黑龙江省哈尔滨市部分学校2024届九年级下学期阶段测试数学试卷(含解析)

这是一份黑龙江省哈尔滨市部分学校2024届九年级下学期阶段测试数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了 方程的解是等内容，欢迎下载使用。
数学学科
考生须知：
1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．
4.选择题必须使用2B铅笔在答题卡上填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5.保持卡面整洁不要折叠、不要弄脏、不要弄破、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷 选择题 （共30分）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下面几个数的倒数最大的是（ ）
A. B. 2021C. D.
答案：A
解析：本题考查了倒数的概念以及有理数大小比较等知识点，分别求出每个数的倒数，再比较大小即可，掌握相关定义是解答本题的关键．
的倒数为2020，2021倒数为；的倒数为；的倒数为；
∵，
∴的倒数最大，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：本题考查了整式的运算，平方差公式，完全立方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键；
根据合并同类项法则，完全立方公式，平方差公式，同底数幂的除法法则逐一判断即可；
解：A. ，故选项错误，不合题意，
B. ，故选项错误，不合题意，
C. ，故选项错误，不合题意，
D. ，故选项错误，不合题意，
故选：C
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：本题考查了轴对称图形和中心对称图形等知识点，根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心掌握相关定义是解答本题的关键．
A．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4. 如图所示的四个几何体均由若干个完全相同的小正方体组成的，在它们的俯视图中，小正方形个数最多的是（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从上面看到的是俯视图，再分别数出各项俯视图小正方形的个数，可得答案；
解：A、B、C三个选项俯视图小正方形的个数都是5个，D选项俯视图小正方形的个数是6个，所以个数最多的是D选项，
故选：D．
5. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的新抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移规律是解答此题的关键．根据二次函数平移规律左加右减自变量，上加下减常数项，得出平移后的解析式即可．
解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的新抛物线解析式为，即．
故选：．
6. 已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果．
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴，
故选：D．
本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
7. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：本题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：分式方程
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：A．
8. 如图，一架民航客机在飞行途中前方出现雷暴区域，机组请示后决定从C点处以仰角直线爬升至云层上方，爬升后客机所在的A点处相对于C点处的飞行高度上升了米，则客机直线爬升的距离为（）
A. B. C. D.
答案：A
解析：本题考查了解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．由的正弦即可求解，
，
米，
故选：．
9. 如图，是的切线，点C在圆上， ，线段交于点D，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，连接并延长交于点E，连，利用切线的性质和圆周角定理得出，然后利用等腰三角形的性质求出，进而即可得解，合理作出辅助线是解决此题的关键
连接并延长交于点E，连，
∵为的切线，为直径，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
10. 如图，在中，D、E分别为边边上的点，连接，，F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，证明可判断A；由，得，故可判断B；由，得，故可判断C；证明可判断D；
解：∵，
∴，
∴，故选项A错误，不符合题意；
∵，
∴，故选项B错误，不符合题意；
∵，
∴，故选项C正确，符合题意；
∵
∴，
∴，故选项D错误，不符合题意
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 将数0.00005用科学记数法可表示为________．
答案：
解析：本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．根据科学记数法的表示方法求解即可；
，
故答案为：．
12. 在函数中，自变量x的取值范围是________．
答案：##
解析：本题考查了二次根式的性质等知识点，根据被开方数大于等于0列式计算即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
由题意得，，
解得，
故答案为：．
13. 计算的结果是________．
答案：
解析：本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后合并即可．
解：
．
故答案为：．
14. 把多项式9x3﹣x分解因式的结果是_____．
答案：x（3x+1）（3x﹣1）
解析：提取公因式分解多项式，再根据平方差公式分解因式，从而得到答案.
9x3－x＝x（9x2－1）＝x（3x＋1）（3x－1），故答案为x（3x＋1）（3x－1）.
本题主要考查了因式分解以及平方差公式，解本题的要点在于熟知多项式分解因式的相关方法.
