北师大版八年级数学下学期期中复习专题01三角形的证明（知识清单+23题型）

期中复习专题01 三角形的证明知晓结构体系1夯实必备知识一、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。二、线段的垂直平分线（简称中垂线）：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。三、等腰三角形 1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等四、等边三角形：1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。2、等边三角形的性质：（1）具有等腰三角形的所有性质。（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。3、等边三角形的判定（1）三边都相等的三角形是等边三角形。（2）：三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。五、直角三角形1． 直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS）（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL．2．直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．3．勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17．2提升学科能力一、题点一根据边角关系求角度和长度1．如图，，以的顶点为圆心，直角边为半径画弧，与斜边交于点，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质，由得到，进而由得到，再利用邻补角互补即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，∴，∵，∴，∴，故选：．2．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．【详解】解：将绕点A按逆时针方向旋转得到，，，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，，，，，，，故选：C．3．如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．【答案】5【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的三角形是解题的关键．延长交于点E，利用等角对等边得，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．【详解】解：延长交于点E，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案为：5．4．如图，，求的长．【答案】【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理求出，得到，再由三角形外角的性质得到，则．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．5．如图，在中，，，．求的长．【答案】4【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先求出，，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，从而可得，据此计算即可得．【详解】解：如图，过点作于点，∵，∴，∴，，∵，，∴在中，，∴，，又∵，∴，解得，所以的长为4．二、题点二三线合一的性质6．如图，在中，已知，则边上的高为（    ）A．2.4cm B．3cm C．4.8cm D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过A作于D，设边上的高为h，利用等腰三角形三线合一性质求出，利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可．【详解】解：过A作于D，设边上的高为h，∵，，∴，∴，∵，∴，解得，故选：C．7．如图，等腰三角形的腰的长为13，底边的长为10，则这个等腰三角形底边上的高的长为（    ）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．首先根据等腰三角形三线合一性质得到，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：中，，，∴∴．故选：A．8．如图，在中，点D在边上，．点E、点F分别是，的中点，，则的长为 ．【答案】8【分析】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意构造出直角三角形．连接，可得，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解．【详解】解：连接，如下图：∵点F是的中点，，∴，∴，又∵点E是的中点，∴，∴，故答案为：8．9．如图，在中，，分别是的中线和角平分线，相交于点O．(1)若的面积是20，且，求的长；(2)若，求的度数．【答案】(1)10(2)【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解；（2）根据等腰三角形的性质求出，利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】（1）解：是的中线，．，的面积是20，且，，，；（2）∵，，∴，是的角平分线，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形角平分线定义，以及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．三、题点三等腰三角形的证明10．如图，是的边上的高，下列条件中能推出是等腰三角形的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①；②；③．【答案】②③/③②【分析】本题主要考查的是等腰三角形的判定和三角形全等的判定，解题关键是结合图形灵活解决问题．由无法确定是等腰三角形；根据证明可判定是等腰三角形；延长至点E，使，延长至点F，使，连接．先证明，再证明，可判定是等腰三角形．【详解】解：①无法判定是等腰三角形；②当时，是的平分线，∴．∵是边上的高，∴．∴，∴，∴，是等腰三角形；③如答图，延长至点E，使，延长至点F，使，连接．，．又，∴是的垂直平分线，∴，．，．同理，，∴，是等腰三角形．故答案为：②③．11．如图所示，在中，平分， (1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记等腰三角形的判定是解本题的关键；（1）先证明，再证明，可得，从而可得答案；（2）先求解，再利用平行线的性质可得答案．【详解】（1）证明：平分，，，，，，是等腰三角形；（2），，，，．12．如图，、交于点O，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个作为条件，证明是等腰三角形．(1)你选择的条件是______、______；(2)根据（1）选择的条件，求证：是等腰三角形．