广东省惠州市惠城区七校2024届九年级下学期月考数学试卷(含解析)

这是一份广东省惠州市惠城区七校2024届九年级下学期月考数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 在，，0，2这四个数中，比小的数是（）
A. B. C. 0D. 2
答案：A
解析：先根据有理数的大小比较法则比较大小，再选出即可．
解：∵，
∴比小的数是，
故选：A．
本题考查了有理数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2. “跑一场马，认识一座城”．2024惠州马拉松是惠州市人民政府主办的首届马拉松赛事，共57249人报名参与，12000人中签，中签的12000人来自13个国家、34个省份，参赛规模之大、参赛人员之多，均属惠州首次．用科学记数法表示12000是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：用科学记数法表示12000是，
故选：B．
3. 如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建”字所在面相对的面的字是（ ）
A. 创B. 教C. 强D. 市
答案：C
试题分析：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∴“建”与“强”是相对面．故选C．
考点：专题：正方体相对两个面上的文字．
4. 如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（）
A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
答案：A
解析：本题考查利用平行线的性质求角的的度数．平角的定义，求出的度数，平行线得到，即可得解．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．
解：∵，的直角顶点A落在直线a上，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. x3•x3＝x6B. 3x2+2x3＝5x5
C. （x2）3＝x5D. （ab）3＝ab3
答案：A
解析：直接利用幂的乘方与积的乘方法则以及合并同类项、同底数幂的乘法运算法则，进而得出答案．
A、，故正确；
B、中与不是同类项，无法进行计算，故错误；
C、，故错误；
D、，故错误．
故选：A．
此题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及合并同类项、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
答案：C
解析：本题考查的是多边形的内角和定理与外角和的应用，熟记多边形的外角和是，再列式计算即可．
解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和720度，
，
∴这个多边形的边数为6．
故选C．
7. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：本题考查了一元二次方程的应用．每一支队伍都要和另外的支队伍进行比赛，于是比赛总场数=每支队的比赛场数×参赛队伍÷重复的场数，即可解答．
解：共有x支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为；
故选：D．
8. 如图，是半圆的直径，点是弧的中点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再根据已知可得，进而可得，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算即可解答．
解：是半圆的直径，
，
，
，
四边形是半的内接四边形，
，
点是弧的中点，
，
，
，
故选：C．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为（ ）
A61B. 62C. 63D. 64
答案：D
解析：先求出 ，再求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ADE的面积，再求解即可．
解：∵AD＝3BD，
∴ ，
∴= ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵四边形BDEC的面积是28，
∴△ABC的面积＝ ，
故选：D．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉相似三角形的性质:相似三角形的面积比是相似比的平方.
10. 如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（）
①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A. ①③④B. ①④C. ①②③D. ②③④
答案：A
解析：①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确；
②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确；
③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
连接AE，
∵ABCE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：_____．
答案：
解析：先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
．
故答案为：．
本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
12. 分解因式：________．
答案：
分析直接利用平方差公式进行分解因式即可．
解：，
故答案为：．
本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
13. 方程的解是__________．
答案：
解析：本题主要考查解分式方程，首先通分去掉分式方程的分母，从而把分式方程转换为整式方程，然后按照解整式方程的方法解方程即可求出方程的解．
解： ，
去分母得，，
解得，．
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：．
14. 已知，为实数，且满足，则_____.
答案：4
解析：直接利用二次根式有意义的条件得出、的值，进而得出答案.
、为实数，且满足，
，，
则.
故答案为.
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出、的值是解题关键.
15. 一元二次方程的两根为和，则_______．
答案：2024
解析：本题考查了一元二次方程的根与系数，以及一元二次方程的解，先根据，得出，再根据一元二次方程的解，得出，再代入，即可作答．
解：∵
∴
∵一元二次方程的两根为和，
∴
即
∴
故答案为：2024
16. 如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为________cm2．
答案：
解析：根据题意和图形，可以求得DE、OF、CF的长，然后代入数据计算，即可得到阴影部分的面积．
解：连接OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD＝OE＝1cm，OC＝2cm，∠AOC＝45°，
∴CF＝，
∴空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积
（cm2）
三角形ODE的面积（cm2），
∴图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积
（cm2）．
故图中阴影部分的面积为cm2．
故答案为：．
本题考查扇形面积的计算、勾股定理，求不规则图形的面积问题，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（一）（本大题共4个小题，共20分）
17. 计算：．
答案：5
解析：根据计算即可．
解：
．
本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，熟练掌握特殊角的婚函数值，负整数指数幂幂得的运算法则是解题的关键．
18. 化简，求值：，其中．
答案：，4
解析：本题考查了分式化简求值，先将括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，将分子、分母因式分解，约分后将a的值代入即可．
解：
，
当，原式．
19. 已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°．
（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接DA，若BD=6，求CD的长．
答案：（1）见解析；（2）3
解析：（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交AB于点E，交BC于点D；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD=6，再根据等边对等角可得∠DAB=∠B=30°，然后再计算出∠CAB的度数，进而可得∠CAD的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AD=3．
解：（1）如图所示；
（2）∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=6，
∵∠B=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠CAB=60°，
∴∠CAD=60°-30°=30°，
∴CD=AD=3．
此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及直角三角形的性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
答案：（1）；（2）的值为，方程的另一个根为．
解析：（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）将x＝1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次方程即可得出方程的另一个根．
（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝4m﹣4≥0，解得：m≥1．
（2）将x＝1代入原方程，1+2﹣（m﹣2）＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴m的值为5，方程的另一个根为x＝﹣3．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及十字相乘法解一元二次方程，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△＝b2﹣4ac≥0”是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3个小题，共28分）
21. 如图，建筑物AB垂直于地面，测角机器人先在C处测得A的仰角为，再向着B前进6米到D处，测得A的仰角为．求建筑物AB的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
答案：14米
解析：中用表示出、中用表示出，根据可得关于的方程，解方程可得．
解：由题意可得：，，，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，即建筑物AB的高度为14米．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
22. 为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数；
（2）将两个统计图补充完整；
（3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．
答案：（1）被调查的学生总人数为150，喜欢“跑步”的学生人数为60人；
（2）见解析（3）
解析：（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数；
（2）根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，补全统计图即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到2名女生情况，再利用概率公式即可求得答案．
小问1
解：由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的，
被调查的学生总人数为（人），
喜欢“跑步”的学生人数为（人）；
小问2
喜欢“跑步”的学生占学生总人数，
补全统计图如下：
小问3
画树状图得：
共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况，
刚好抽到2名女生的概率为＝．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画树状图法求概率，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息以及掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）这个函数图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？
（2）请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图象所给出的情形的实际例子.
