．
12．（3分）将点M（2，﹣1）向左平移3个单位，向上平移2个单位，平移所得点N的坐标为 ．
13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ 度．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，则CD的长为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，边AB上有一动点P，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为P'，连接CP，CP'，PP'，则△CPP'周长的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解不等式：．
17．（8分）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．
18．（8分）请补充完成以下证明过程：
如图，已知在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD＝CE．
求证：CD＝BE．
证明：
∵△ABC为等边三角形，（已知），
∴∠A＝∠BCE＝60°（ ）．
AC＝BC（ ）．
∵AD＝CE（已知），
∴△ADC≌△CEB（ ）．
∴CD＝BE．
19．（9分）小明、小华、小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组．
小明：它的所有解为非负数；
小华：其中一个不等式的解集为x≤8；
小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．
请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组．
20．（9分）如图，公路OA与OB相交于点O，在两条公路相交内部有两个村庄E，F，现要修建一个电站，使得该电站到两条公路OA和OB的距离相等，且到两个村庄的距离相等．请你用尺规作出该电站的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
21．（9分）如图，平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△ABO是等边三角形，点A的坐标为（2，0），将△OAB绕着点A顺时针旋转90°，得到△ADE．
（1）求D点的坐标；
（2）连接BE，BD，求△BDE的面积．
22．（12分）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表：
（1）建立平面直角坐标系，如图，横轴表示观察时间x，纵坐标表示水位读数y，描出以表中的数据为坐标的各点．判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
（2）若观察时间为15min，水位读数为多少？
（3）若本次实验开始记录的时间是上午10：30，当水位读数为14cm时是几点钟？
23．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D是斜边BC中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，若AB＝AC，
①求证：BE＝AF．
②若BE＝8，CF＝15，求EF的长．
（2）如图2，若AB＞AC，试写出四条线段BE、CF、AE、AF之间的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2． 解：由题意得，m＞4．
故选：D．
3． 解：当△ABC为锐角三角形时，如图1，
∵CD⊥AB，∠ACD＝40°，
∴∠A＝50°，
∴∠B＝×（180°﹣50°）＝65°，
当△ABC为钝角三角形时，如图2，
∵CD⊥AB，∠ACD＝40°，
∴∠CAD＝50°，
∴∠B＝×50°＝25°，
综上，∠B为65°或25°，
故选：D．
4． 解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是x≤40．
故选：B．
5． 解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选：B．
6． 解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AC＝10．
∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，
故选：C．
7． 解：A、∵a＞b，
∴a﹣5＞b﹣5，故此选项错误；
B、∵a＞b，
∴3﹣2a＜3﹣2b，故此选项错误；
C、∵a＞b，
∴4a＞5b，故此选项正确；
D、∵a＞b，
∴﹣＜﹣，故此选项错误；
故选：C．
8． 解：如图对称中心是AB的中点，
故选：C．
9． 解：按标价打x折出售，根据题意得：
：．
故选：B．
10． 解：分三种情况：
当OA＝OP时，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交x轴于点P1，P2；
当AO＝AP时，以点A为圆心，以OA长为半径作圆，交x轴于点P3；
当PA＝PO时，作OA的垂直平分线，交x轴于点P4；
综上所述：符合条件的点P有4个，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：“a与2的和是非负数”用不等式表示为a+2≥0，
故答案为：a+2≥0．
12． 解：点M（﹣2，﹣1）向左平移3个单位，向上平移2个单位后得点N它的坐标是（﹣2﹣3，﹣1+2），
即（﹣5，1）．
故答案为：（﹣5，1）．
13． 解：由题意得：∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°，
故答案为：35．
14． 解：∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD是腰AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴CD＝AC＝4，
故答案为：4．
15． 解：由旋转可知：∠CPP'＝90°，CP＝CP'，
∴△CPP'是等腰直角三角形，
∴当CP的长度最小时，△CPP'周长即可取得最小值，
∵边AB上有一动点P，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，
∴AB＝＝＝，
∵当CP⊥AB时，S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，
∴AC•BC＝AB•CP，
∴2×＝×CP，
∴CP＝1，
∴CP＝CP'＝1，
∴PP'＝＝，
∴△CPP'周长的最小值为：1+1+＝2+．
故答案为：2+．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：，
2x﹣2≤4+x，
2x﹣x≤4+2，
x≤6．
17． 解：∵等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，
∴AC＝（21﹣5）÷2＝8．
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE．
∴△BEC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AC＝5+8＝13．
18． 证明：∵△ABC为等边三角形，（已知），
∴∠A＝∠BCE＝60°（等边三角形的性质）．
AC＝BC（等边三角形的性质）．
∵AD＝CE（已知），
∴△ADC≌△CEB（SAS）．
∴CD＝BE．
故答案为：等边三角形的性质；等边三角形的性质；SAS．
19． 解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，
∴其中一个不等式的解集必为x≥0，
∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，
∴其中一个不等式中x的系数为负数，
∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）．
解不等式①，得：x≤8，
结合不等式②的解集知0≤x≤8．
20． 解：如图，点P即为所求的电站的位置．
21． 解：（1）作BM⊥OA于M，DN⊥OA于N．
∵A（2，0），
∴OA＝2，
∵△OAB是等边三角形，BM⊥OA，
∴OM＝MA＝1，BM＝，
∵∠ABD＝90°，AB＝AD，
∴∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，
∴∠BAM＝∠ADN，
∵∠AMB＝∠AND＝90°，
∴△BMA≌△AND（AAS），
∴AN＝BM＝，DN＝AM＝1，
∴ON＝2+，
∴D（2+，1）．
（2）连接BE．
∵S△BDE＝S△ABE+S△ADE﹣S△ABD＝×2×1+×22﹣×2×2＝﹣1．
22． 解：（1）描点如图：
这些点是在同—条直线上，
设它们所在直线表达式为y＝kx+b，
把（0，2），（1，2.4）代入得：
，
解得，
∴它们所在直线表达式为y＝0.4x+2；
（2）在y＝0.4x+2中，令x＝15，得y＝0.4×15+2＝8，
∴水位读数为8cm；
（3）在y＝0.4x+2中，令y＝14得：0.4x+2＝14，
解得x＝30，
∵本次实验开始记录的时间是上午10：30，
∴水位读数为14cm时是11：00．
23． （1）①证明：如图1中，连接AD．
∵AC＝AB，∠CAB＝90°，CD＝DB，
∴AD⊥DB，
∴∠CAD＝∠B＝45°，
∵∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△ADF和△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴AF＝BE；
②解：∵AF＝BE＝8，AC＝AB，
∴CF＝AE＝15，
∴EF＝＝＝17；
（2）解：结论：CF2+BE2＝AE2+AF2．
理由：如图2中，延长FD到T，使得DT＝DF，连接BT，ET．
在△CDF和△BDT中，
，
∴△CDF≌△BDE（SAS），
∴CF＝BT，∠C＝∠DBT，
∵∠C+∠ABC＝90°，
∴∠DBT+∠ABC＝90°，
∴∠EBT＝90°，
∴ET2＝BT2+BE2＝CF2+BE2，
∵DF＝DT，ED⊥TF，
∴EF＝ET，
∵∠A＝90°，
∴EF2＝AE2+AF2，
∴CF2+BE2＝AE2+AF2．供水时间t（min）
0
1
2
3
4
5
6
…
水位读数h（cm）
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
4.4
…