15. 不等式组的解集是________．
答案：
解析：本题考查了解一元一次不等式组：先分别解每个不等式，然后把它们的解集的公共部分作为原不等式的解集．
分别解出两不等式的解集，再根据同小取小得到不等式组的解集．
解：
解①得：
解②得：，
故不等式组的解集为：，
故答案为：．
16. 某汽车在某速度下刹车后行驶的距离s（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）的函数关系式为，则该汽车在该速度下从刹车后到停下来共行驶了________米．
答案：
解析：本题考查了二次函数的应用，根据汽车刹车后到停下来所行驶的路程是指函数的最大值，先把解析式化为顶点式，进而即可解决问题，解决本题的关键是分清楚汽车刹车后到停下来所行驶的路程是指函数的最大值．
∵，，
∴当时，s最大，
∴该汽车刹车后到停下来所行驶的路程为米，
故答案为：．
17. 一个不透明的袋子里装有3个黑球和3个白球，它们除颜色不同外其他都相同，从袋中一次性任意摸出两个球，则两球均为白球的概率是________．
答案：
解析：本题主要考查利用表格求概率，由表格得出所有等可能结果，找出两球均为白球的结果数，利用概率计算公式算出概率即可．
解：列表如下：
由表格可得共有30种等可能结果，其中两球均为白球的有6种结果，
所以两球均为白球的概率为，
故答案为：．
18. 一个圆锥的底面半径为1，它的侧面展开图的圆心角为，则它的母线长为________．
答案：4
解析：本题主要考查扇形的弧长公式，利用弧长等于底面圆的周长方程求解即可．
解：设圆锥的母线长为R，由题意得：，
解得：，
故答案为：4．
19. 正方形的边长为4，点E在边上，，点F在正方形的一条边上，且和的面积相等，则的长为________．
答案：或
解析：本题考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质，勾股定理等知识点，如图，当点在边上且时，利用勾股定理可得出的值，当在边且时，利用相似三角形的性质可得，进而可得解，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键．
如图，当点在边上且时，
∵，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
连接，
∴，
当边且时，
根据同底等高面积相等知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：或
20. 如图，在中，是的高，点E在上，，点G在上， 交于点F，若，则的长为________．
答案：
解析：如图，连接，延长交于H，由等腰三角形性质得，进而可得出，然后即可证，再证四边形是平行四边形，可得出，设，由和得出，设，由勾股定理得出n的值，进而即可得解
如图，连接，延长交于H，设，
∵，是的高，
∴(等腰三角形三线合一)，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴，即，是等腰三角形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵m表示线段和的长，m是正数，故舍去，
∴，
∴，
设，在中，由勾股定理可得：，
中，由勾股定理得：
∴，
∴，
∴，
∵是线段长，
∴是正数，
∴，
∴，
故答案为：
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
答案：，，
解析：本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，
先计算括号内的减法，再计算除法，即可化简，再代入求值即可；
解：
，
原式
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段、的顶点都在小正方形的顶点上．请按要求画图并解答下列问题：
（1）在方格纸中画出以线段为斜边的等腰直角，且点E在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以线段为斜边的直角，使得，连接，并直接写出线段的长．
答案：（1）见解析：（2）见解析：；
解析：本题考查网格作图、等腰直角三角形的判定、正切定义、勾股定理，根据网格画图即可；
（1）根据网格特点，结合勾股定理和全等三角形的性质画图即可；
（2）根据网格特点，结合正切定义画图即可，再利用勾股定理求解即可
小问1解析：
解：如图，为所求，
小问2解析：
如图，为所求，．
23. 为迎接2025年哈尔滨亚冬会，哈市某学校对一部分学生进行了“你最喜欢的冰雪运动”问卷调查（每名必选且只能选一项），根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若全校共2400名学生，请估计该校最喜欢“滑雪”运动的学生有多少名．
答案：（1）200名
（2）见解析（3）600人
解析：本题考查了扇形统计图和条形统计图以及用样本估计总体：
（1）从扇形统计图可看出滑冰占，从条形统计图可看出滑冰名数有80名，可求出总名数．
（2）求出滑雪名数后即可补全条形统计图；
（3）滑雪所占的百分比就是全校学生中，最喜欢“滑雪”运动的学生的名数．
小问1解析：
解：（名）；
所以，在这次问卷调查中，一共抽查了200名学生；
小问2解析：
解：滑雪名数为：（名）；
补全条形统计图为：
小问3解析：
解：（名），
所以，最喜欢“滑雪”运动的学生的名数是600名.