【答案】(1)①，②（或①，③）；(2)见解析【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，对顶角相等，等腰三角形的判定和定义．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．（1）根据全等三角形的判定条件选择即可；（2）选①、②根据“”证明，进而得出，由等角对等边即可证是等腰三角形；选①，③根据“”结合对顶角相等可证，得出，即是等腰三角形．【详解】（1）解：由在和中为公共边，结合①、②可证；由在和中，结合①、③可证．故可选条件为①、②或①、③，故答案为：①，②（或①，③）；（2）证明：选择的条件是①，②，∵在和中，∴，∴，∴，即是等腰三角形；选择的条件是①，③，∵在和中，∴，∴，即是等腰三角形．13．如图，在中，，点E、D分别在边和上，与相较于点F，且．求证：．  【答案】证明见解析【分析】由等腰三角形的性质和等角对等边证出，然后证出，即可解决问题；该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质等几何知识点及其应用，掌握全等三角形的判定等知识点是解题的关键．【详解】证明：∵ 在和中 ．14．（1）如图1，和均为等腰直角三角形，且点A在上，则线段与的关系是 ．（2）如图2，是的高，且，连接，线段与交于点O，判断的形状（3）如图2，在（2）的条件下，连接，且的面积为，请直接写出的面积．【答案】（1）且；（2）是等腰直角三角形，见解析；（3）【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质：（1）证明，即可；（2）证明，可得，即可；（3）过点C作交的延长线于点M，则，证明，可得，即可．【详解】解：（1）∵和均为等腰直角三角形，∴，∴，即，在和中，∵，∴，∴，∴，∴，即线段与的关系是且；故答案为：且；（2）是等腰直角三角形，理由如下：∵为等腰直角三角形，∴，∴，∵是的高，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形；（3）如图2，过点C作交的延长线于点M，则，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴．四、题点四计算等腰三角形个数15．如图所示，共有等腰三角形（    ）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵，∴是等腰三角形，，∴ ，∴，，∴、是等腰三角形，∵，，∴，，∴、是等腰三角形，故图中共有5个等腰三角形，故选：C．16．如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）  A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得、、是等腰三角形，再利用证得，进而可得是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．【详解】解：，点、分别是和的中点，，又，，，，、、是等腰三角形，，在和中，，，，是等腰三角形，则图中等腰三角形的个数为4个，故选B．17．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解．【详解】解：在中，，是等腰三角形；，，，点在的垂直平分线上，，是等腰三角形；，，平分，，，，是等腰三角形；，，，，是等腰三角形；，，是等腰三角形；，，是等腰三角形，综上所述，等腰三角形有，，，，，共个，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．五、题点五 构成等腰三角形的点的个数18．如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案．【详解】解：分三种情况①，②，③：如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和，②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和，③线段垂直平分线与直线的交点记为点，符合条件的点P共有4个，故选：C．19．在平面直角坐标系中，已知点，点Q在坐标轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有 个．【答案】8【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，根据等腰三角形的性质作出图形，利用数形结合的思想是解决问题的关键．【详解】解：由题意可知：是等腰三角形，当时，以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，（除点外），当时，以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，，，，当时，即点在的垂直平分线，与坐标轴交于，，  结合图形，综上，满足条件的点共有8个，故答案为：8．20．如图，为方格纸中格点上的两点，若以为边（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为 个．  【答案】【分析】根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解．【详解】解：如图所示，为等腰三角形，，    ①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点，∴，，∴点即为所求；②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点，∴，∴点即为所求；③当时，作线段的垂直平分线交格点于点，∴，，则，符合题意，，，则，符合题意，∴点即为所求；综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个，故答案为：．【点睛】本题主要考查格点作等腰三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．六、题点六 等腰三角形的尺规作图21．作图题如图，已知线段a，b．求作，使，，BC边上的高等于b．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）  【答案】见解析【分析】先画，进而作出的垂直平分线，交于，以为圆心，b为半径画弧，交于点，连接即可；【详解】如图，即为所求  【点睛】本题考查了已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法；主要利用了等腰三角形三线合一的性质22．有一个等腰三角形被墨汁污染了，现在只有它的底边和还清楚可见（如图所示）．  (1)请用直尺与圆规画出一个与原来形状一样的等腰三角形；（不写画法，保留画图痕迹，写出结论）(2)在（）的条件下，如果射线与边相交边于点，且射线恰好将分割成两个等腰三角形，请画出射线，并求的度数．【答案】(1)如解析图；(2)．【分析】（）根据作角等于已知角的基本做法作图；（）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解．【详解】（1）如图，    即为所求；（2）∵，都是等腰三角形，∴，，∵，∴，∴．