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探索规律-人教版数学五年级下册期末专项复习
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这是一份探索规律-人教版数学五年级下册期末专项复习，共14页。试卷主要包含了请保持好试卷的整洁，有9袋糖，其中有一袋质量少一些等内容，欢迎下载使用。
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请保持好试卷的整洁
一、选择题
1．用一架天平称4次，最多能从（ ）个乒乓球中找出仅有1个因超重而不合格的乒乓球。
A．8B．32C．81D．96
2．有25盒月饼，其中有一盒是次品（比较轻），如果用天平称找出这盒较轻的月饼，并且称的次数最少，第一次称时，应把这些月饼（ ）。
A．分成2份（12，13）B．分成3份（10，10，5）
C．分成3份（8，8，9）D．分成3份（10，8，7）
3．有6盒口香糖，其中一盒是次品，比其他的轻一些。用天平称，至少要称（ ）次就一定能把次品找出来。
A．2B．3C．4D．5
4．有8个茶杯，其中一个略轻一些，用天平称，至少称（ ）次才能保证找到它。
A．2B．3C．4D．5
5．李奶奶昨天购买了10瓶钙片，其中有9瓶每瓶都是50片，有一瓶只有45片，借助天平，至少称（ ）次可以保证找到只有45片的那一瓶．
A．1B．2C．3D．4
6．9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称（ ）次能保证找出这盒月饼。
A．2B．3C．4D．5
7．赵红要用天平从12个同一种型号的零件中找出1个质量不一样的次品，李丽用天平要从27个零件中找出1个质量不一样的样品。下面说法正确的是（ ）。
A．李丽用的次数一定比赵红多
B．李丽用的次数一定比赵红少
C．李丽用的次数不一定比赵红多
D．李丽用的次数一定和赵红同样多
二、填空题
8．有9袋糖，其中有一袋质量少一些。用天平称，至少称( )次就能找到次品。
9．24个外观相同的零件，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称( )次保证可以找出次品。
10．有8个外观一样的羽毛球，其中7个一样重，另外1个次品略重一些，用天平至少称( )次就可以保证找出次品。
11．有10瓶口香糖，其中一瓶少了2颗，用天平称，至少( )次才能保证找出少了2颗的这瓶口香糖。
12．有13袋盐，其中12袋质量相同，另外1袋重一些，至少称( )次才能保证找到这袋重一些的盐。
13．阿凡提生产了9个机器零件，其中8个质量合格，但不知道不合格零件比合格零件轻还是重。如果用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件来。
14．为了用尽可能少的次数找出次品，请你对待测物品进行分组。（每组物品里有1个次品）
三、判断题
15．8袋糖果中，有1袋质量不足，至少称2次就可以找出质量不足的那袋。( )
16．有5瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称至少称3次，保证能找出次品。( )
17．有15袋瓜子，其中14袋质量相同，另有一袋质量不足，轻一些，用天平称，至少称三次能保证找出这袋瓜子来。( )
18．3枚外形完全相同的硬币，有1枚是假币，与另外2枚不一样重，用天平秤2次保证能找出这枚假币．( )
19．有10瓶水，其中9瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些，用天平秤，至少称3次能保证找出这瓶盐水。( )
四、解答题
20．有12袋饼干，其中只有一袋里有奖品，它比其他11袋都要略重一些，至少称几次才能保证找到这袋有奖品的饼干？怎么称？
21．9个一模一样的金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗？（天平无砝码）
22．请根据下面的统计表绘制合适的统计图并回答问题。
（1）根据表中数据，完成统计图。
（2）2016年和2020年电子书的阅读量分别是纸质书的几分之几？请你根据上面的数据，对未来几年两种书的阅读量给出合理的预测
23．4包方便面，其中有一包质量不足为次品，用天平至少称几次能保证找出这个次品？
24．我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？
参考答案：
1．C
【分析】将选项中的个数分成3份，逐项分析。
【详解】A.8（3、3、2），两次即可；B.32（11、11、10），4次即可；C.81（27、27、27），27（9、9、9），9（3、3、3），4次即可；D.96（32、32、32），需要5次。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找次品，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
2．C
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】有25盒月饼，其中有一盒是次品（比较轻），如果用天平称找出这盒较轻的月饼，并且称的次数最少，第一次称时，应把这些月饼分成3份（8，8，9）。
故答案为：C
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
3．A
