上海市青浦高级中学2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试卷（学生版+教师版）

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考试时间：90分钟 满分：100分
一、填空题（本大题共12小题，满分36分，每小题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．）
1. 函数的最小正周期为______．
2. 已知，则=__________.
3. 半径为3，圆心角等于的扇形的面积是______．
4. 已知为第二象限角，且，则______．
5. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______．
6. 若单位向量、满足，则________．
7. 若点关于轴对称点，则______．
8. 将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则 _________．
9. 已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是______．
10. 已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是______.
11. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
12. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______．
二、选择题（本大题共4小题，满分12分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分．）
13. 已知向量，则下列能使（，）成立的一组向量,是（ ）
A. ,B. ,
C. ,D. ,
14. 已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A. B.
C D.
15. 已知三个不共线的向量满足，则为的（ ）
A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心
16. 设，若在区间上存在a，b且，使得，则下列所给的值中只可能是（ ）
A. B. C. 2D.
三、解答题（本大题共有5题，满分52分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．）
17. 已知向是.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求向量与的夹角．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，．
（1）求的值；
（2）若四边形是平行四边形，求点的坐标．
19. 对于函数，其中，．
（1）求函数单调增区间；
（2）在锐角三角形中，若，，求面积．
20. 元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．
（1）求线段的长度；
（2）若，求两条观光线路与之和的最大值．
21. 在平面直角坐标系中，、，设点、、、…、是线段的等分点，其中为正整数且．
（1）当时，试用、表示、；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求（，，，）的最小值．