【点睛】此题考查了作角等于已知角的基本做法作图，掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．23．如图，在中，，E为边的中点．(1)尺规作图：以为边在外部作等边，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断的形状并给予证明．【答案】(1)见解析(2)等边三角形，见解析【分析】本题考查了作图-作三角形、等边三角形的判定性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，含30度角的直角三角形的特征，熟练掌握这些知识点是解题的关键．（1）分别以A、E为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，连接即可；（2）由是等边三角形，结合，E为边的中点，得到，，利用得到，利用全等三角形的性质即可得证．【详解】（1）解：如图所示，等边为所求；（2）证明：等边三角形在中，，，，是等边三角形，，，， E为边的中点，，，，，，，，是等边三角形．七、题点七 等腰三角形的性质和判定24．如图所示，在中，，点D是上一点，，且，点E是的中点，，则的长度为 ．  【答案】12【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得，利用三角形的外角性质求得，推出，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：在中，E是的中点，则，∴，即；∵，∴，即，∴，由勾股定理得．故答案为：12．25．如图，在中，，，是的平分线，交于点，求的长．【答案】【分析】本题考查了等角对等边、角平分线的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，从而得出，进而得出，证明得出，代入计算即可得出答案．【详解】解：为的平分线，．，，，．，．，，，，．，．26．如图所示，在中，的平分线相交于点O，过点O作，分别交于点．(1)写出图中所有的等腰三角形，指出与间的数量关系；(2)若，，求的周长．【答案】(1)是等腰三角形，；(2)．【分析】本题考查等腰三角形判定及性质，三角形周长公式．（1）根据题意利用等腰三角形判定定理即可得到本题答案；（2）利用（1）中等腰三角形得结论，，再利用三角形边的转化可以求出本题答案．【详解】（1）解：∵是的平分线，∴．∵，∴．∴，∴，∴是等腰三角形；同理，∴是等腰三角形，∴．（2）解：由（1）知，，，∵，，∴的周长，，．27．如图所示，在中，，是的平分线．求证：．  【答案】证明见解析．【分析】本题考查等腰全等三角形判定及性质，角平分线性质，等腰三角形判定及性质．要证，而三者没有直接的关系，首先进行等线段转化，而已知条件中出现，因此考虑构造等腰三角形，再利用边的关系出角的关系即可得到本题答案．【详解】证明：如图所示，在上截取，连接，  ，∵是的平分线，∴．∵，，∴，∴，．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．八、题点八 等边三角形的性质28．如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则（　　）A． B．6 C．8 D．【答案】C【分析】先由等边三角形的性质，得，，，再根据，得，进而得，则，然后在中，由勾股定理求出即可．【详解】解：为等边三角形，，，是边上的中线，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，．故选：C．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．29．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据等边三角形的性质得，，再根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：∵为等边三角形，∴．∵是等边三角形的中线，∴．∵，∴，∴．故选：C．30．如图，P是等边的边上任意一点，，，点E，F为垂足，则 ．【答案】/120度【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形两锐角互余；根据等边三角形的性质和直角三角形的性质求出，进而计算即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．31．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③⑤【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性质．①由于和是等边三角形，可知，，，从而利用证出，可推知；②由得，，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由①和②可得出，，即可证；④根据，，可知，，且，得出，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质得出，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确．【详解】解：①∵正和正，∴，，，∵，，∴，在和中，∴，∴，，故①正确；②又∵，，，∴．∴，∴，∴，∴，故②正确；③∵，∴，∵∴，∴，∴，故③正确；④∵，且，∴，故④错误；⑤∵，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴∴，故⑤正确．∴正确的有：①②③⑤．故答案为：①②③⑤．32．如图，在等边中，交于点于点．(1)求证：；(2)求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含的直角三角形的性质是解题的关键．（1）先根据是等边三角形，推出，，然后利用即可证明全等；（2）由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则，根据含的直角三角形的性质即可证明结论．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，．在与中，∴．（2）∵，，，．．， ．．33．如图所示，和都是等边三角形，连接与，二者相交于点F．(1)试猜想与的数量关系，并说明理由．(2)你能求出的度数吗？如果能，请直接写出来；如果不能，请说明理由．【答案】(1)，详见解析(2)能.的度数为【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键．(1)根据等边三角形的性质，利用边角边原理证明即可．(2)根据等边三角形的性质，全等性质，外角性质证明即可．【详解】（1）.理由：和都是等边三角形，，，.，即，∵，∴，．（2）能.的度数为.如图，设与的交点为，由（1）的证明知，，，.九、题点九 等边三角形的判定34．满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　）A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定定理．【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，不符合题意；B、有两边相等且是轴对称图形的三角形是等腰三角形，符合题意；C、有一个内角是且有两边相等的三角形是等边三角形，不符合题意；D、三边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意；故选：B．