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初中人教版9.3 一元一次不等式组优秀课堂检测
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这是一份初中人教版9.3 一元一次不等式组优秀课堂检测，文件包含93一元一次不等式组答案docx、2023-2024学年人教版七年级下学期数学同步讲义93一元一次不等式组知识清单+7题型docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
知晓结构体系
1夯实必备知识
考点4 解一元一次不等式组
1．一元一次不等式组
含有相同 未知数 的若干个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组的解集
一般地，几个一元一次不等式的解集的__公共部分___，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．
3．解一元一次不等式的步骤
（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；
（2）找出各个不等式解集的_交集____，即求出这个不等式组的解集．如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组_无解___，即解集为空集；
（3）写出不等式组的解集或无解；
4．一元一次不等式组解集确定方法
（1）数轴法．在数轴上表示各个不等式的解集，求出公共部分；
（2）口诀法．用“口诀”直接确定解集；
2提升学科能力
一、题点一 一元一次不等式组的定义
1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
2．下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
3．某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可．
【详解】解：某日我市最高气温是，最低气温是，
当天气温的变化范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式组的定义，能理解题意是解此题的关键．
4．下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
故选：D．
5．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
【答案】2
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③是一元一次不等式组；
④不是一元一次不等式组；
⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
二、题点二 一元一次不等式组的解集
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组无解，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
7．下列各数中，为不等式组解的是（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】本题考查了不等式组的解集与解，先求出不等式组的解集，再逐项判断是否在原不等式组的解集内即可，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法．
【详解】解：，
解得，解得，
原不等式组的解集为，
A、，不在原不等式组的解集内，故不是原不等式组的解，不符合题意；
B、，不在原不等式组的解集内，故0不是原不等式组的解，不符合题意；
C、，在原不等式组的解集内，故2是原不等式组的解，符合题意；
D、4不在原不等式组的解集内，故4不是原不等式组的解，不符合题意；
故选：C．
8．解不等式组：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先解每一个一元一次不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得；
解不等式②，得，
原不等式组的解集为．
9．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
数轴表示如下所示：
10．解不等式（组）：
(1)解不等式：；
(2)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)；
(2)，数轴见解析．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示不等式组的解集即可．
【详解】（1）去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
（2）解不等式①，得．
解不等式②，得．
不等式组的解集在数轴上表示如图所示．
不等式组的解集为．
三、题点三 不等式组的整数解
11．不等式的整数解有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可．
【详解】解：原方程组可化为，
解①得
解②得
∴
∴整数解有．
故选C．
12．如果关于的不等式组整数解的和为7，符合条件的整数的取值不会是（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查了解不等式组，分别解出每个不等式，再取它们公共部分的解集，结合关于的不等式组整数解的和为7，进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解的和为，
整数解为4，3或4，3，2，1，0，，，
当整数解为4，3时，，
，
当整数解为4，3，2，1，0，，时，，
，
综上，或，
整数a有，，4，5．
故选：B．
13．不等式组的整数解是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，整数解的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
写解每一个不等式，再取解集的公共部分，然后即可求解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴ 原不等式的解集为：，
∴整数解为：，，
故答案为：，．
14．已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数，根据不等式的性质求解集，根据解集求参数，掌握不等式的性质，不等式组的整数解的取值方法是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
∵不等式组有3个整数解，即，
∴在范围内，
当，即，可取到的整数有；
当时，即，可取到，不符合题意，
∴；
∴综上所述，，
故答案为： ．
15．解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解．
【答案】；非负整数解为：0，1．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出非负整数解即可．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
满足的非负整数解为：0，1
四、题点四 根据不等式组的解求参数
16．已知不等式组的解集是，则的值为（ ）
A．B．1C．0D．2024
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
解集是，
，
解得，
则原式，
故选B．
17．已知关于x的不等式组 的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查不等式组的解集、解不等式，根据不等式组的解集口诀“同大取大”得到即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组 的解集是，
∴a的取值范围是，
故选：B．
18．已知不等式组的解集为，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的值，先求出不等式组的解集，根据解的情况，求出的值，进一步计算即可．
【详解】解：由，得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
19．已知关于的不等式的解集是，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键在于掌握不等号两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生变化，根据题意得到，然后运用不等式的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
20．关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围．
先根据原不等式组的解集中有五个整数解，求出x的取值范围，进而可得的取值范围，得出答案.
