2024届安徽省阜阳市皖江名校联盟高三模拟预测数学试题（学生版+教师版）

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（在此卷上答题无效）
本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助元素与集合的关系可得，即可得解.
【详解】依题意，，因此.
故选：A.
2. 已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据焦距为4得，由得，再根据渐近线方程求经过一、三象限的渐近线的斜率.
【详解】因为双曲线的焦距为4，所以，解得，
所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为.
故选：B
3. 记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数和对数函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为，，
，
故选：C.
4. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.
5. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于D，由即可判断；对于ABC，只需求出即可逐一判断.
【详解】对于D，因为，所以，从而，故D正确，
对于A，或，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误.
故选：D
6. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项为B. 各项的系数和为64
C. 第3项的二项式系数最大D. 奇数项二项式系数和为
【答案】A
【解析】
【分析】对于A，由二项式展开式，通过赋值即可得解；对于B，直接赋值即可得解；对于C，由二项式系数的性质即可判断；对于D，由奇数项、偶数项二项式系数的性质即可判断.
【详解】对于A，的展开式通项为，
当时，常数项为，选项A正确；
对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误；
对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；
对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.
故选：A.
7. 在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 是一条垂直于轴的直线B. 是两条平行直线
C. 是一个半径为1的圆D. 是椭圆
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设，结合条件等式即可列式化简，从而判断求解即可.
【详解】不妨设点的坐标为，，，，
由可得，即.
故选：C.
8. 设正数数列的前项和为，且，则（ ）
A. 是等差数列B. 是等差数列C. 单调递增D. 单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】先利用和的关系求出，进而得出，；再逐项判断即可.
【详解】依题意可得：，.
因为，
所以当时，，即，解得，
当时，，整理得：，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
从而， .
因为当时，，
当时，
也适合上式，
所以，故选项A、B错误，选项D正确.
因为，
所以选项C错误.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据分布列的性质计算q的值，然后根据期望、方差公式及性质计算.
【详解】因为，所以，A选项错误；
由，
故，
因此选项B正确；
又，所以，，，故C错D对.
故选：BD
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（ ）
A.
B. 点是曲线的一个对称中心
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 函数在区间内单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意利用五点法可得，，，即可判断A；对于BC：代入检验结合正弦函数性质分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断.
【详解】设函数的最小正周期为，
由题意可知：，， 则，
即函数的最小正周期为，可得，故A正确；
且，可得，
又因为，所以，即，
且，可得，所以.
对于选项B：因为，
所以点是曲线的一个对称中心，故B正确；
对于选项C：因为为最大值，
所以直线是曲线的一条对称轴，故C正确；
对于选项D：因为，则，
且在不单调，所以函数在区间内不单调，故D错误；
故选：ABC.
11. 抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则（ ）
A. 点在直线上B. 点在直线上的投影是定点
C. 以为直径的圆与直线相切D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于，设直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，根据导数的定义求出切线方程，联立求解点的坐标；对于，根据坐标运算即可得，即可判断；对于，由直角三角形全等，可得，即可判断；对于，利用两点间距离公式可求，构造函数，利用函数的单调性即可求解.
【详解】对于，依题意焦点的坐标为，准线为直线：，
不妨设，，直线的方程为，
联立与，得，
从而，，
，，
由题意，所以，
故抛物线过点，的切线方程分别为
，，
解得点的坐标为，故错误；
对于，因为，，
所以，
所以，
即点在直线上的投影是点（定点），故选项正确；
对于，可证，，
因此，
即以为直径的圆与直线相切，选项正确；
对于选项，因为，
，
从而，
令，由函数上单调递增，
所以当，即时，函数取最小值，故正确.
故选：.
【点睛】方法点睛：抛物线的切线问题，常常需要设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合题干中的条件求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的最小值为______.
【答案】20
【解析】
【分析】由可得，再由基本不等式求解即可.
【详解】依题意，，由可得，
所以，等号成立当且仅当.