35．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．  【答案】等边【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形．【详解】解：∵中，，，于点，∴，，∵，，∴∴，∵∴∵，∴为等边三角形．故答案为：等边36．如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．  （1）经过 秒，为等边三角形；（2）经过 秒，为直角三角形．【答案】 10 6或15【分析】（1）设经过秒，为等边三角形，先求出，再根据等边三角形的判定可得当时，为等边三角形，由此建立方程，解方程即可得；（2）设经过秒，为直角三角形，分两种情况：①和②，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：点自运动至所需时间为，点自运动至所需时间为，（1）设经过秒，为等边三角形，由题意得：，，，要使为等边三角形，则，，解得，符合题意，故答案为：10．（2）设经过秒，为直角三角形，由题意得：，，①当时，为直角三角形，，，即，解得，符合题意；②当时，为直角三角形，，，即，解得，符合题意；故答案为：6或15．【点睛】本题考查了等边三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．37．如图，菱形的边长为，，、分别是边，上的两个动点，且满足．  (1)求证：；(2)判断的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)等边三角形，见解析【分析】（1）根据菱形的性质得出，，进而证明，即可证明；（2）根据（1）的结论得出，，根据，得出，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵菱形的边长为，，，，，，，，，在和中，，∴；（2）解：等边三角形．理由：，，，，，是等边三角形．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键．38．（1）的三边长满足等式，试判断的形状．（2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状．【答案】（1）为等腰三角形；（2）为等边三角形【分析】（1）将等式移项为，再整理得，后两项提取公因式，再进行因式分解得到，根据可得，即可得出结论；（2）将等式整理为，根据完全平方公式得出，则，，，即可得出结论．【详解】解：等式，移项得，整理得，即，分解因式得，由，可得，即，则为等腰三角形．（2），，，，，，，，，，为等边三角形【点睛】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解．39．已知在中，，为中点，为边的中线且，连接、．  (1)求证：；(2)若，求的周长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由三角形中线性质得到，再由等腰三角形性质、三角形外角的性质及等腰三角形性质得，可得结论；（2）先由中位线的判定与性质得到，再由是等边三角形，确定含的直角三角形，结合含的直角三角形及勾股定理求出三边的边长，即可得结论．【详解】（1）证明：为边的中线且，，，，，，，，；（2）解：为中点，为边的中线，为的中位线，，，是等边三角形，，，，，，，，的周长．【点睛】本题考查三角形的周长、等腰三角形判定与性质、等边三角形判定与性质、含的直角三角形性质、三角形的中线、中位线、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关几何基础知识．十、题点十 含30度角的直角三角形40．如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为（    ）A．10米 B．15米 C．25米 D．30米【答案】B【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，勾股定理的应用，牢牢掌握勾股定理及直角三角形的性质是解答本题的关键．如图，由于倒下部分与地面成夹角，所以，由此得到，而米，所以根据勾股定理得到，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．【详解】如图，∵，∴，而米，∴，解得(米)，∴（米），∴这棵大树在折断前的高度为米．故选B．41．如图，在中，，，的平分线交于D，于点E，若，则的长度为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本题考查含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；关键在于利用直角三角形的特殊性质求出边长．根据，可推出，利用全等求出，再根据直角三角形中所对的直角边是斜边一半的性质求出，最后算出．【详解】解：∵，，平分，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，在中，，，．∴．故选C．42．如图，在四边形中，，，，，，则边的长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点，分别作，垂直于直线，垂足分别为，，根据，，可构成等腰直角三角形，和角是的直角三角形，根据其性质，可求出线段，长，根据勾股定理可求出的长．【详解】解：如图，过点，分别作，垂直于直线，垂足分别为，．，，，，，∴，，，，．过点作，垂足为．在中，，．根据勾股定理得．故选D【点睛】本题考查了勾股定理的应用，和等腰直角三角形的性质和直角三角形的特点，从而可求出解．43．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱都垂直于横梁，，则立柱 ．【答案】2【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质；由中点可得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得．【详解】解：∵点D是斜梁的中点，∴；∵，∴；故答案为：2．44．如图，在四边形中，已知，，，，．(1)求证：是直角三角形；(2)求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了勾股定理，含角直角三角形的特征，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）根据直角三角形的性质得到，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：在中，，，，，在中，，，，即，，即是直角三角形；（2）在中，，，，，，的面积为：，又的面积为：，四边形的面积为：．45．如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q，，．(1)求证：；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的性质．