【分析】把6盒口香糖分成三份（2，2，2），在天平两边各放2盒口香糖，若天平平衡，则次品在剩下的2盒中，再称1次即可；若不平衡，则次品在上升的2盒中，同理，再称1次即可。
【详解】由分析可知：
用天平称，至少要称2次就一定能把次品找出来。
故答案为：A
【点睛】本题考查找次品，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
4．A
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，至少称2次才能保证找到略轻一些的茶杯。
故答案为：A
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
5．C
【详解】解：第一次：把10瓶钙片平均分成两份，每份5瓶，分别放在天平秤两端；
第二次：把天平秤较高端5瓶钙片，任取4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡则未取的那瓶即为少3片的钙片，若天平秤不平衡；
第三次：把天平秤较高端2瓶钙片，分别放在天平秤两端，较高端那瓶即为45片．
即至少称3次可以保证找到只有45片的那一瓶．
故选C．
第一次：把10瓶钙片平均分成两份，每份5瓶，分别放在天平秤两端；第二次：把天平秤较高端5瓶钙片，任取4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天 平秤两端，若天平秤平衡则未取的那瓶即为少3片的钙片，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端2瓶钙片，分别放在天平秤两端，较高端那瓶即为45片，据 此即可解答．
6．B
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】将9盒月饼平均分成3份，每份3盒，任选其中的两份先称重，出现两种情况：
情况一：分成3组，每组3盒，如果第一次测量的两组不平衡，说明次品在这其中，剩下一组是正品组的，那么进行第二次测量：1.拿下轻的一组和正品组比，平衡的话，说明次品在重的那组，也说明了次品比正品重。2.拿下轻的那组和正品比，不平衡的话，说明次品就在轻的这一组，也说明了次品比正品轻。找出次品所在的一组后，进行第三次测量，3盒里面找出次品，只需要1次就够了。
情况二：第一次，如果天平平衡，说明不一样重的在剩下的3盒月饼里，把剩下的3盒平均分成3份，每份1盒，第二次称，任意选两份放在天平两边，又分两种情况：
①天平平衡，说明剩下的1盒是不一样的，共需称2次；
②天平不平衡，还需要拿下一盒再称一次，才能确定哪盒质量不同，共需称3次。
综上，至少称3次能保证找出这盒月饼。
故答案为：B
【点睛】本题考查找次品问题，因为质量不同的月饼不知道是轻还是重，需要多次称重才能确定次品在哪一份里，需分情况讨论。
7．C
【分析】选项中都没有提最优策略，次数是不一定的，据此逐项分析即可。
【详解】A． 李丽用的次数一定比赵红多，如果赵红不用最优策略，就不一定；
B． 李丽用的次数一定比赵红少，如果李丽不用最优策略，就不一定；
C． 李丽用的次数不一定比赵红多，说法正确；
D． 李丽用的次数一定和赵红同样多，如果赵红不用最优策略，就不一定。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找次品及事件的确定性与不确定性，用最优策略我们才能保证在有限次数内找到次品。
8．2
【分析】把9袋白糖平均分成3份，每份3袋，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的3袋中；如果天平平衡，次品在剩下的3袋中；再把有次品的3袋白糖分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品就是剩下的那一袋。至少称2次保证能找到这袋糖。
【详解】由分析可知：
有9袋糖，其中有一袋质量少一些。用天平称，至少称2次就能找到次品。
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
9．3
【分析】把24个零件平均分成3份，每份8个，在天平的两端各放1份，会出现两种情况：1、平衡，次品在第3份中，把第3份的8个零件分成3、3、2这样的3份，在天平的两端各放3个，（1）平衡，次品在剩下的2个中，将剩下的2个在天平的两端各放 1个，轻的是次品，（2）不平衡，次品在轻的3个中，把这3个零件分成1、1、1这样的3份，在天平的两端各放1个，①平衡，次品在剩下的1个中，②不平衡，轻的是次品；
2、不平衡，次品在轻的8个零件中，再按照上面的方法找出次品。
【详解】通过分析可知，24个外观相同的零件，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称3次保证可以找出次品。
【点睛】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
10．2
【分析】将8个羽毛球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。故至少称2次能可以保证找出次品。
【详解】将8个羽毛球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中，故至少称2次能可以保证找出次品。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
11．3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】经分析得：
