决战2024届高考考前押题卷数学（江苏专用03）

这是一份决战2024届高考考前押题卷数学（江苏专用03），共19页。试卷主要包含了已知数列的前项和为，若，则等内容，欢迎下载使用。

数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的展开式中常数项为（ ）
A．112B．56C．28D．16
2．如图是我国2017~2022年人用疫苗进出口均价，下列结论不正确的是（ ）

A．疫苗进口均价最低约为2100美元/千克
B．疫苗出口均价的极差小于3700美元/千克
C．疫苗进口均价的中位数大于2750美元/千克
D．疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差
3．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．1
4．干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（ ）
A．丁辰年B．癸未年C．甲午年D．甲申年
5．设非零复数和在复平面内对应的向量分别为和，其中O为原点，若为纯虚数，则（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．设双曲线C其中一支的焦点为F，另一支的顶点为A，其两渐近线分别为. 若点B在m上，且，则m与n的夹角的正切值为（ ）
A．B．C．2D．
8．已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A．2B．1C．0D．-1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．互斥D．
11．在棱长为的正方体中，点P在正方形内含边界运动，则下列结论正确的是（ ）．
A．若点P在上运动，则
B．若平面，则点P在上运动
C．存在点P，使得平面PBD截该正方体的截面是五边形
D．若，则四棱锥的体积最大值为1
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为 ．
13．已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 .
14．已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是 R，满足，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15．已知函数
(1)讨论函数在区间上的单调性;
(2)证明函数在区间上有且仅有两个零点.
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.
17．已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点．
18．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率.
19．对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列，经过6次“变换”后得到的数列；
(2)若不全相等，判断数列经过不断的“变换”是否会结束，并说明理由；
(3)设数列经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．
年龄
次数
每周0～2次
70
55
36
59
每周3～4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
参考答案：
1．A
【分析】由二项展开式的通项公式即可得到常数项.
【详解】由题意知，通项公式为，
所以常数项为.
故选：A.
2．C
【分析】根据图表观察可确定ABD选项，由中位数的定义确定中位数为2019年、2020年的疫苗进口均价的平均数，观察范围即可确定.
【详解】由题图易知选项A，B正确；
对于选项C，疫苗进口均价的中位数是2020年与2021年疫苗进口均价的平均数，2020年的疫苗进口均价小于2500美元/千克，2021年的疫苗进口均价小于3000美元/千克，因此中位数小于2750美元/千克，故选项C不正确；
对于选项D，由题图易知疫苗出口均价波动幅度比疫苗进口均价波动幅度大，所以疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差，故选项D正确.
故选：C．
3．A
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求得的值，利用斜率公式可求得的值．
【详解】∵角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，
且，∴，
解得，∴，∴，
∴．
故选：A．
4．D
【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，以2024年的天干和地支分别为首项，即可求解．
【详解】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，故100年后天干为甲，
由于，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，
所以2124年为甲申年．
故选：D
5．D
【分析】设，，，根据题意结合复数的乘除法运算求出的关系，再根据复数的向量表示逐一判断即可.
【详解】设，，，
其中a，b，c，d，，且a，b不同时为0，c，d不同时为0，，
由题意，
所以，
所以，故A错误；
，无法比较的大小，故B错误；
，
由B选项得，无法判断的关系，故C错误；
，
所以，故D正确.
故选：D.
6．C
【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求出结果.
【详解】取中点，连接，如图，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则,
又，分别为母线、的中点，所以，
则，，
设异面直线和所成角的，
则，又，所以.
故选：C.
7．B
【分析】设双曲线标准方程，由双曲线的特征三角形计算判定，结合条件可求得，再求夹角正切即可.
【详解】
记两渐近线的交点为O，设，双曲线实轴长，焦距，
由双曲线的定义得：，其渐近线方程为：，
由知，，所以，
因为，知为的平分线，
记n交于点H，
因为渐近线的性质，有，
综上，，则m与n的夹角的正切值为.
故选:B.
8．A
【分析】由题意分析可得，再推导得的奇偶性和周期性，利用特殊值求出，进而分析得到，计算可得答案.
【详解】由题意，可知，①，
令可得，，所以.
又因为为偶函数，所以，两边同时求导可得，②
令可得，，所以，
联立①②可得，，化简可得，所以是周期为2的函数，所以，，
又因为，所以，所以，
所以.
故选：A.
9．AC
【分析】根据已知代入，求得的值，可得，从而可求.
【详解】由得，得，故A正确，B错误.
所以，则，
所以是等差数列，则，故C正确，D错误.
故选：AC.
10．BCD
【分析】利用条件概率和全概率公式可求答案.
【详解】由题意，，所以，A不正确；