（1）根据证明与全等即可；（2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而由直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）∵为等边三角形，∴，又∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．十一、题点十一 直角三角形的角度关系46．如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，由可得，由直角三角形两锐角互余可得，据此即可求解，掌握平行线和直角三角形的性质是解题的关键．【详解】解：如图，  ∵，∴，∵，∴，故选：．47．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点在上，点在的延长线上，，，，，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的性质，直角三角形的性质，角的和差，由直角三角形两锐角互余可得，由平行线可得，根据角的和差即得到，再根据邻补角的性质即可求出的度数，掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，，∴，，故选：．48．已知一个直角三角的一个角为，另一个角为 ．【答案】/70度【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：∵直角三角的一个角为，∴另一个角为，故答案为：．49．如图，直线，直线l与直线a，b分别相交于A，B两点，交直线b于点C，，则的度数是 ．【答案】/50度【分析】此题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，根据平行线的性质求出，再利用直角三角形的性质求出的度数．【详解】∵，，∴，∵，∴，∴故答案为．50．如图所示，一副三角板的直角顶点重合，且点在斜边上，交于点，若，则 ．【答案】【分析】本题考查三角板有关的角度计算以及直角三角形的性质，解题的关键是看懂图中角的和差关系．先由直角三角形的性质得再由等腰三角形的性质得，进而根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：由题意知，∴∵∴∴∴．故答案为：十二、题点十二 全等与HL51．如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据已知公共边为，根据只要找到对应的直角边或，即可求解．【详解】在与中，∴，故选：B．52．如图，在中，，，垂足为，．若，，则的长是（    ）A． B． C．4 D．6【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明，得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可．【详解】解：∵，，又，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴；故选：A．53．如图，，，于点E，于点F，求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，先由垂直得出，再由线段的和差关系即可得出，则可用证明．【详解】证明：，，．，，，∴．在和中，．54．如图，，垂足分别是点．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是：（1）先证明，然后利用证明，然后刀具全等三角形的性质即可得证；（2）根据全等三角形的性质求出，然后在中，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：，，，，，，，；（2）解：由（1）得：，，在中，．55．如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合等角对等边，得出，再通过“”证明，即可作答．【详解】证明：，，，为等腰直角三角形，在和中，56．在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）根据，，利用证明即可；（2）根据全等三角形的性质得，根据已知条件得出，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵，∴，在和中，，∴． 即．（2）∵，，∴，∵，，∴，∵，∴， ∵， ∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．十三、题点十三 判断三边能否构成直角三角形57．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、，故不是直角三角形，错误；B、，故不是直角三角形，错误；C、，故是直角三角形，正确；D、，故不是直角三角形，错误．故选：C．58．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（    ）A．三个角的比为 B．三条边满足关系C．三条边的比为 D．三个角满足关系【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可得出答案．【详解】解：A、三个角的比为，设三个角分别为、、，，解得：，三个角的度数为、、，是直角三角形，故A不符合题意；B、三条边满足关系，，是直角三角形，故B不符合题意；C、三条边的比为，设三条边分别为、、，，不是直角三角形，故C符合题意；D、三个角满足关系，且，，是直角三角形，故D不符合题意；故选：C．59．如图，在中，，，点是线段上一点，连接，，．(1)证明：；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理；（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论．（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】（1）在中，，，，是直角三角形，且，即．（2）设，则由（1）可知，所以．在中，，，解得60．已知满足．(1)求的值；(2)试判断以为边长能否构成直角三角形，并说明理由．【答案】(1)，，；(2)为边长能构成直角三角形，理由见解析【分析】本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．（1）由非数的性质可分别求得a、b、c的值；（2）利用勾股定理的逆定理可进行判断即可．【详解】（1）解：∵，∴，，，∴，，；（2）解：能构成直角三角形，理由如下：∵，，∴，∴，∴能构成直角三角形．十四、题点十四 构成直角三角形的点61．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．62．已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 .【答案】或【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值.【详解】解：设点B的横坐标为t，根据题意得，即.所以3-t=12或3-t=-12．∴t=-9或t=15.故答案为或.【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．63．同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个．