将10瓶分成3份：3，3，4；第一次称重，在天平两边各放3瓶，手里留4瓶；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4瓶分为1，1，2，在天平两边各放1瓶，手里留2瓶，
a.如果天平平衡，则次品在手里2瓶中，接下来，将这2瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的1瓶中。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3瓶中，将这3瓶分成三份：1，1，1，在天平两边各放1瓶，手里留1瓶，
a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的1瓶中，
b.如果天平平衡，则次品在手中的1瓶中。
故至少3次才能保证找出少了2颗的这瓶口香糖。
【点睛】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
12．3/三
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平下沉的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，至少称3次才能保证找到这袋重一些的盐。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
13．3/三
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】将9个零件平均分成3份，每份3个，任选其中的两份先称重，出现两种情况：
情况一：分成3组，每组3个，如果第一次测量的两组不平衡，说明次品在这其中，剩下一组是正品组的，那么进行第二次测量：①拿下轻的一组和正品组比，平衡的话，说明次品在重的那组，也说明了次品比正品重。②拿下轻的那组和正品比，不平衡的话，说明次品就在轻的这一组，也说明了次品比正品轻。找出次品所在的一组后，进行第三次测量，3个里面找出次品，只需要1次就够了。
情况二：第一次，如果天平平衡，说明不一样重的在剩下的3个零件里，把剩下的3个平均分成3份，每份1个，第二次称，任意选两份放在天平两边，又分两种情况：①天平平衡，说明剩下的1个是不一样的，共需称2次；②天平不平衡，还需要拿下一个再称一次，才能确定哪个质量不同，共需称3次。
综上，如果用天平称，至少称3次能保证找出这个不合格的零件来。
【点睛】本题考查找次品问题，因为质量不同的零件不知道是轻还是重，需要多次称重才能确定次品在哪一份里，需分情况讨论。
14．
【分析】在找次品的过程中，为了用最少的次数找出次品，应尽可能把待测物品平均分成3份，故6个待测物品可分为三组；当待测物品为15个时，可分为三组，至少需要称量3次；当待测物品为19个时，可分为三组，至少需要称量3次；当待测物品为25个时，可分为三组，至少需要称量3次。在分组过程中，可以进行比较，找到解决问题的多种策略及最佳策略。
【详解】
【点睛】本题考查了找次品的知识点，解答之前一定要先尽可能把待测物品平均分成3份，每份个数越相近，检测的次数越少。
15．√
【分析】将8袋分成3份：3，3，2，第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在天平两边各放1袋，手里留1袋，
a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中；
b.如果天平平衡，则次品在手中。
【详解】依据分析可知至少称2次能保证找到这袋次品糖果。
故答案为：√。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
16．×
【分析】可依据“尽量均分，3等分”的原则，先将5瓶钙片分成2、2、1的形式，再进一步利用天平称量，可得出结论。
【详解】把5瓶钙片分成2瓶、2瓶、1瓶三份，
第一次，把两份2瓶的钙片分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那瓶是次品；
若不平衡，第二次：把在天平称量较轻的那瓶钙片，分别放在天平两端，同时观察天平，称量较轻的一瓶就是次品。
共需2次。
故答案为：×。
【点睛】首先要明白“找次品”所蕴含的道理；其次在称量过程中，要保持耐心和细心，结合科学的方法一步一步来，直到称量出正确结果。
17．√
【分析】将糖果尽可能平均分成3份，利用天平的平衡原理，逐次找出质量不足的一份。
【详解】把15袋瓜子分成（5，5，5）三份，第一次：任取两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量不足的一袋，在未取的5袋中，若不平衡；质量不足的那袋在天平上升的一端；
第二次：把5袋瓜子分成（2，2，1）三份，把每份2袋的两份分别放在天平两端，若天平平衡，则未取那袋即为质量不足的，若天平不平衡，质量不足的那袋在天平上升的一端；
第三次：把天平较高端的2袋分别放在天平秤两端，较高端即为质量不足的那袋；
所以至少称3次能保证找出这袋瓜子来。
故答案为：√
【点睛】本题是一道关于找次品方面的题目，要善于利用天平的平衡原理求解。
18．√
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
如12（4，4，4）;不能平均分成3份的，要使每份分得尽量平均，如11（4，4，3）。
【详解】1、将两枚硬币放到天枰两侧，平衡，另一枚是假币；
2、如不平衡，换另一枚，与另两枚不同的便是假币。
最多2次。
故答案为：√
