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2022-2023学年湖南省长沙实验中学高一（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙实验中学高一（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
2．（5分）设a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.22，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．b＞a＞c
3．（5分）条件p：x2﹣4x﹣5＜0是条件q：x2+6x+5＞0的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分又非必要条件
4．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x＝（ ）
A．4B．1C．10D．11
5．（5分）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．B．1C．2D．4
6．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是：，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cs10°≈0.985）
A．49.25 mB．50.76 mC．56.74 mD．58.60 m
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如图两个不完整的统计图：则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的40%
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
（多选）10．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成角是∠SAD
D．AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Acs（2x+φ）+1（A＞0，），若函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，则关于函数g（x）＝Asin（2x+φ）下列结论正确的是（ ）
A．函数g（x）的图象关于直线对称
B．函数g（x）的图象关于点（，0）对称
C．函数g（x）在区间上单调递增
D．函数g（x）的图象可由函数y＝f（x）﹣1的图象向左平移个单位长度得到
（多选）12．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则△ABC有两解
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞csB
D．若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则△ABC为锐角三角形
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数z＝i（a﹣i），|z|＝2，则a＝ ．
14．（5分）已知，向量的夹角为，则＝ ．
15．（5分）若函数g（x）＝f（2x）﹣x2是奇函数，且f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝ ．
16．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝CB＝1，将△ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥D﹣ABC，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为 ，此时该三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知复数z是纯虚数，且是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z；
（2）若复数（m﹣z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
18．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计本次考试的第50百分位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
19．（12分）如图，在四边形OBCD中，，，，且．
（1）用，表示；
（2）点P在线段AC上，且，求与的夹角θ的余弦值．
20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC＝BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；
（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1＝，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．
21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B；
（2）若b＝3，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围．
22．（12分）已知平面四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD，点P为线段AD的中点．
（1）求证：BP⊥平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角P﹣BM﹣D的平面角的余弦值．
2022-2023学年湖南省长沙实验中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）设a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.22，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．b＞a＞c
【分析】利用对数函数与指数函数的性质及特值，即可判断三个数的大小．
【解答】解：∵a＝lg20.2＜lg21＝0，b＝20.2＞20＝1，c＝0.22＝0.04，
∴b＞c＞a，
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数与指数函数性质的应用，数值大小的比较，是基础题．
3．（5分）条件p：x2﹣4x﹣5＜0是条件q：x2+6x+5＞0的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分又非必要条件
【分析】分别解出关于p，q的不等式的解集，从而判断出p，q的关系．
【解答】解：∵P：由x2﹣4x﹣5＜0，解得：﹣1＜x＜5，
q：由x2+6x+5＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣5，
由p⇒q，而q推不出p，
∴p是q的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是一道基础题．
4．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x＝（ ）
A．4B．1C．10D．11
【分析】由于四点A，B，C，D共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可．
【解答】解：＝（﹣2，2，﹣2），＝（﹣1，6，﹣8），＝（x﹣4，﹣2，0），
∵四点A，B，C，D共面，
∴存在实数λ，μ使得，
∴（x﹣4，﹣2，0）＝λ（﹣2，2，﹣2）+μ（﹣1，6，﹣8），
∴，解得x＝11．
故选：D．
【点评】本题考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．B．1C．2D．4
【分析】计算圆锥的侧面积为S1＝2π，圆锥的底面积为S2＝π，得到答案．
【解答】解：圆锥的侧面积为：，
圆锥的底面积为：，
所以侧面积与底面积之比为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，属于基础题．
