2024年湖南省岳阳市中考二模数学试题（学生版+教师版）

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2． 本试卷分为试题卷和答题卡两部分， 所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题 区域内；
3． 考试结束后， 考生不得将试题卷、 答题卡、 草稿纸带出考场．
一、选择题(本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每道小题给出的四个选项中， 选出符合要求的一项．)
1. 2024的倒数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【详解】解：2024的倒数是；
故选：C．
2. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. 和不是同类项，不能合并，则该选项错误，不符合题意；
B. ，则该选项错误，不符合题意；
C. ，则该选项错误，不符合题意；
D. ，则该选项正确，符合题意．
故选：D．
4. 右表是某中学阳光社团 40 名志愿者的年龄分布统计表．对于 a 、b 取不同的值，下列关于 年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 平均数、众数B. 中位数、平均数
C. 众数、中位数D. 平均数、方差
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握中位数、众数的定是解题的关键．
由频数分布表可知年龄14岁和年龄15岁的两组的频数和为10，结合前两组的频数知出现次数是11，19个数据的平均数，然后中位数、众数的定即可解答．
【详解】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为，
由频数分布表可知：出现次数最多的是13岁，和中位数出现在13岁年龄段，不会因a 、b 取不同的值而变化．
故选：C．
5. 如图，一块直角三角板的 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线上，若斜边 与直线交于的中点 E ，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，平行线的性质，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明是等边三角形，得到，则由平行线的性质可得．
【详解】解：∵斜边 与直线交于的中点 E ，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等组以及在数轴上表示不等式组的解集，先分别求出每个不等式的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
数轴表示正确的为C，
故选C．
7. 在中， ， 按以下步骤作图：①分别以 A ，B 为圆心，大于的长为半径画弧，相交于 M、N 两点；②作直线 交于点 D ，连接．若，则的大小为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，结合图形熟练运用相关性质是解题的关键．
由题意可得是的垂直平分线，即；再由等腰三角形的性质可得，再结合三角形外角的性质可得；再根据等边对等角可得，进而得到即可解答．
【详解】解：由题意可知：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
故选A．
8. 一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ）
A. 以的速度，做竖直向上运动B. 以的速度，做竖直向下运动
C. 以的速度，做竖直向上运动D. 以的速度，做竖直向下运动
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，
则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动．
故选：A．
9. 我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形即可求解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：根据图形可知，解释的代数恒等式是，
故选：．
10. 对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使为等腰直角三角形且， 则称抛物线G为点P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线的T型点，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D. n ≥
【答案】C
【解析】
【分析】本题是新定义的阅读理解问题，考查二次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质，根据新定义可知与构成等腰直角三角形且的点一定在直线和上，然后求出解析式，利用函数的交点与一元二次方程的联系解题即可．
【详解】如图，∵ 是抛物线的T型点，
∴，
∴
∴点坐标为，
设直线的解析式为：，代入得：
，
解得，
∴解析式为，
∴抛物线必与直线有交点，
故有实数根，即有实数根，
，
解得，
故选C
二、填空题(本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
11. 因式分解：a3－a=______．
【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
12. 为顺利实现“三高四新 ”美好蓝图，加快推进高质量发展，湖南省委决定在全省开展解 放思想大讨论活动．为充分凝聚全省广大干部群众及关心湖南发展的社会各界人士的智 慧，特从 2 月 19 日起面向社会开展“献策湖南 ”金点子征集活动．据统计，至今已收到金点子万条，将万用科学记数法表示应为 _______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万，
故答案为：．
13. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
14. 如图，已知中， 则_______ ．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角为其对应圆心角的一半是解题的关键．
直接运用圆周角定理即可解答．
【详解】解： ．
故答案为 ．
15. 近几年我国航天领域的发展突飞猛进，2024 年 4 月 25 日神十八成功发射．为树立“热 爱科学崇尚科学 ”的风尚，某校举办科普知识竞赛．某班的甲、乙两名同学进行了多次模拟练习，右表是他们近五次模拟成绩的平均数及方差，班主任应选择 _______ 同学参加校级比赛．
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查方差和平均数定义，理解方差反应了数据的稳定程度成为解题的关键．
根据题意利用方差及平均数即可解答．
【详解】解：∵甲、乙两名同学的平均数相等，但甲的方差大于乙的方差，
∴甲的成绩没有乙的成绩稳定，
∴主任应选择乙同学参加校级比赛．
故答案为：乙．
16. 已知关于 x 的一元二次方程两个根，则 _______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于一元二次方程的两个根是解题的关键．