【点睛】本题考查了找次品，利用假币的质量与真币不同。
19．√
【详解】第一次：把10瓶水分成2瓶，4瓶，4瓶三份，把其中4瓶两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则盐水即在未取的2瓶中（按照下面的方法操作），若天平秤不平衡；第二次：把天平秤较低端的4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天平秤两端；第三次：把天平秤较低端的2瓶，分别放在天平秤两端，较低端即为盐水。
答：至少称3次能保证找出这瓶盐水。
故答案为：√。
20．3次；过程见解析
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】第一次：把12袋饼干平均分成三份，每份4袋，任取2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较重的即在未取的4袋中（按照下面方法操作），若天平秤不平衡；
第二次：把天平秤较低端的4袋分成两份，每份2袋，分别放在天平秤两端；
第三次：把在天平秤较低端的2袋分别放在天平秤两端，较低端的那袋即为较重的。
答：至少称3次才能保证找到这袋有奖品的饼干。
【点睛】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力。
21．见详解
【分析】第一次：把9个金币平均分成三份，每份3个，任取其中两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，假币即在未取3个中（再按照下面方法操作），若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的3枚金币中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，未取的那枚即使假币，若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假金币，据此即可解答。
【详解】第一种情况：
第一次：把9个金币平均分成三份，每份3个，任取其中两份，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的3枚金币中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，未取的那枚即使假币，若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假金币，
第二种情况：
第一次：把9个金币平均分成三份，每份3个，任取其中两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，假币即在未取3个中；第二次：从未取的3枚金币中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，剩余的那枚即是假币，若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假金币。
答：能用天平称两次就找出来。
【点睛】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力。
22．见详解
【分析】（1）用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，标上数据，然后把各点用线段顺次连接起来。简单来说就是找点、标数、连线。
（2）用2016年和2020年电子书的阅读量分别除以对应纸质书的数量即可；
可以根据折线统计图中折线的变化趋势进行预测，也可以比较2016年和2020年电子书的阅读量是纸质书的几分之几，从而进行预测。
【详解】（1）
（2）
答：2016年电子书的阅读量是纸质书的，2020年电子书的阅读量是纸质书的。
未来几年，电子书的阅读量很有可能继续较快增长，接近甚至超过纸质书的阅读量。
【点睛】本题考查自主绘制复式折线统计图的能力，以及从统计图中获取信息，然后再进行分析、计算、预测等。
23．2次
【分析】将4包方便面分成两包的两份，放在天平两端，则天平向上的一端含有次品；再将这两包方便面分别放在天平两端，则向上的一端天平的方便面为次品，据此可得出答案。
【详解】将4包方便面平均分成两包的两份，放在天平两端，则天平向上的一端含有次品；再将含有次品的两包方便面分别放在天平两端，则向上的一端天平的方便面为次品。即需称量两次。
答：用天平至少称2次能保证找出这个次品。
【点睛】本题主要考查的是用天平找次品，解题的关键是熟练运用天平的原理，找出次品，进而得出答案。
24．3次
【分析】15（5，5，5）其中任意两组放在天平上称。可找出有次品的一组。再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要两次，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需三次。
【详解】第一次，把15盒茶叶平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第二次，把含有较重的一份（5盒）分成3份（2盒、2盒、1盒），取2盒中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的那份（2盒），分别放在天平的两侧，即可找到较重的一盒。
答：至少称3次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来。