24. 如图，是正方形的对角线，点在上，于点于点，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助线的前提下，直接写出面积为四边形面积的一半的三角形（除外）．
答案：（1）证明见解析：
（2），的面积为四边形面积的一半
解析：本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定，三角形全等的性质及判定，解题关键是熟练掌握各性质及定理．
（1）利用正方形性质可得，然后证明结合平行四边形的判定定理即可求证；
（2）利用正方形的性质得到是等腰直角三角形，可证明即可求解．
小问1解析：
证明：是正方形的对角线，，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形
小问2解析：
，
，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，
的面积为四边形面积的一半，
同理可得：
的面积为四边形面积的一半，
25. 为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买4支钢笔和5个圆规需要70元，购买6支钢笔和7个圆规需要100元．
（1）求购买一支钢笔和一个圆规各需要多少元？
（2）若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过300元，则最多可以购买多少支钢笔？
答案：（1）购买一支钢笔需要元，购买一个圆规需要元
（2）最多可以购买支钢笔
解析：本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，读懂题意，准确找到等量关系及不等关系列式求解是解决问题的关键．
（1）设购买一支钢笔需要元，购买一个圆规需要元，根据等量关系列方程组求解即可得到答案；
（2）设可以购买支钢笔，则购买圆规的数量为个，由不等关系列一元一次不等式求解即可得到答案．
小问1解析：
解：设购买一支钢笔需要元，购买一个圆规需要元，则
，
解得，
答：购买一支钢笔需要元，购买一个圆规需要元；
小问2解析：
解：设可以购买支钢笔，则购买圆规的数量为个，
，
解得，
答：最多可以购买支钢笔．
26. 已知，是直径，是的弦（与线段相交），．
图1 图2 图3
（1）如图1，求的正切值；
（2）如图2，弦，点F在上，交于点G，若．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，若，，求的长．
答案：（1）2（2）见解析
（3）2
解析：（1）连接，根据同弧所对圆周角相等，得到，，代入，即可求解，
（2）连接、，将，代入，得到，进而得到，由平行弦所夹弧相等，圆周角定理推论，可得，结合邻补角相等，得到，由圆周角定理，即可求解，
（3）在上截取，由，得到，由，根据圆周角定理及推论，平行弦定理，得到，进而得到垂直平分，，由等弧对等角得到，证明四边形是平行四边形，得到，由等弧对等弦得到，根据（1）中结论，求出的长，在中，应用勾股定理，即可求解．
小问1解析：
解：连接，
∵，，
∴，即：，
∴，
故答案为：2，
小问2解析：
解：连接、，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
小问3解析：
解：在上截取，连接、、、、，
∴，，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴
∴，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）， 即：，
在中，，
在中，，
故答案为：2．
本题考查了，圆周角定理，勾股定理，正切的定义，直径所对的圆周角是直角，等弧对等弦，线段垂直平分线的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造平行四边形．
27. 已知，抛物线交轴负半轴于点， 是抛物线的顶点，轴交轴于点，．
图1 图2 图3
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点在第一象限的抛物线上，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交抛物线于点，连接，延长、交于点，点在上，，连接，若平分，求点的坐标．
答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）根据题可得抛物线对称轴为直线，进而得出，即可求解；
（2）过点作交轴于点，连接，过点作交轴于点，连接，，则，根据题意得，，，，，进而根据，即可求解；
（3）作的垂直平分线交轴于点，交于点，设交轴于点，则，，证明是等腰直角三角形，得出进而求得直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解．
小问1解析：
解：∵是抛物线的顶点，轴交轴于点，．
∴抛物线对称轴为直线，
∵，对称轴为直线，
∴，
∴抛物线的解析式为；
小问2解析：
∵，
∴，，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作交轴于点，连接，过点作交轴于点，连接，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴，，，
∴，
，
∴，
小问3解析：
解：如图所示，作的垂直平分线交轴于点，交于点，设交轴于点，则，，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
作等边三角形，则,过作交于点，
∴,
又∵,
∴,
∴平分,
∴，即，
设，则，
则，
∴，
而，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得： ，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴．
本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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