6．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：＝（2，1），＝（﹣1，3），
＝1，，
则向量在方向上的投影向量为＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7．（5分）端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是：，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来徐州旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．
所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：1﹣＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率公式以及对立事件的概率求法，属于基础题．
8．（5分）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cs10°≈0.985）
A．49.25 mB．50.76 mC．56.74 mD．58.60 m
【分析】根据三角函数可得，利用，求解R即可．
【解答】解：如图，
设球的半径为R，则AB＝R，
∵，
∴
＝，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查解三角形问题，数形结合思想，化归转化思想，方程思想，属中档题．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如图两个不完整的统计图：则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的40%
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
【分析】根据题图数据分析选取人数、合唱社团占比、机器人社团占比及其人数，并判断两社团人数数量关系，即可得答案．
【解答】解：由题图知：选取人数为50÷10%＝500人，故合唱社团占比为，故AB正确，
所以机器人社团占比为1﹣20%﹣15%﹣10%﹣40%＝15%，故该社团人数为500×15%＝75人，故C错误，
所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多（40%﹣15%）×500＝125人，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查频率分布直方图以及统计相关知识，属于中档题，
（多选）10．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成角是∠SAD
D．AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
【分析】根据线面平行，线面垂直以及线面角，异面直线所成角的定义分别进行判断即可．
【解答】解：A．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥SD，
∵SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面平面SBD，∴AC⊥平面SBD，
∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确，
B．∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，
又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确，
C．∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SD在平面ABCD上的射影，则SA与平面ABCD所成角是∠SAD，故C正确，
D．∵AB⊥BC，SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴SD⊥CD，∴∠SCD为锐角，
∴AB与BC所成的角为直角，DC与SC所成的角为锐角，
故AB与BC所成的角不等于DC与SC所成的角，故D错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查与空间立体几何有关的命题的真假判断，根据线面平行和垂直，以及线面角的定义进行求解判断是解决本题的关键，是中档题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Acs（2x+φ）+1（A＞0，），若函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，则关于函数g（x）＝Asin（2x+φ）下列结论正确的是（ ）
A．函数g（x）的图象关于直线对称
B．函数g（x）的图象关于点（，0）对称
C．函数g（x）在区间上单调递增
D．函数g（x）的图象可由函数y＝f（x）﹣1的图象向左平移个单位长度得到
【分析】首先利用函数的图象求出函数f（x）的关系式中的A，φ的值，进一步求出函数g（x）的关系式，最后利用函数g（x）的性质确定结果．
【解答】解：根据函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，函数y＝f（x）的最大值为3，最小值为﹣1，
所以，解得A＝2，
所以f（x）＝2cs（2x+φ）+1，
当x＝0时，|f（0）|＝2，
故|2csφ+1|＝2，故csφ＝或﹣（舍去），
由于﹣＜φ＜，
所以φ＝±，
又因为函数y＝f（x）的图象是由y＝2csx图象向右平移得到的，所以φ＜0，
所以φ＝﹣，
所以f（x）＝2cs（2x﹣）+1，g（x）＝2sin（2x﹣），
对于A：当x＝时，g（）＝2sin（﹣）＝﹣1，所以直线不是函数g（x）的一条对称轴，故A错误；
对于B：当x＝时，g（）＝2sin（）＝0，所以点（，0）是函数g（x）的对称中心，故B正确；
对于C：当时，2x﹣∈[﹣，﹣]，由于函数y＝sinx在[﹣，﹣]上单调递增，
所以函数g（x）在区间上单调递增，故C正确；
对于D：函数y＝f（x）﹣1＝2cs（2x﹣）的图象向左平移个单位长度得到：
y＝2cs[2（x+）﹣]＝2cs（2x+）＝2sin（）＝2sin（2x+）≠g（x），故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了正弦型函数的性质，考查了三角函数图象的平移变换，同时考查了学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则△ABC有两解
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞csB
D．若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则△ABC为锐角三角形
【分析】利用正弦定理可判定A，B的正误，根据锐角三角形的特点和余弦函数的单调性可得C的正误，用正弦定理和余弦定理可得D的正误．
【解答】解：若，
则由正弦定理，
可得，
所以B＝60°或B＝120°，
此时△ABC有两解，A正确；
若，则由正弦定理可得，
所以sinAcsA＝sinBcsB，
即sin2A＝sin2B，
所以有2A＝2B或2A+2B＝180°，
即A＝B或A+B＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，B不正确；
若△ABC为锐角三角形，则，，
因为y＝csx在（0，π）为减函数，
所以，C正确；
若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，
则由正弦定理可得a：b：c＝2：3：4，
设a＝2k，b＝3k，c＝4k，其中k＞0；
则c为最大边，，△ABC为钝角三角形，D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数z＝i（a﹣i），|z|＝2，则a＝ ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得a．
【解答】解：z＝i（a﹣i）＝1+ai，
由|z|＝2，得，得a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
14．（5分）已知，向量的夹角为，则＝ 1 ．
【分析】根据平面向量的数量积求模长即可．
【解答】解：因为||＝，||＝1，且，的夹角为，
所以＝+2•+＝2+2××1×cs+1＝1，