【点睛】本题考查找次品问题，称n次，最多可以分辨3的n次方格物品数目。
待测物品个数
6
15
19
25
首次分成
( )
( )
( )
( )
待测物品个数
6
15
19
25
首次分成
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请保持好试卷的整洁
一、选择题
1．用一架天平称4次，最多能从（ ）个乒乓球中找出仅有1个因超重而不合格的乒乓球。
A．8B．32C．81D．96
2．有25盒月饼，其中有一盒是次品（比较轻），如果用天平称找出这盒较轻的月饼，并且称的次数最少，第一次称时，应把这些月饼（ ）。
A．分成2份（12，13）B．分成3份（10，10，5）
C．分成3份（8，8，9）D．分成3份（10，8，7）
3．有6盒口香糖，其中一盒是次品，比其他的轻一些。用天平称，至少要称（ ）次就一定能把次品找出来。
A．2B．3C．4D．5
4．有8个茶杯，其中一个略轻一些，用天平称，至少称（ ）次才能保证找到它。
A．2B．3C．4D．5
5．李奶奶昨天购买了10瓶钙片，其中有9瓶每瓶都是50片，有一瓶只有45片，借助天平，至少称（ ）次可以保证找到只有45片的那一瓶．
A．1B．2C．3D．4
6．9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称（ ）次能保证找出这盒月饼。
A．2B．3C．4D．5
7．赵红要用天平从12个同一种型号的零件中找出1个质量不一样的次品，李丽用天平要从27个零件中找出1个质量不一样的样品。下面说法正确的是（ ）。
A．李丽用的次数一定比赵红多
B．李丽用的次数一定比赵红少
C．李丽用的次数不一定比赵红多
D．李丽用的次数一定和赵红同样多
二、填空题
8．有9袋糖，其中有一袋质量少一些。用天平称，至少称( )次就能找到次品。
9．24个外观相同的零件，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称( )次保证可以找出次品。
10．有8个外观一样的羽毛球，其中7个一样重，另外1个次品略重一些，用天平至少称( )次就可以保证找出次品。
11．有10瓶口香糖，其中一瓶少了2颗，用天平称，至少( )次才能保证找出少了2颗的这瓶口香糖。
12．有13袋盐，其中12袋质量相同，另外1袋重一些，至少称( )次才能保证找到这袋重一些的盐。
13．阿凡提生产了9个机器零件，其中8个质量合格，但不知道不合格零件比合格零件轻还是重。如果用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件来。
14．为了用尽可能少的次数找出次品，请你对待测物品进行分组。（每组物品里有1个次品）
三、判断题
15．8袋糖果中，有1袋质量不足，至少称2次就可以找出质量不足的那袋。( )
16．有5瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称至少称3次，保证能找出次品。( )
17．有15袋瓜子，其中14袋质量相同，另有一袋质量不足，轻一些，用天平称，至少称三次能保证找出这袋瓜子来。( )
18．3枚外形完全相同的硬币，有1枚是假币，与另外2枚不一样重，用天平秤2次保证能找出这枚假币．( )
19．有10瓶水，其中9瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些，用天平秤，至少称3次能保证找出这瓶盐水。( )
四、解答题
20．有12袋饼干，其中只有一袋里有奖品，它比其他11袋都要略重一些，至少称几次才能保证找到这袋有奖品的饼干？怎么称？
21．9个一模一样的金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗？（天平无砝码）
22．请根据下面的统计表绘制合适的统计图并回答问题。
（1）根据表中数据，完成统计图。
（2）2016年和2020年电子书的阅读量分别是纸质书的几分之几？请你根据上面的数据，对未来几年两种书的阅读量给出合理的预测
23．4包方便面，其中有一包质量不足为次品，用天平至少称几次能保证找出这个次品？
24．我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？
参考答案：
1．C
【分析】将选项中的个数分成3份，逐项分析。
【详解】A.8（3、3、2），两次即可；B.32（11、11、10），4次即可；C.81（27、27、27），27（9、9、9），9（3、3、3），4次即可；D.96（32、32、32），需要5次。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找次品，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
2．C
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】有25盒月饼，其中有一盒是次品（比较轻），如果用天平称找出这盒较轻的月饼，并且称的次数最少，第一次称时，应把这些月饼分成3份（8，8，9）。
故答案为：C
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
3．A
【分析】把6盒口香糖分成三份（2，2，2），在天平两边各放2盒口香糖，若天平平衡，则次品在剩下的2盒中，再称1次即可；若不平衡，则次品在上升的2盒中，同理，再称1次即可。
【详解】由分析可知：
用天平称，至少要称2次就一定能把次品找出来。
故答案为：A