故答案为：20.
13. 已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】所求体积可表示为，故只需求出三角形的面积即可，其中，由对称性也有，由于是已知的，所以只要求得即可进一步求解.
【详解】如图，易知，，所以，
作于点，易知，所以，
，
，
故三棱锥的体积为
.
故答案为：.
14. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．
【答案】 ①. 42 ②.
【解析】
【分析】根据为n的所有正因数之和，直接计算，分析的正因数的特点，利用等比数列求和求解.
【详解】根据新定义可得，，
因为正因数，
所以
故答案为：；
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.
（1）求解析式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；
（2）在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域.
【答案】（1），图象答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数的最小正周期为，结合周期公式求，求出平移后的函数解析式，结合余弦函数的性质求，再由五点法列表，并描点连线作出图象；
（2）由条件结合边角互化求出角，根据锐角三角形内角关系求的范围，结合余弦函数性质求的值域.
【小问1详解】
函数的最小正周期，，
∵图象向左平移后得到的函数为，
由已知，又，
.，
解析式为：，
由五点法可得，列表如下：
在上的图象如图所示：
小问2详解】
，
由正弦定理可得，，
所以，即，
因为，所以
所以，
又，所以，
又因为三角形为锐角三角形，，,
所以，
所以，又
所以
16. 篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则.
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.
附：.
【答案】（1）能认为喜爱篮球运动与性别有关
（2）（i）证明见解析；（ii）甲第25次触球者的概率大
【解析】
【分析】（1）根据列联表给出的数据计算，并把计算结果和比较大小，可得判断结果.
（2）（i）根据题意，先写出数列的递推公式，再利用等比数列的定义证明数列为等比数列；（ii）比较与的大小，得出结论.
【小问1详解】
假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.
根据列联表数据，经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
【小问2详解】
（i）由题意，
，
所以
又，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i）得，，
所以，.
故甲第25次触球者的概率大.
17. 如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图根据题意和圆台的结构可知平面平面，有面面平行的性质可得，根据相似三角形的性质可得为中点，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面、平面的法向量，结合空间向量数量积的定义和同角的三角函数关系计算即可求解.
【小问1详解】
如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
小问2详解】
以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
因为，所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
所以．
设二面角的大小为，则，
所以．
所以二面角的正弦值为.
.
18. 已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值；
（2）若对于任意均成立，且的最小值为1，求实数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对求导，求出，再由导数的几何意义求出参数代入函数，对其求导，求出函数的单调性即可得出答案；
（2）记，将题意转化为证明，对求导可得即，代入，分类讨论和，由，即可求出的范围，则，由二次函数的性质结合的范围即可得出答案.
【小问1详解】
由题意，且的定义域为，且，
依题意即，从而，故，，
从而函数在上单调递减，在上单调递增，所以.
【小问2详解】
依题意，，其中，记，则，
因为，，即是的极小值也是最小值，故，
而，所以，解得，
此时，
若，则趋近时，趋近，趋近负无穷，趋近，
即趋近负无穷，与矛盾！
若，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，符合题意.
故.
所以，其中.
若即时，则函数在上最小值为，
依题意，解得，符合题意；
若即时，则函数在上最小值为，
依题意，即，无解，不符合题意.
所以，.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
19. 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.
（1）若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；
（2）若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；
（3）若是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定值为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义求解即可.
（2）设，，由题意可得，再由，，在椭圆上化简可得，，则，即可证明.
（3）以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接，先证明，则，则，中至少有一个小于81，即可得证.
【小问1详解】
依题意，，，
所以.
【小问2详解】
设，，由题意，矩形和矩形的面积相等，
所以，
即，而，（*）
从而上式化为，
整理可得，
代入（*）式，，
故，
即为定值，且该定值为.
【小问3详解】
如图，以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接，
则.
因而，中至少有一个小于81，
同理，中至少有一个小于81，
故，，，中至少有两个小于81.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
0
0
1
0
-1
0
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828