【答案】8【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；符合要求的C点有8个；故答案是8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．十五、题点十五 勾股定理64．下列数组是勾股数的是（  ）A．1， B．3，4，5 C．6，8，14 D．7，23，26【答案】B【分析】本题主要考查勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．【详解】解：A．1，，不是整数，此数组不是勾股数，不符合题意；B．，此数组是勾股数，符合题意；C．，此数组不是勾股数，不符合题意；D．，此数组不是勾股数，不符合题意．故选：B65．如图，将长，宽的矩形纸片折叠，使点A与C重合，则的长等 ．【答案】【分析】本题考查勾股定理、折叠的性质等知识点．熟练掌握折叠的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．由折叠性质可知：，，设，用含x的式子表示，在中，由勾股定理得出方程，即可求出．【详解】解∶由折叠性质可知：，，设，则，∵在中，，∴，解得∶，∴．故答案为：．66．如图，是一张直角三角形的纸片，，，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 ．【答案】【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；设，则，在中，利用勾股定理求出x，可得的长，然后求出，再利用勾股定理求出即可．【详解】解：由折叠得：，，设，则，在中，，∴，解得：，∴又∵，∴，∴，故答案为：．67．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点．(1)探索与的位置关系，并说明理由；(2)求四边形的面积．【答案】(1)．理由见解析(2)30．【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理.（1）根据图中的数据，根据勾股定理的逆定理得到；（2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可.【详解】（1）解：．理由如下，理由如下：由题意，，，，∴，∴，即；（2）解：∴.十六、题点十六 勾股定理逆定理及其应用68．如图，在中，，，边上的中线，求的长．【答案】．【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质．利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再推出是等腰三角形，据此求解即可．【详解】解：∵，，，，∴，∴是直角三角形，且，∵是边上的中线，∴是等腰三角形，∴．69．若的三边a、b、c满足c，则这个三角形最长边上的高是多少？【答案】2.4【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及勾股定理的逆运用，先把原式整理得，得证是直角三角形，通过等面积法列式计算即可作答．【详解】解：∴即∴∴∵∴三角形为直角三角形．∵高∴则这个三角形最长边上的高是．70．如图，在四边形中，，，，点D是外一点，连接，， 且，．求四边形的面积【答案】36【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可．【详解】∵，，，∴，故得长为5．∵，，，且，∴，∴四边形面积为：=．71．如图，在四边形 中，，求四边形的面积．【答案】【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键．【详解】解：连接，如图所示：，，，．，∴，是直角三角形，，．72．2022年10月10日是辛亥革命111周年纪念日，龙腾社区开展了系列纪念活动．如图，有一块三角形空地，社区计划将阴影部分布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得，．(1)试说明．(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形三线合一的性质：（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）过点作于，利用勾股定理求出，再利用作差法求出阴影面积；熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．【详解】（1）证明：，，，，是直角三角形，．（2）过点作于，如图：，，，，在中，，，．十七、题点十七 垂直平分线的性质73．如图，在中，的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（    ）A．13 B．17 C．18 D．30【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，先利用勾股定理求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则由三角形周长公式可得的周长．【详解】解：∵在中，，，∴，∵的垂直平分线分别交于点，∴，∴的周长，故选：C．74．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．【详解】解：连接，∵，，∴，∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴故选：．75．在中，，的垂直平分线交于，交于，，则 ．【答案】70°/70度【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．由，先求的度数，然后根据求等腰三角形底角的度数即可．【详解】解：∵是的垂直平分线∴∴又又∴．故答案为：．76．如图，在等边中，，点在上且，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接，则 ．【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定以及30°的锐角的直角三角形的性质．过点F作于点H．先根据尺规作图可知，为边的垂直平分线且过点A，则，故可得，，从而得到，再利用勾股定理求即可．【详解】解：过点F作于点H，由尺规作图可知，为边的垂直平分线，∴过点A，，则，∴，∴，，∴，∴在中，，故答案为：；77．如图，在中，，，边上的高，是上的一个动点，是边的中点，则的最小值是 ．【答案】8【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得当点共线时，取最小值，最小值为，再根据等边三角形的性质可得，由此即可得．【详解】解：如图，连接，∵在中，，，是等边三角形，是边上的高，垂直平分，，，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为，又∵在等边中，是边的中点，是边上的高，，即的最小值为8，故答案为：8．十八、题点十八 垂直平分线的判定78．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，连接，则的周长为 ．【答案】17【分析】本题主要考查的是垂直平分线的运用，由题意可得为的垂直平分线，所以，进一步可以求出的周长．