【点睛】本题考查找次品，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
4．A
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，至少称2次才能保证找到略轻一些的茶杯。
故答案为：A
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
5．C
【详解】解：第一次：把10瓶钙片平均分成两份，每份5瓶，分别放在天平秤两端；
第二次：把天平秤较高端5瓶钙片，任取4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡则未取的那瓶即为少3片的钙片，若天平秤不平衡；
第三次：把天平秤较高端2瓶钙片，分别放在天平秤两端，较高端那瓶即为45片．
即至少称3次可以保证找到只有45片的那一瓶．
故选C．
第一次：把10瓶钙片平均分成两份，每份5瓶，分别放在天平秤两端；第二次：把天平秤较高端5瓶钙片，任取4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天 平秤两端，若天平秤平衡则未取的那瓶即为少3片的钙片，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端2瓶钙片，分别放在天平秤两端，较高端那瓶即为45片，据 此即可解答．
6．B
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】将9盒月饼平均分成3份，每份3盒，任选其中的两份先称重，出现两种情况：
情况一：分成3组，每组3盒，如果第一次测量的两组不平衡，说明次品在这其中，剩下一组是正品组的，那么进行第二次测量：1.拿下轻的一组和正品组比，平衡的话，说明次品在重的那组，也说明了次品比正品重。2.拿下轻的那组和正品比，不平衡的话，说明次品就在轻的这一组，也说明了次品比正品轻。找出次品所在的一组后，进行第三次测量，3盒里面找出次品，只需要1次就够了。
情况二：第一次，如果天平平衡，说明不一样重的在剩下的3盒月饼里，把剩下的3盒平均分成3份，每份1盒，第二次称，任意选两份放在天平两边，又分两种情况：
①天平平衡，说明剩下的1盒是不一样的，共需称2次；
②天平不平衡，还需要拿下一盒再称一次，才能确定哪盒质量不同，共需称3次。
综上，至少称3次能保证找出这盒月饼。
故答案为：B
【点睛】本题考查找次品问题，因为质量不同的月饼不知道是轻还是重，需要多次称重才能确定次品在哪一份里，需分情况讨论。
7．C
【分析】选项中都没有提最优策略，次数是不一定的，据此逐项分析即可。
【详解】A． 李丽用的次数一定比赵红多，如果赵红不用最优策略，就不一定；
B． 李丽用的次数一定比赵红少，如果李丽不用最优策略，就不一定；
C． 李丽用的次数不一定比赵红多，说法正确；
D． 李丽用的次数一定和赵红同样多，如果赵红不用最优策略，就不一定。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找次品及事件的确定性与不确定性，用最优策略我们才能保证在有限次数内找到次品。
8．2
【分析】把9袋白糖平均分成3份，每份3袋，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的3袋中；如果天平平衡，次品在剩下的3袋中；再把有次品的3袋白糖分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品就是剩下的那一袋。至少称2次保证能找到这袋糖。
【详解】由分析可知：
有9袋糖，其中有一袋质量少一些。用天平称，至少称2次就能找到次品。
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
9．3
【分析】把24个零件平均分成3份，每份8个，在天平的两端各放1份，会出现两种情况：1、平衡，次品在第3份中，把第3份的8个零件分成3、3、2这样的3份，在天平的两端各放3个，（1）平衡，次品在剩下的2个中，将剩下的2个在天平的两端各放 1个，轻的是次品，（2）不平衡，次品在轻的3个中，把这3个零件分成1、1、1这样的3份，在天平的两端各放1个，①平衡，次品在剩下的1个中，②不平衡，轻的是次品；
2、不平衡，次品在轻的8个零件中，再按照上面的方法找出次品。
【详解】通过分析可知，24个外观相同的零件，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称3次保证可以找出次品。
【点睛】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
10．2
【分析】将8个羽毛球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。故至少称2次能可以保证找出次品。
【详解】将8个羽毛球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中，故至少称2次能可以保证找出次品。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
11．3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】经分析得：
将10瓶分成3份：3，3，4；第一次称重，在天平两边各放3瓶，手里留4瓶；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4瓶分为1，1，2，在天平两边各放1瓶，手里留2瓶，