【详解】解：由，可得．
∵原不等式组的整数解仅有5个，
∴,
解得：．
故答案为：．
21．若不等式组的解集为，求的值.
【答案】
【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据不等式组的解集求参数，代数式求值问题，根据不等式组的解集求出参数是解决本题的关键．首先可求得不等式组的解集为，再根据不等式组的解集为，即可求得、的值，据此即可求得结果．
【详解】解：
解不等式①：
，
，
，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为，
不等式组的解集为，
，，
解得：，，
．
22．不等式组的解集为，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解不等式①和不等式②，然后根据不等式组的解集可得，进行计算即可解答．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴m的取值范围为：．
23．如果不等式组的解集是
(1)求m的取值范围；
(2)当m为何整数时，不等式的解为
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得原则是解题的关键．
（1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围；
（2）根据不等式的基本性质即可得出结论．
【详解】（1），
由①得，，
∵不等式组的解集是，
∴；
（2）∵不等式的解为，
∴，
解得．
五、题点五 不等式组与方程组的结合
24．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：，
则，
∵，
∴，解得：，
故选：C．
25．已知方程组的解为正数，为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
【答案】C
【分析】解方程组，由题意建立不等式组，解得，①正确；时，代入计算，②正确；当时，，，③正确．
【详解】解：，解得
∴，解得，所以①正确；
时，，，所以②正确；
当时，，，
∴方程组的解也是方程的解，所以③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解，掌握二元一次方程组的求解是解题的关键．
26．已知关于x，y的方程组，其中，若，则M的最大值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查含参二元一次方程组参数满足的条件求字母的最小值问题，用整体思想直接找到两个参数之间的关系是解题的关键．由得，将代入得，再根据可得即可得出答案．
【详解】解：
得，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴M的最大值为，
故选：．
27．若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为正数，得到，据此求出，则满足条件的所有整数a有4、5、6，据此求和即可．
【详解】解：
得：，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵方程组的解为正数，
∴，
解得，
∴满足条件的所有整数a有4、5、6，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故答案为：．
28．若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵、是二元一次方程组的解，
∴，
∵关于、的二元一次方程组的解满足，
∴，
∴解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键．
29．已知关于x，y的方程组．
(1)当时，求y的值；
(2)若，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解此题的关键是能得出关于的一元一次不等式．
（1）先求出不等式组的解，再将代入即可解答；
（2）由先解得：，再根据列出不等式，即可求得k的取值范围；
【详解】（1）解：
可得：，
∵，
∴．
（2）由可得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
30．若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合．解方程组求得x与y的值，根据，即可求得a的取值范围．
【详解】解：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
即的取值范围为．
31．已知关于x、y的方程组 的解满足 ，，求m的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解方程组，解不等式组，先求得方程组的解，结合已知构造不等式组，求解即可，熟练掌握解方程组，不等式组是解题的关键．
【详解】解：∵，
整理得：，
②①得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由可得，
由可得，
∴．
六、题点六 列不等式组
32．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组．
设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个，
由题意得．
故选：C．
33．若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速，
船只逆流速度船静水中的速度水流流速，
根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案．
【详解】根据题意，得，
故选：．
【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键．
34．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ．
【答案】
【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解．
【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：
最后一个同学最多分得3个，
则，即．
故答案为．
【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键．
35．如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用（单位：）表示新注入水的体积，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】直接利用长方体的体积公式得出答案．
【详解】解：∵某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，
∴长方体容器的体积为：5×3×8＝120（立方厘米），
∵容器内原有水的高度为2cm，
∴容器内原有水的体积为：5×3×2＝30（立方厘米），
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式组的应用，正确求出立体图形的体积是解题关键．
七、题点七 不等式组的实际应用
36．汝阳县某单位在创建“百里画廊”项目过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造．已知购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需要多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元．若购进这两种树苗共1000棵（每种树苗数量均为10的整数倍），则有哪几种购买方案，请分别写出来．
【答案】(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)有三种方案：方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵；方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵；方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程组或不等式组．
（1）设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元，根据购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，根据购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元，
由题意，得，
解得，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元．