从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱有5个白球和2个黑球，所以，B正确；
由互斥事件的概念可知，互斥，C正确；
，D正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】根据线面垂直的判定定理、面面平行的性质，结合正方体截面的性质、棱锥的体积公式逐一判断即可.
【详解】A：因为平面，而平面，所以，而，
平面，所以平面，因为点P在上运动，
所以平面，因此，所以本选项结论正确；
B：连接，因为平面，平面，
所以平面，同理平面，
而平面，因此平面平面，当平面，所以有点P在上运动，因此本选项结论正确；
C：由正方体的截面的性质可知截面不可能是五边形，所以本选项结论不正确；
D：正方体的面积为，当点P在上时，高最长，
此时有：，而，所以，
所以的体积最大值为，本选项结论正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：运用正方体的性质、线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理和性质是解题的关键.
12．3
【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】在中，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的面积为.
故答案为：3
13．##0.5
【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围.
【详解】由有4个子集，所以中有2个元素，
所以，所以 ，
所以满足，或，
综上，实数的取值范围为，或，
故答案为：
14．
【分析】求导得到，赋值累加即可.
【详解】对两边同时求导得
，
即，
则，，
则.
故答案为：.
15．(1)单调递增；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得.
（2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可.
【详解】（1）函数，当时，，
所以在上的单调递增.
（2）由（1）知，，当时，，函数在上单调递增，
，，因此函数在上有唯一零点；
当时，令，求导得，在上单调递增，
，则存在，使得，
当时，，函数，即单调递减，
当时，，函数，即单调递增，
又，，则存在，使得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
而，，因此函数上有唯一零点，
所以函数在区间上有且仅有两个零点.
16．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行；
（2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可.
【详解】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、，
则 ，，
又底面是正方形，即 ，
则，即四边形为平行四边形，
则，又在平面外，平面，
故平面.
（2）取线段的中点为点，连接、，
又，底面是边长为的正方形，
则，且，，
又二面角的大小为，
即平面平面，
又平面，平面平面，
则平面，
则是直线与平面所成角，
在中，，
即，
故直线与平面所成角的大小为.
17．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件求出即可得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及求解并验证即可.
【详解】（1）由点在椭圆上，得，
由为椭圆的左焦点，得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，，
由消去y并整理得，
，，，
由得，即，
整理得，即有，而，
解得，满足，直线：过定点，
所以直线过定点.
【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
18．(1)有关；
(2)分布列见解析；期望为；
(3).
【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（3）根据题意，结合全概率公式，即可求解.
【详解】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
所以的数学期望为.
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，，
则，
所以小明星期天选择跑步的概率为.
19．(1)；
(2)不可能结束，理由见解析；
(3)64.
【分析】（1）根据数列的新定义写出经过6次“变换”后得到的数列即可；
（2）先假设数列经过不断的"变换"结束，不妨设最后的数列设数列，，，且，，则非零数量可能通过“变换”结束，或者数列为常数列，进而得到可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；
（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“变换"后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字按近时，再继续推，往后会发现次“变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.
【详解】（1）依题意，6次变换后得到的数列依次为
；；；；；，
所以，数列，经过6次“变换”后得到的数列为.
（2）数列经过不断的“变换”不可能结束
设数列，，，且，，
依题意，，，所以，
即非零常数列才能通过“变换”结束．
设（为非零自然数）．
为变换得到数列的前两项，数列只有四种可能
，，；，，；，，；，，．
而任何一种可能中，数列的第三项是0或．
即不存在数列，使得其经过“变换”成为非零常数列，
由①②得，数列经过不断的“变换”不可能结束．
（3）数列经过一次“变换”后得到数列，其结构为．
数列经过6次“变换”得到的数列分别为：
；；；
；；．
所以，经过6次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，
变化的是，除了3之外的两项均减小18．
因为，所以，数列经过次“变换”后得到的数列为2，5，3．
接下来经过“变换”后得到的数列分别为：
3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，，
至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小，
所以经过次“变换”得到的数列各项和达到最小，
即的最小值为64．
【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：（1）根据定义写出几项；（2）找出规律；（3）写成通项；（4）证明结论.
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2