a.如果天平平衡，则次品在手里2瓶中，接下来，将这2瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的1瓶中。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3瓶中，将这3瓶分成三份：1，1，1，在天平两边各放1瓶，手里留1瓶，
a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的1瓶中，
b.如果天平平衡，则次品在手中的1瓶中。
故至少3次才能保证找出少了2颗的这瓶口香糖。
【点睛】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
12．3/三
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平下沉的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，至少称3次才能保证找到这袋重一些的盐。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
13．3/三
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】将9个零件平均分成3份，每份3个，任选其中的两份先称重，出现两种情况：
情况一：分成3组，每组3个，如果第一次测量的两组不平衡，说明次品在这其中，剩下一组是正品组的，那么进行第二次测量：①拿下轻的一组和正品组比，平衡的话，说明次品在重的那组，也说明了次品比正品重。②拿下轻的那组和正品比，不平衡的话，说明次品就在轻的这一组，也说明了次品比正品轻。找出次品所在的一组后，进行第三次测量，3个里面找出次品，只需要1次就够了。
情况二：第一次，如果天平平衡，说明不一样重的在剩下的3个零件里，把剩下的3个平均分成3份，每份1个，第二次称，任意选两份放在天平两边，又分两种情况：①天平平衡，说明剩下的1个是不一样的，共需称2次；②天平不平衡，还需要拿下一个再称一次，才能确定哪个质量不同，共需称3次。
综上，如果用天平称，至少称3次能保证找出这个不合格的零件来。
【点睛】本题考查找次品问题，因为质量不同的零件不知道是轻还是重，需要多次称重才能确定次品在哪一份里，需分情况讨论。
14．
【分析】在找次品的过程中，为了用最少的次数找出次品，应尽可能把待测物品平均分成3份，故6个待测物品可分为三组；当待测物品为15个时，可分为三组，至少需要称量3次；当待测物品为19个时，可分为三组，至少需要称量3次；当待测物品为25个时，可分为三组，至少需要称量3次。在分组过程中，可以进行比较，找到解决问题的多种策略及最佳策略。
【详解】
【点睛】本题考查了找次品的知识点，解答之前一定要先尽可能把待测物品平均分成3份，每份个数越相近，检测的次数越少。
15．√
【分析】将8袋分成3份：3，3，2，第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在天平两边各放1袋，手里留1袋，
a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中；
b.如果天平平衡，则次品在手中。
【详解】依据分析可知至少称2次能保证找到这袋次品糖果。
故答案为：√。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
16．×
【分析】可依据“尽量均分，3等分”的原则，先将5瓶钙片分成2、2、1的形式，再进一步利用天平称量，可得出结论。
【详解】把5瓶钙片分成2瓶、2瓶、1瓶三份，
第一次，把两份2瓶的钙片分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那瓶是次品；
若不平衡，第二次：把在天平称量较轻的那瓶钙片，分别放在天平两端，同时观察天平，称量较轻的一瓶就是次品。
共需2次。
故答案为：×。
【点睛】首先要明白“找次品”所蕴含的道理；其次在称量过程中，要保持耐心和细心，结合科学的方法一步一步来，直到称量出正确结果。
17．√
【分析】将糖果尽可能平均分成3份，利用天平的平衡原理，逐次找出质量不足的一份。
【详解】把15袋瓜子分成（5，5，5）三份，第一次：任取两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量不足的一袋，在未取的5袋中，若不平衡；质量不足的那袋在天平上升的一端；
第二次：把5袋瓜子分成（2，2，1）三份，把每份2袋的两份分别放在天平两端，若天平平衡，则未取那袋即为质量不足的，若天平不平衡，质量不足的那袋在天平上升的一端；
第三次：把天平较高端的2袋分别放在天平秤两端，较高端即为质量不足的那袋；
所以至少称3次能保证找出这袋瓜子来。
故答案为：√
【点睛】本题是一道关于找次品方面的题目，要善于利用天平的平衡原理求解。
18．√
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
如12（4，4，4）;不能平均分成3份的，要使每份分得尽量平均，如11（4，4，3）。
【详解】1、将两枚硬币放到天枰两侧，平衡，另一枚是假币；
2、如不平衡，换另一枚，与另两枚不同的便是假币。
最多2次。
故答案为：√
【点睛】本题考查了找次品，利用假币的质量与真币不同。
19．√