（2）解：设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，由题意得：
，
解得，
∵a以“十”为单位，
∴a可取500，510，520，
∴共有三种方案
方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵；
方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵；
方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵．
37．今年4月23日是第29个“世界读书日”．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为提高学生的阅读品味，继续推动书香校园建设，现决定购买《红星照耀中国》和《十万个为什么》两种书共50本．已知购买2本《红星照耀中国》和1本《十万个为什么》需100元；购买6本《红星照耀中国》与购买7本《十万个为什么》的价格相同．
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《红星照耀中国》的数量不少于所购买《十万个为什么》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？
【答案】(1)《红星照耀中国》的单价为35元，《十万个为什么》的单价为30元；
(2)共有4种购买方案：①购买《红星照耀中国》17本，购买《十万个为什么》33本；②购买《红星照耀中国》18本，购买《十万个为什么》32本；③购买《红星照耀中国》19本，购买《十万个为什么》31本；④购买《红星照耀中国》20本，购买《十万个为什么》30本．
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
（1）设《红星照耀中国》的单价为x元，《十万个为什么》的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买《红星照耀中国》的数量为m本，则购买《十万个为什么》的数量为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求出，根据m为正整数求解即可．
【详解】（1）设《红星照耀中国》的单价为x元，《十万个为什么》的单价为y元，
根据题意得，
解得
∴《红星照耀中国》的单价为35元，《十万个为什么》的单价为30元；
（2）设购买《红星照耀中国》的数量为m本，则购买《十万个为什么》的数量为本，
根据题意得，
解得
∵m为正整数
∴当时，；当时，；当时，；当时，；
∴共有4种购买方案：①购买《红星照耀中国》17本，购买《十万个为什么》33本；②购买《红星照耀中国》18本，购买《十万个为什么》32本；③购买《红星照耀中国》19本，购买《十万个为什么》31本；④购买《红星照耀中国》20本，购买《十万个为什么》30本．
38．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套
(1)求书籍和实验器材各有多少套？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来
【答案】(1)书籍和实验器材各有240套，120套；
(2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
（1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得；
（2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套，
由题意得，，
解得，
答：书籍和实验器材各有240套，120套；
（2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆，
由题意得，，
解得，
∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
39．某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案：
(3)若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案)
【答案】(1)1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨
(2)租用型车4辆，型车9辆；租用型车9辆，型车6辆；租用型车14辆，型车3辆
(3)最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆
【分析】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键．
（1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求；
（2）根据某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案．
（3）根据（2）中求出的几个租车方案得出租车费即可．
【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，
根据题意得：，
解得：，
则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨；
（2）∵某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，
，
则有，
解得：，
∵为正整数，
．
∵为正整数，
∴，
∴．
∴满足条件的租车方案一共有3种，
即租用型车4辆，型车9辆，
租用型车9辆，型车6辆，
租用型车14辆，型车3辆．
（3）∵型车每辆需租金800元/次，型车每辆需租金1000元/次，
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元．
，
∴最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆．
40．为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元．解答下列问题：
(1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？
(2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6000元，且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案．
【答案】(1)购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元
(2)学校共有三种方购买案
(3)三种方案，第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个；第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个；第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个
【分析】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买个．可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
（3）在（2）的条件下，有3种方案，具体后，结合每队甲种足球至少3个，计算解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，并计算整数解．
【详解】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．
根据题意得：，
解这个方程组得．
答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元．
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买个．
解得：．
∵m为整数，
∴．
∴学校共有三种方购买案．
（3）根据(2)，得到三种方案具体如下：
第一种方案：购买甲种足球20个、乙种足球60个，
第二种方案：购买甲种足球21个、乙种足球59个，
第三种方案：购买甲种足球22个、乙种足球58个．
由每队甲种足球至少3个，得这8个足球的购买方案如下：
第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个，
第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个，
第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个．
明确学习目标
课标要求
认识与理解一元一次不等式组的概念；掌握一元一次不等式组的解集的求法；能解决一元一次不等式组的整数解问题；能自主解决一元一次不等式组的实际应用问题