【详解】解：∵在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，．∴为的垂直平分线，，的周长为：．故答案为：17．79．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．  (1)若，，则 ；(2)若，求的度数；(3)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上．【答案】(1)11(2)(3)点O在的垂直平分线上，理由见解析【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角等等：（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则；（2）先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，，则，据此可得；（3）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上．【详解】（1）解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E，∴，．∵，，∴，故答案为：11；（2）解：∵，∴． ∵，，∴，，∴， ∴，∴的度数为20°；（3）解：点O在的垂直平分线上．理由：如图，连接，，，  ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，∴，， ∴，∴点O在的垂直平分线上．80．如图，与相交于点O，．(1)求证：；(2)求证：垂直平分．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．（1）证明，可得结论；（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【详解】（1）证明：在与中，，∴，∴．（2）证明：由（1）得，∴，∴点O在线段的垂直平分线上，∵，∴点E在线段的垂直平分线上，∴垂直平分．81．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使．(1)求证：；(2)过点A作，交延长线于点F，交于M，连接：①若，则 ．②求证：垂直平分．【答案】(1)见解析；(2)①8；②见解析．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，∴，，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）①∵是等边三角形，是中线，∴，，根据解析（1）可知，，∴，∵，∴，根据解析（1）可知，，∴，∵，∴，解得：；故答案为：8；②证明：∵，∴，∵为的中线，∴，∵，∴，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴垂直平分．十九、题点十九 垂直平分线的应用82．在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（    ）A．三条角平分线的交点 B．三条高线的交点C．三条中线的交点 D．三条边垂直平分线的交点【答案】D【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．【详解】解：平面内，有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，故选：D．83．如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（    ）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点【答案】A【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【详解】∵小学到三个村庄的距离相等，∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点，故选：A．二十、题点二十 角平分线和垂直平分线的尺规作图84．如图，在中，．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若（1）中所作的垂直平分线与边和分别交于点D、E．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理，正确的作图，掌握相关性质和定理，是解题的关键：（1）根据尺规作垂线的方法作图即可；（2）连接，设，则，利用勾股定理列出方程进行求解即可．【详解】（1）如图：（2）连接，设，则，垂直平分，在中，， 即解得：．85．如图，中，．(1)请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与边交于点，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：．【答案】(1)画图见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤画图即可；（2）由线段垂直平分线的性质得，从而，可证，然后根据即可证明．【详解】（1）如图所示，（2）连接，是的垂直平分线，．．又，．又∵，，．．【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．86．如图，在中，，．(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上求作一点，使得点到边 ，的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图形中，过点作于点．求证：；若，，求的长．【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析；．【分析】（）利用基本作图作的平分线即可；（）先根据角平分线的性质得到，然后根据“”证明，从而得到；由，则利用三角形面积公式可求出，再利用的结论得到， 然后计算即可；本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线．【详解】（1）如图，作的平分线，则为所求，（2）证明: ∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴；∵，∴，∴，∴．87．如图，已知村庄A，B分别在道路、上．(1)尺规作图：作的角平分线和线段的垂直平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）作图的基础上，连接、，过D作，，垂足分别为点E和点F，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查基本作图（线段的垂直平分线、角平分线）以及它们的性质．（1）根据要求分别作出的角平分线和线段的垂直平分线即可，（2）根据线段垂直平分线性质可得，角平分线的性质可得，进而证明，即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示：是的角平分线，是线段的垂直平分线，与交于点D；（2）证明：如图， ∵是线段的垂直平分线，∴，又∵是的角平分线，，，∴，∴∴二一、题点二十一 角平分线的性质88．