【详解】第一次：把10瓶水分成2瓶，4瓶，4瓶三份，把其中4瓶两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则盐水即在未取的2瓶中（按照下面的方法操作），若天平秤不平衡；第二次：把天平秤较低端的4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天平秤两端；第三次：把天平秤较低端的2瓶，分别放在天平秤两端，较低端即为盐水。
答：至少称3次能保证找出这瓶盐水。
故答案为：√。
20．3次；过程见解析
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】第一次：把12袋饼干平均分成三份，每份4袋，任取2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较重的即在未取的4袋中（按照下面方法操作），若天平秤不平衡；
第二次：把天平秤较低端的4袋分成两份，每份2袋，分别放在天平秤两端；
第三次：把在天平秤较低端的2袋分别放在天平秤两端，较低端的那袋即为较重的。
答：至少称3次才能保证找到这袋有奖品的饼干。
【点睛】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力。
21．见详解
【分析】第一次：把9个金币平均分成三份，每份3个，任取其中两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，假币即在未取3个中（再按照下面方法操作），若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的3枚金币中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，未取的那枚即使假币，若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假金币，据此即可解答。
【详解】第一种情况：
第一次：把9个金币平均分成三份，每份3个，任取其中两份，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的3枚金币中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，未取的那枚即使假币，若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假金币，
第二种情况：
第一次：把9个金币平均分成三份，每份3个，任取其中两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，假币即在未取3个中；第二次：从未取的3枚金币中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，剩余的那枚即是假币，若天平秤不平衡，天平秤较高端的即为假金币。
答：能用天平称两次就找出来。
【点睛】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力。
22．见详解
【分析】（1）用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，标上数据，然后把各点用线段顺次连接起来。简单来说就是找点、标数、连线。
（2）用2016年和2020年电子书的阅读量分别除以对应纸质书的数量即可；
可以根据折线统计图中折线的变化趋势进行预测，也可以比较2016年和2020年电子书的阅读量是纸质书的几分之几，从而进行预测。
【详解】（1）
（2）
答：2016年电子书的阅读量是纸质书的，2020年电子书的阅读量是纸质书的。
未来几年，电子书的阅读量很有可能继续较快增长，接近甚至超过纸质书的阅读量。
【点睛】本题考查自主绘制复式折线统计图的能力，以及从统计图中获取信息，然后再进行分析、计算、预测等。
23．2次
【分析】将4包方便面分成两包的两份，放在天平两端，则天平向上的一端含有次品；再将这两包方便面分别放在天平两端，则向上的一端天平的方便面为次品，据此可得出答案。
【详解】将4包方便面平均分成两包的两份，放在天平两端，则天平向上的一端含有次品；再将含有次品的两包方便面分别放在天平两端，则向上的一端天平的方便面为次品。即需称量两次。
答：用天平至少称2次能保证找出这个次品。
【点睛】本题主要考查的是用天平找次品，解题的关键是熟练运用天平的原理，找出次品，进而得出答案。
24．3次
【分析】15（5，5，5）其中任意两组放在天平上称。可找出有次品的一组。再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要两次，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需三次。
【详解】第一次，把15盒茶叶平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第二次，把含有较重的一份（5盒）分成3份（2盒、2盒、1盒），取2盒中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的那份（2盒），分别放在天平的两侧，即可找到较重的一盒。
答：至少称3次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来。
【点睛】本题考查找次品问题，称n次，最多可以分辨3的n次方格物品数目。
待测物品个数
6
15
19
25
首次分成
( )
( )
( )
( )
待测物品个数
6
15
19
25
首次分成
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