重点难点
掌握一元一次不等式组的解集的求法；能解决一元一次不等式组的整数解问题；能自主解决一元一次不等式组的实际应用问题
一元一次不等式组
解集
图示
语言叙述（便于记忆）
两大取较大
两小取较小
大小交叉中间找
无解
大小分离解为空
A型车（满载）
B型车（满载）
运货总量
3辆
2辆
38吨
1辆
3辆
36吨
知晓结构体系
1夯实必备知识
考点4 解一元一次不等式组
1．一元一次不等式组
含有相同 未知数 的若干个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组的解集
一般地，几个一元一次不等式的解集的__公共部分___，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．
3．解一元一次不等式的步骤
（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；
（2）找出各个不等式解集的_交集____，即求出这个不等式组的解集．如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组_无解___，即解集为空集；
（3）写出不等式组的解集或无解；
4．一元一次不等式组解集确定方法
（1）数轴法．在数轴上表示各个不等式的解集，求出公共部分；
（2）口诀法．用“口诀”直接确定解集；
2提升学科能力
一、题点一 一元一次不等式组的定义
1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
2．下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
3．某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可．
【详解】解：某日我市最高气温是，最低气温是，
当天气温的变化范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式组的定义，能理解题意是解此题的关键．
4．下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
故选：D．
5．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
【答案】2
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③是一元一次不等式组；
④不是一元一次不等式组；
⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
二、题点二 一元一次不等式组的解集
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组无解，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
7．下列各数中，为不等式组解的是（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】本题考查了不等式组的解集与解，先求出不等式组的解集，再逐项判断是否在原不等式组的解集内即可，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法．
【详解】解：，
解得，解得，
原不等式组的解集为，
A、，不在原不等式组的解集内，故不是原不等式组的解，不符合题意；
B、，不在原不等式组的解集内，故0不是原不等式组的解，不符合题意；
C、，在原不等式组的解集内，故2是原不等式组的解，符合题意；
D、4不在原不等式组的解集内，故4不是原不等式组的解，不符合题意；
故选：C．
8．解不等式组：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先解每一个一元一次不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得；
解不等式②，得，
原不等式组的解集为．
9．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
数轴表示如下所示：
10．解不等式（组）：
(1)解不等式：；
(2)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)；
(2)，数轴见解析．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示不等式组的解集即可．
【详解】（1）去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
（2）解不等式①，得．
解不等式②，得．
不等式组的解集在数轴上表示如图所示．
不等式组的解集为．
三、题点三 不等式组的整数解
11．不等式的整数解有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可．
【详解】解：原方程组可化为，
解①得
解②得
∴
∴整数解有．
故选C．
12．如果关于的不等式组整数解的和为7，符合条件的整数的取值不会是（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查了解不等式组，分别解出每个不等式，再取它们公共部分的解集，结合关于的不等式组整数解的和为7，进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解的和为，
整数解为4，3或4，3，2，1，0，，，
当整数解为4，3时，，
，
当整数解为4，3，2，1，0，，时，，
，
综上，或，
整数a有，，4，5．
故选：B．
13．不等式组的整数解是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，整数解的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
写解每一个不等式，再取解集的公共部分，然后即可求解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴ 原不等式的解集为：，
∴整数解为：，，
故答案为：，．
14．已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数，根据不等式的性质求解集，根据解集求参数，掌握不等式的性质，不等式组的整数解的取值方法是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
∵不等式组有3个整数解，即，
∴在范围内，
当，即，可取到的整数有；
当时，即，可取到，不符合题意，
∴；
∴综上所述，，
故答案为： ．
15．解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解．
【答案】；非负整数解为：0，1．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出非负整数解即可．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
满足的非负整数解为：0，1
四、题点四 根据不等式组的解求参数
16．已知不等式组的解集是，则的值为（ ）
A．B．1C．0D．2024
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
解集是，
，
解得，
则原式，
故选B．
17．已知关于x的不等式组 的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查不等式组的解集、解不等式，根据不等式组的解集口诀“同大取大”得到即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组 的解集是，
∴a的取值范围是，
故选：B．
18．已知不等式组的解集为，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的值，先求出不等式组的解集，根据解的情况，求出的值，进一步计算即可．
【详解】解：由，得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
19．已知关于的不等式的解集是，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键在于掌握不等号两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生变化，根据题意得到，然后运用不等式的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
20．关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围．
先根据原不等式组的解集中有五个整数解，求出x的取值范围，进而可得的取值范围，得出答案.