直接根据根与系数的关系即可解答．
【详解】解：关于 x 的一元二次方程两个根，则 ．
故答案为．
17. 张航爱好数学，能活学活用．如图，他站在离他家所在楼房（B点）35米的A点遥控无人机，当无人机飞行到他头顶正上方D点时，无人机测得他家所在的楼房顶端点 C 的 俯角为，底端点B的俯角为．利用测量数据计算出他家所在楼房的高度为_________ 米．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作交的延长线于点，得到是等腰直角三角形，求得米，在中，利用三角函数的定义求得米，据此求解即可．
【详解】解：过点D作交的延长线于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
故答案为：．
18. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论序号是__．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【详解】解：①绕点逆时针旋转得到，
，故①正确；
②绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
，故②正确；
③在中，
，，
．
．
与不垂直．故③不正确；
④在中，
，，
．
，故④正确．
①②④这三个结论正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了旋转性质的应用，掌握图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解决问题的关键．
三、解答题(本题共 8 小题，共 66 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再计算算术平方根和绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的表达式为，再分别求得的坐标，据此即可求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴直线的表达式为，
∵时，，
解得，则，
∵时，，
解得，则，
∴．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．
21. 如图，四边形中，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．
（1）根据，得出，即可根据求证；
（2）根据全等三角形的性质推出四边形是平行四边形，进而得出是矩形，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答．
【小问1详解】
证明： ∵，
∴（两直线平行， 内错角相等），
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解： ∵，
∴，，
∴ 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
又∵ ，
∴是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴（矩形的四个角是直角），
∵，，
∴
∴矩形的面积．
22. 为培养青少年的动手实践能力，树立正确的价值观，使得创新精神成为当代青少年未来发展的精神支柱．岳阳楼区中小学校因地制宜，创造条件，精心设计丰富 多彩的劳动作业，让学生多参与劳动，提高劳动技能．某校组织全校学生开展了劳动技 能大赛，通过以赛促学、以赛促育的方式，感受劳动之趣，体验劳动之美．赛后从中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，所有问卷全部收回，并将结果绘制成如下统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明说频数分布直方图中有一组的数据画错了，该组正确的数据应是 ．
（2）扇形统计图中 C 所在扇形的圆心角度数为 度；
（3）若该校共有 2800 名学生，请估计本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的学生人数；
（4）该校准备从 D 组的前四名同学中选两名同学参全区的劳动技能大赛，好朋友小聪和小明都是候选人．请用树状图或列表的方法，求小聪和小明同时被选上参赛的概率．
【答案】（1）36 （2）72
（3）1680人 （4）
【解析】
【分析】本题考查频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，借助树状图来估计概率，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）结合扇形统计图，计算出总人数，即可找出错的是哪一组，再按照所占百分比即可求出正确的数据；
（2）根据扇形统计图中C 所占百分比即可求出；
（3）用本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的百分比乘以2800即可作出估计；
（4）根据题意列出树状图进行求解即可．
【小问1详解】
解：（人）
（人）
（人）
（人）
∴出错的是B组，正确的数据应该是
（人）
故答案：36．
【小问2详解】
故答案为：72 ．
【小问3详解】
（人）
答：估计本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的学生人数为1680人．
【小问4详解】
假设另外两人分别是甲、乙，根据题意所列树状图如下：
共有12种情况，其中符合题意的有2种，
∴，
故小聪和小明同时被选上参赛的概率为．
23. 春分是二十四个节气中的第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移， 北半球昼长夜短．所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种疏菜的好时机．我国农 谚有云： “春分有雨家家忙，先种瓜豆后插秧 ”．种植户农民刘大伯开辟了一处耕种园， 需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆 A 种菜苗的价格比菜苗基地贵 5 元，用 375 元 在市场上购买的 A 种菜苗捆数和用 300 元在菜苗基地购买的捆数一样多．
（1）求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆 B 种菜苗的价格是 30 元．刘大伯决定在菜苗基地购买 A ，B 两种菜苗共 100 捆，且 A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持刘大伯，对 A ， B 两种菜苗均提供九折优惠．求刘大伯本次购买最少花费多少钱．
【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格为 20 元
（2）本次购买菜苗最少花费为 2250 元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出方程和函数解析式成为解题的关键．
（1）设菜苗基地A种菜苗每捆x元，然后根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设在菜苗基地购买 a 捆A种菜苗， 购买菜苗的花费为 w 元，则购买B 种菜苗的捆数为；根据不等关系“A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数”列不等式可得，然后再列出购买菜苗的花费为 w 元与a的函数关系式，最后根据一次函数的增减性即可解答．