（3）写出你所举的例子中两个变量的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
（4）说出图象中A点在你所举例子中的实际意义.
答案：（1）反比例函数关系；（2）矩形面积一定时长和宽之间的关系；（3）自变量的范围在0～6之间；（4）当自变量为2时，函数值为3即可.
解析：（1）根据反比例函数的性质来判断；
（2）一个矩形面积和长、宽的例子；
（3）根据图象求出函数关系式，且自变量的取值范围为大于0；
（4）A点坐标为（2，3），表示的实际意义就是矩形的长为2、宽为3．
（1）根据反比例函数的性质可知：这个函数图象所反映的两个变量之间是反比例函数关系；
（2）设一个矩形的长为x、宽为y，面积为6，则矩形长、宽、面积的关系表达式为：y=；
（3）根据图象在第一象限可知：y=自变量x的取值范围为：x＞0；
（4）由A点的坐标为（2，3）根据表达式的实际意思，则A点的实际意义就是矩形的长为2、宽为3．
反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
五、解答题（三）（本大题共2个小题，共24分）
24. 如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的长；
（3）求证：AF+2DF=AB．
答案：(1)证明详见解析；(2) ；(3)证明详见解析.
试题分析：（1）连接OC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠ACB=∠D，根据角平分线的性质得到∠BAC=∠CAD，通过相似三角形得到∠ABC=∠ACD，等量代换得到∠OCB=∠ACD，求出∠OCD=90°，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AE==10，根据相似三角形的性质得到，代入数据得到r=，于是得到结论；
（3）过C作 CG⊥AE于G，根据全等三角形的性质得到AG=AD，CG=CD，推出Rt△BCG≌Rt△FCD，由全等三角形的性质得到BG=FD，等量代换即可得到结论．
试题解析：（1）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AF，
∴∠D=90°，
∴∠ACB=∠D，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠ABC=∠ACD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠ACD，
∵∠OCB+∠ACO=∠ACO+∠ACD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AD=6，DE=8，
∴AE==10，
∵OC∥AD，
∴∠OCE=∠ADE，
∴△OCE∽△ADE，
∴，即，
∴r= ，
∴BE=10﹣=；
（3）过C作 CG⊥AE于G，
在△ACG与△ACD中，
∠GAC=∠DAC，∠CGA=∠CDA，AC=AC，
∴△ACG≌△ACD，
∴AG=AD，CG=CD，
∵BC=CF，
在Rt△BCG与Rt△FCD中，
CG=CD，BC=CF，
∴Rt△BCG≌Rt△FCD，
∴BG=FD，
∴AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB，
即AF+2DF=AB．
考点：切线的判定．
25. 把和按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：，，，，．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点P从的顶点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，也随之停止移动．与交于点Q，连接，设移动时间为．
（1）用含t的代数式表示线段和的长，并写出t的取值范围；
（2）连接，设四边形的面积为，试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，是等腰三角形．
答案：（1），，且
（2）
（3）或或时，是等腰三角形
解析：（1）根据题意以及直角三角形性质表达出、，从而得出结论，
（2）过P点作于G点，将四边形的面积表示为即可求解，
（3）分三种情况讨论，根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．
小问1
解：根据运动特点可知，，
∵，，，，
∴，，
∴，t的最大值为：，
∴，
∴，t的取值范围是：；
小问2
过P点作于G点，如图，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
，
∴当（在内），y有最大值，；
小问3
若，则有，
解得：（s），
若，如图①：过点P作于H点，
则，，
∴，
∴，
即 ，
解得：（s）
若，如图②：过点Q作于点I，
则，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：（s），
综上所述，当或或时，是等腰三角形．
本题是一道三角形综合题，考查的知识点有相似三角形的判定与性质、二次函数的最值及等腰三角形的性质．建立二次函数解析式是本题的重点，而借助三角形的相似的判定与性质是解题的关键．