如图，中，，平分，，，则的长是（    ）A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键．过点作于，根据角平分线的性质和已知条件分别求得，再根据三角形面积公式求得，进而求得．【详解】过点作于， 平分，，，，，，，，，，，，，即，，∴．故选：B．89．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点D．若，则点D到的距离为（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】本题考查的是角平分线的性质，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．过点D作，根据角平分线的性质得到，即可得答案．【详解】解：过点D作，如图 由题意得：平分，∵，∴故选：B．90．如图，在四边形ABCD中，， ，连接，，且，的平分线分别交、于点O、E，则①、②、③、④．上述结论正确的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，将涉及的线段用表示是解题的关键．①根据题意求得，从而判定①正确；②过点A、O作于F，于G， 证明是等腰直角三角形得到，从而证明，从而得到，从而判定②错误；③求得，继而求出，，从而得出，从而判定③错误；④用等面积法求得，再证明，，从而得到，继而得到，从而判定①正确．【详解】解：①即，且，∴，，又∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，即①正确，②过点A、O作于F，于G，∵平分，，，∴，又∵，，∴是等腰直角三角形，，∴，∴，∴， ∴，即②错误；③∵，∴，∵，，∴，又∵于F，∴四边形是矩形，是等腰直角三角形，，∴，∴∵，∴∴，即③错误；④∵，，∴，即平分，∴与若以和为底边，高相等；以和作底边，高相同；∴，(高相等时，三角形面积之比等于底边之比)∵，，∴，∴，∴，即④正确；故正确的有：①④，共两个，故选B．91．如图，平分，，如果，那么点到的距离等于 【答案】6【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出．过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6．【详解】解：过作于，平分，，，点到的距离等于6．故答案为：6．92．如图，是的角平分线，于点，若，则的面积为 ．【答案】6【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，由角平分线的性质可知，再由三角形面积公式即可得出结论．【详解】过点作于点，∵是的角平分线，，，∴，∵，∴故答案为：6．二二、题点二十二 角平分线的判定93．如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查角平分线的判定与性质，根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数，读懂题意，熟记角平分线的判定与性质是解决问题的关键．【详解】解：过点作、，如图所示：两把一样的直尺，，由角平分线的判定定理可得是的角平分线，，，故选：A．94．如图，，，，若，则 ．【答案】【分析】本题考查角平分线的判定（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．），解题的关键是根据角平分线的判定得出是的平分线．据此可得出答案．【详解】解：∵，，，∴是的平分线，又∵，∴．故答案为：．95．如图，于E，于F，若、，(1)求证：平分；(2)已知，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，角平分线的判定是解题的关键；（1）根据，证明，由全等三角形的性质得，再由角平分线的判定证明即可．（2）根据，证明，全等三角形的性质得，再根据线段的和差关系求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分；（2）解：∵，，∴∴，∵，∴，∴．96．课本再现：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．  如图1，已知：，易知：平分．知识应用：(1)如图2，，求证：平分．(2)如图3，四边形中，，则______（用含的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过点D作，作的延长线，垂足为F，根据条件证明，得到，即可求解；（2）过点D作，作的延长线，垂足为F，连接，由（1）同理可得：，从而证明，即可得到，即可求解【详解】（1）证明：过点D作，作的延长线，垂足为F，  ∴，∵∴，∵，∴∴，∴平分．（2）解：过点D作，作的延长线，垂足为F，连接，如图，  由（1）同理可得：∴，∴平分，∴∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．97．数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．教材再现：如图，，都是等边三角形．求证：．  请写出证明过程；继续研究：如图，在图的基础上若与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：平分；  在的条件下再探索，，之间的数量关系，并证明．【答案】证明见解析；证明见解析；，理由见解析．【分析】基于等边三角形的性质，用“边角边”判定后即可推出；由得出可由全等三角形的性质得，结合三角形面积公式推出，再根据角平分线判定定理即可证明平分；在上截取一点，使，结合的结论推出是等边三角形，利用等边三角形性质，通过“边角边”判定即可证明．【详解】证明：和都是等边三角形，，，，，即，在和中，，，．证明：如图，过点分别作，，垂足为点，，  由知，，，，即，，根据角平分线判定定理可得，点一定在的角平分线上，即平分．，证明：如图，在上截取一点，使，  由得，，，，在中，，，由得，平分，，是等边三角形，又是等边三角形，，，，，即，和中，，，，，．【点睛】本题考查的知识点是等边三角形性质、全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．二三、题点二十三 角平分线的应用98．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（    ）  A．在边，两条高的交点处B．在边，两条中线的交点处C．在边，两条垂直平分线的交点处D．在和两条角平分线的交点处【答案】D【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，理解角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质求解即可．【详解】解：∵亭子中心到三条马路的距离相等，∴亭子中心就是的三个内角的平分线的交点，因此，A、B、C三个选项都不符合要求，设和两条角平分线的交于点，作于点，于点，于点，如图所示，  ∵平分，，，∴，同理可得：，∴，即点到三边的距离相等，亭子应建在点，因此，D选项正确．故选：D．99．三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．【答案】4【分析】此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知．【详解】解：如图故答案为：4．