【详解】解：由，可得．
∵原不等式组的整数解仅有5个，
∴,
解得：．
故答案为：．
21．若不等式组的解集为，求的值.
【答案】
【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据不等式组的解集求参数，代数式求值问题，根据不等式组的解集求出参数是解决本题的关键．首先可求得不等式组的解集为，再根据不等式组的解集为，即可求得、的值，据此即可求得结果．
【详解】解：
解不等式①：
，
，
，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为，
不等式组的解集为，
，，
解得：，，
．
22．不等式组的解集为，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解不等式①和不等式②，然后根据不等式组的解集可得，进行计算即可解答．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴m的取值范围为：．
23．如果不等式组的解集是
(1)求m的取值范围；
(2)当m为何整数时，不等式的解为
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得原则是解题的关键．
（1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围；
（2）根据不等式的基本性质即可得出结论．
【详解】（1），
由①得，，
∵不等式组的解集是，
∴；
（2）∵不等式的解为，
∴，
解得．
五、题点五 不等式组与方程组的结合
24．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：，
则，
∵，
∴，解得：，
故选：C．
25．已知方程组的解为正数，为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
【答案】C
【分析】解方程组，由题意建立不等式组，解得，①正确；时，代入计算，②正确；当时，，，③正确．
【详解】解：，解得
∴，解得，所以①正确；
时，，，所以②正确；
当时，，，
∴方程组的解也是方程的解，所以③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解，掌握二元一次方程组的求解是解题的关键．
26．已知关于x，y的方程组，其中，若，则M的最大值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查含参二元一次方程组参数满足的条件求字母的最小值问题，用整体思想直接找到两个参数之间的关系是解题的关键．由得，将代入得，再根据可得即可得出答案．
【详解】解：
得，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴M的最大值为，
故选：．
27．若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为正数，得到，据此求出，则满足条件的所有整数a有4、5、6，据此求和即可．
【详解】解：
得：，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵方程组的解为正数，
∴，
解得，
∴满足条件的所有整数a有4、5、6，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故答案为：．
28．若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵、是二元一次方程组的解，
∴，
∵关于、的二元一次方程组的解满足，
∴，
∴解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键．
29．已知关于x，y的方程组．
(1)当时，求y的值；
(2)若，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解此题的关键是能得出关于的一元一次不等式．
（1）先求出不等式组的解，再将代入即可解答；
（2）由先解得：，再根据列出不等式，即可求得k的取值范围；
【详解】（1）解：
可得：，
∵，
∴．
（2）由可得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
30．若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合．解方程组求得x与y的值，根据，即可求得a的取值范围．
【详解】解：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
即的取值范围为．
31．已知关于x、y的方程组 的解满足 ，，求m的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解方程组，解不等式组，先求得方程组的解，结合已知构造不等式组，求解即可，熟练掌握解方程组，不等式组是解题的关键．
【详解】解：∵，
整理得：，
②①得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由可得，
由可得，
∴．
六、题点六 列不等式组
32．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组．
设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个，
由题意得．
故选：C．
33．若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速，
船只逆流速度船静水中的速度水流流速，
根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案．
【详解】根据题意，得，
故选：．
【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键．
34．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ．
【答案】
【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解．
【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：
最后一个同学最多分得3个，
则，即．
故答案为．
【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键．
35．如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用（单位：）表示新注入水的体积，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】直接利用长方体的体积公式得出答案．
【详解】解：∵某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，
∴长方体容器的体积为：5×3×8＝120（立方厘米），
∵容器内原有水的高度为2cm，
∴容器内原有水的体积为：5×3×2＝30（立方厘米），
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式组的应用，正确求出立体图形的体积是解题关键．
七、题点七 不等式组的实际应用
36．汝阳县某单位在创建“百里画廊”项目过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造．已知购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需要多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元．若购进这两种树苗共1000棵（每种树苗数量均为10的整数倍），则有哪几种购买方案，请分别写出来．
【答案】(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)有三种方案：方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵；方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵；方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程组或不等式组．
（1）设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元，根据购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，根据购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元，
由题意，得，
解得，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元．
（2）解：设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，由题意得：
，
解得，
∵a以“十”为单位，
∴a可取500，510，520，
∴共有三种方案
