上海市大同中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（学生版+教师版）

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2024.04
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分，每题3分)
1. 直线的倾斜角为______.
2. 椭圆的长轴的长为__________.
3. 抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是______．
4. 函数导函数为_____.
5. 若方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是________．
6. 已知直线与直线平行，则___________.
7. 若方程表示焦点在轴上双曲线，则实数的取值范围是______.
8. 在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ______.
9. 直线（参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则______.
10. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 ______.
11. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线C上一点.下列说法中正确的有________ .①双纽线关于原点中心对称； ②；③双纽线上满足的点有两个； ④.的最大值为.
12. 已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则______.
二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）
13. 经过点，且方向向量为直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
14. 若（m为常数），则等于（ ）
A B. 1C. mD.
15. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于对称D. 关于原点中心对称
16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题 (本大题满分48分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 若圆C经过点和，且圆心C在直线上，求圆C的方程.
18. 已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.
19. 设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，
（1）若的周长为16，求；
（2）若，求椭圆的离心率.
20. 设函数，函数在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
21. 已知直线与椭圆有且只有一个公共点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.