湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题及参考答案

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时量：120分钟 满分：150分
得分：
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若，则
A. B. C. D.
2. 直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3. 若事件，相互独立，它们发生的概率分别为，，则事件，都不发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知m，n是不同直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若∥，∥，则∥
B. 若，，则
C. 若，∥，且，则
D. 若，，且，则
5. 在中，内角的对边分别为若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨
7. 某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的有（ ）个
①乙的记忆能力优于甲 ②乙的观察能力优于创造能力
③甲的六大能力整体水平优于乙 ④甲的六大能力比乙较均衡
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知函数（），．若，在上有三个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 空间向量，若，则
B. 若空间四个点，，则三点共线
C. 已知向量，若，则为钝角
D. 任意向量满足
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线在y轴上的截距为2
B. 直线，过定点
C. 过点且与直线平行的直线方程是
D. 过点且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程为
11. 盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（ ）
A. A与B互为对立事件B. A与C相互独立
C. C与D互斥D. B与C相互独立
12. 在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（ ）
A. 的周长为
B. （不重合时）平分
C. 面积的最大值为6
D. 当时，直线与轨迹相切
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 设θ第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+csθ=_________.
14. 设（x，），若，则的取值范围是________．
15. 已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则t的最小值为________．
16. 在棱长为1的正方体中，点M和N分别是正方形ABCD和的中心，点P为正方体表面上及内部的点，若点P满足，其中m、n、，且，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，且E为DC的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）若点G在线段BC上移动，是否存在点G使得二面角 为直二面角．若存在，请指出G在BC上的位置；若不存在，请说明理由．
18. 在①圆经过 ，②圆心在直线 上，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．
已知圆 经过点 ， 且 ．
（1）求圆 的方程；
（2）在圆 中，求以 为中点的弦所在的直线方程．
19. 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．
①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
20. 在△中， 角所对的边分别为，且 .
（1）求证：；
（2）求的最大值.
21. 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，．
（1）证明：PC=PD；
（2）当直线PA与平面PCD所成角正弦值最大时，求此时二面角P−AB−C的大小．
22. 已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．