方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵；
方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵；
方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵．
37．今年4月23日是第29个“世界读书日”．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为提高学生的阅读品味，继续推动书香校园建设，现决定购买《红星照耀中国》和《十万个为什么》两种书共50本．已知购买2本《红星照耀中国》和1本《十万个为什么》需100元；购买6本《红星照耀中国》与购买7本《十万个为什么》的价格相同．
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《红星照耀中国》的数量不少于所购买《十万个为什么》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？
【答案】(1)《红星照耀中国》的单价为35元，《十万个为什么》的单价为30元；
(2)共有4种购买方案：①购买《红星照耀中国》17本，购买《十万个为什么》33本；②购买《红星照耀中国》18本，购买《十万个为什么》32本；③购买《红星照耀中国》19本，购买《十万个为什么》31本；④购买《红星照耀中国》20本，购买《十万个为什么》30本．
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
（1）设《红星照耀中国》的单价为x元，《十万个为什么》的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买《红星照耀中国》的数量为m本，则购买《十万个为什么》的数量为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求出，根据m为正整数求解即可．
【详解】（1）设《红星照耀中国》的单价为x元，《十万个为什么》的单价为y元，
根据题意得，
解得
∴《红星照耀中国》的单价为35元，《十万个为什么》的单价为30元；
（2）设购买《红星照耀中国》的数量为m本，则购买《十万个为什么》的数量为本，
根据题意得，
解得
∵m为正整数
∴当时，；当时，；当时，；当时，；
∴共有4种购买方案：①购买《红星照耀中国》17本，购买《十万个为什么》33本；②购买《红星照耀中国》18本，购买《十万个为什么》32本；③购买《红星照耀中国》19本，购买《十万个为什么》31本；④购买《红星照耀中国》20本，购买《十万个为什么》30本．
38．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套
(1)求书籍和实验器材各有多少套？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来
【答案】(1)书籍和实验器材各有240套，120套；
(2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
（1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得；
（2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套，
由题意得，，
解得，
答：书籍和实验器材各有240套，120套；
（2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆，
由题意得，，
解得，
∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
39．某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案：
(3)若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案)
【答案】(1)1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨
(2)租用型车4辆，型车9辆；租用型车9辆，型车6辆；租用型车14辆，型车3辆
(3)最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆
【分析】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键．
（1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求；
（2）根据某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案．
（3）根据（2）中求出的几个租车方案得出租车费即可．
【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，
根据题意得：，
解得：，
则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨；
（2）∵某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，
，
则有，
解得：，
∵为正整数，
．
∵为正整数，
∴，
∴．
∴满足条件的租车方案一共有3种，
即租用型车4辆，型车9辆，
租用型车9辆，型车6辆，
租用型车14辆，型车3辆．
（3）∵型车每辆需租金800元/次，型车每辆需租金1000元/次，
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元．
，
∴最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆．
40．为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元．解答下列问题：
(1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？
(2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6000元，且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案．
【答案】(1)购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元
(2)学校共有三种方购买案
(3)三种方案，第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个；第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个；第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个
【分析】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买个．可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
（3）在（2）的条件下，有3种方案，具体后，结合每队甲种足球至少3个，计算解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，并计算整数解．
【详解】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．
根据题意得：，
解这个方程组得．
答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元．
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买个．
解得：．
∵m为整数，
∴．
∴学校共有三种方购买案．
（3）根据(2)，得到三种方案具体如下：
第一种方案：购买甲种足球20个、乙种足球60个，
第二种方案：购买甲种足球21个、乙种足球59个，
第三种方案：购买甲种足球22个、乙种足球58个．
由每队甲种足球至少3个，得这8个足球的购买方案如下：
第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个，
第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个，
第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个．
明确学习目标
课标要求
认识与理解一元一次不等式组的概念；掌握一元一次不等式组的解集的求法；能解决一元一次不等式组的整数解问题；能自主解决一元一次不等式组的实际应用问题
重点难点
掌握一元一次不等式组的解集的求法；能解决一元一次不等式组的整数解问题；能自主解决一元一次不等式组的实际应用问题
一元一次不等式组
解集
图示
语言叙述（便于记忆）
两大取较大
两小取较小
大小交叉中间找
无解
大小分离解为空
A型车（满载）
B型车（满载）
运货总量
3辆
2辆
38吨
1辆
3辆
36吨
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