【小问1详解】
解：设菜苗基地A种菜苗每捆x元，
根据题意得：，解得：，
经检验，x = 20 是所列方程的解，且符合题意．
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为 20 元．
【小问2详解】
解：设在菜苗基地购买 a 捆A种菜苗， 购买菜苗的花费为 w 元，则，
∴，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴w 随 a 的增大而较小． 当 时，w 最小，
∴ (元) ．
答： 本次购买菜苗最少花费为 2250 元．
24. 如图，是的直径，C 是上一点，过点 C作 ，垂足为E，交于点 D ，连接 、、，过点B作直线交的延长线于F，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）若 ， ，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角等于得出，则，由同弧所对的圆周角相等得出，结合已知条件，等量代换可得出，即，加上为的半径，即可证明．
（2）由直径所对的圆周角等于得出，则，则，由同弧所对的圆周角相等得出，证明，由相似三角形的性质得出，即可求出，利用勾股定理求出，由垂径定理得出，由正切的定义得出，，等量代换得出
【小问1详解】
证明∵为的直径，
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴ ，
∴即
即，
∴ ，
又为的半径，
∴为的切线．
小问2详解】
∵为直径，
∴，
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴
∵为的直径且，
∴
∵在中，
，
在中，
，
∵，
∴，
∵中，，
中， ，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，勾股定理，垂径定理，正切的定义等知识，掌握这些定理以及性质是解题的关键．
25. 综合与实践
问题情境：如图1 ，矩形中，点M是边上一点，分别交， 于点E、F．
（1）探究发现：若，求．
（2）探索研究：如图 2 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M 处，，连接，与交于点 G ．
①求的长；
②连接，若，求的长．
（3）探究拓展：如图 3 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点 M 处，若，求y关于x的函数关系式．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）过点E作于点Q，易得，由相似三角形的性质即可求解；
（2）①过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得 的值，由勾股定理求得，即可求得的值；
②过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长；
（3）连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得，；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式．
【小问1详解】
解：如图，过点E作于点Q，则，
在矩形中，，
四边形为矩形，
，
；
，
，
；
，
，
；
【小问2详解】
解：①过点E作于点Q，如图所示；
矩形沿直线折叠，
；
故由（1）知，；
由勾股定理得，
；
②如图，过G点作于点P；
则，
，
，
，
，
；
在中，由勾股定理即得；
【小问3详解】
解：如图，连接，过点E作于点Q，
由翻折性质得；
由（1）知，，
，
；
四边形是矩形，
，
；
在中，由勾股定理得,
即
整理得：，
即y与x的函数关系式为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式；作出相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
26. 龙是我们中华民族重要的精神象征和文化符号．2024年央视春晚吉祥物形象“龙辰辰”，它是从中华传统文化中汲取灵感，融入了吉祥如意、平安幸福的美好涵义，简直是一幅 展现中华文明灵动之美的艺术杰作．王林子同学很喜欢“集国宝于一身，集万千神思于一身 ”的“龙辰辰”，如图1，便在平面直角标系内画了“龙辰辰”，并取名为“龙辰辰函数”，如图2，此函数图像由五段不同的二次函数图像组成，与轴有且仅有三个交点，分别是、、，“龙辰辰函数”的最高点是第①段（段）函数图像的顶点，“龙辰辰函数”图像中最低点和分别是第②段（段）和第④段函数（段）的顶点且纵坐标均为．
（1）求“龙辰辰函数”第①段的函数表达式；
（2）已知是轴上一点，是“龙辰辰函数”的图像上一点．
①当最大时，求的值；
②若是平面直角坐标系内一点且，是否存在点使得四边形为平行四边形，若存在，请求出坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知一次函数的图像与“龙辰辰函数”的图像有3个交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，可设该段函数解析式为，将点代入求解即可；
（2）①根据题意可知，关于轴对称，易得，即当三点共线时，取最大值，为长，此时点为直线与轴的交点，利用待定系数法求得直线的解析式，进而确定点坐标，然后利用勾股定理解得，的值，即可获得答案；②首先确定或或，然后分情况讨论，分别求解即可；
（3）首先确定一次函数图像必经过点，当直线经过点时，一次函数的图像与“龙辰辰函数”的图像有3个交点，可求得此时的值；使值逐渐增大，当直线与①段（段）函数图像只有一个交点时，一次函数的图像与“龙辰辰函数”的图像有2个交点，求得此时的值，即可获得答案．
【小问1详解】
解：∵第①段函数的顶点为，与轴相交于，
∴可设该段函数解析式为，
则，解得，
∴第①段函数的表达式为；
【小问2详解】
① ∵，关于轴对称，
∴，即当三点共线时，取最大值，为的长，此时点为直线与轴的交点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
当时，可有，
∴，
∴，，
∴；
②存在，理由如下：
根据题意，设第②段（段）函数解析式为，
将点代入，可得，解得，
∴第②段（段）函数解析式为，
设第③段（段）函数解析式为，
将点代入，可得，解得，
∴第③段（段）函数解析式为，
∵是“龙辰辰函数”的图像上一点，
∴是直线与“龙辰辰函数”的图像的交点，
∴或或，
分情况讨论：
若的坐标为，四边形为平行四边形，
可看作由边向左移3个单位长度，向上平移4个单位长度可得，
根据平移规律得，不合题意；
若的坐标为，同上可得；
若的坐标为，同上可得．
综上所述，坐标为或；
【小问3详解】
对于一次函数，
当时，可有，
即该一次函数图像必经过点，
如下图，当直线经过点时，一次函数的图像与“龙辰辰函数”的图像有3个交点，
将点代入一次函数，
解得；
使值逐渐增大，如下图，当直线与①段（段）函数图像只有一个交点时，一次函数的图像与“龙辰辰函数”的图像有2个交点，
联立一次函数与二次函数，
可得，整理可得，
此时可有，
解得或（舍去）．
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的性质、一元二次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．年龄(岁)
12
13
14
15
频数(名)
11
19
a
b
甲
乙
平均数
96 分
96 分
方差
1.2
0.4