所以|+|＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题．
15．（5分）若函数g（x）＝f（2x）﹣x2是奇函数，且f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝ ．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得g（）＝f（1）﹣，g（﹣）＝f（﹣1）﹣，又由函数的奇偶性可得g（）+g（﹣）＝0，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数g（x）＝f（2x）﹣x2，则g（）＝f（1）﹣，g（﹣）＝f（﹣1）﹣，
函数g（x）＝f（2x）﹣x2是奇函数，则有g（）+g（﹣）＝0，
即[f（1）﹣]+[f（﹣1）﹣]＝f（1）+f（﹣1）﹣＝0，
又由f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
16．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝CB＝1，将△ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥D﹣ABC，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为 ，此时该三棱锥的外接球的表面积为 5π ．
【分析】注意到三棱锥D﹣ABC体积最大时，平面ACD⊥平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面ACD的距离、△ACD外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵ABCD为等腰梯形，AB＝2，CD＝1，
∴，∴，
由余弦定理得，即，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴BC⊥AC，
易知，当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥D﹣ABC体积最大，
此时，BC⊥平面ACD，
易知，，
∴，
∴；
记O为外接球球心，半径为R，
∵BC⊥平面ACD，OB＝OC，
∴O到平面ACD的距蓠，
又△ACD的外接圆半径，
∴，
∴S＝4πR2＝5π，
故答案为：．
【点评】本题考查了三棱锥体积的最大值和外接球的表面积，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知复数z是纯虚数，且是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z；
（2）若复数（m﹣z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
【分析】（1）设z＝bi，b∈R且b≠0，化简得到，结合题意得到，即可求解；
（2）由，求得，根据题意得到且，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，设z＝bi，其中b∈R且b≠0，
可得，
因为为实数，可得，解得，即．
（2）解：由，则，
因为复数（m﹣z）2所表示的点在第一象限，可得且，
解得，所以实数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查纯虚数、实数的定义，以及复数的几何意义，属基础题．
18．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计本次考试的第50百分位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图，能求出分数在[120，130）内的频率，并能补全这个频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图能估计本次考试的第50百分位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为[110，120）中抽取的学生数为2人，分数段为[120，130）中抽取的学生数为4人，从中任取2个，利用列举法列举出所有基本事件，再根据古典概型即可得解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图，得：
分数在[120，130）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝0.3，
，
补全后的直方图如右图所示：
（2）∵[90，120）的频率为（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，
[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3，
∴第50百分位数为：；
（3）解：用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为[110，120）中抽取的学生数为：人，设为A，B，
分数段为[120，130）中抽取的学生数为：人，设为a，b，c，d，
从中任取2个，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，
其中符合题意得有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共9种，
所以至多有1人在分数段[120，130）内的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
19．（12分）如图，在四边形OBCD中，，，，且．
（1）用，表示；
（2）点P在线段AC上，且，求与的夹角θ的余弦值．
【分析】（1）由＝++，可得结论；
（2）＝﹣，＝﹣+2；利用向量的夹角余弦公式可求与的夹角θ的余弦值．
【解答】解：（1）＝++＝﹣+2+＝﹣+2；
（2）＝+，＝＝+＝+，
＝﹣，＝+＝﹣++＝﹣，
•＝（﹣+2）•（﹣）＝+×4＝，
||＝＝，||＝＝．
cs＜，＞＝＝．
【点评】本题考查向量的运算法则，以及利用向量的夹角公式求夹角的余弦值，属中档题．
20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC＝BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；
（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1＝，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．
【分析】（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，只要证明DE∥BC1；
（2）求出CD⊥面AA1B1B，得到CD是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点E，连接DE
因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点
又D是AB的中点，DE∥BC1，
又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，
所以BC1∥面CA1D；
（2）解：AC＝BC，D是AB的中点，AB⊥CD，
又AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，AA1⊥CD，
AA1∩AB＝A，CD⊥面AA1B1B，CD⊂面CA1D，
平面CA1D⊥平面AA1B1B所以CD是三棱锥B1﹣A1DC的高，
又＝，
所以＝×CD＝＝1；
【点评】本题考查了三棱柱中线面平行的判断以及棱锥的体积的求法，关键是转化为线线平行的判断以及棱锥的高的求法．
21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B；
（2）若b＝3，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理及三角形中的角的关系可得B角的大小；
（2）由D为中点，可得向量的关系，两边平方及均值不等式可得BD的范围．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得：sinA+2sinC＝sinBcsC+sinBsinC，
而在△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，
所以sinBcsC+csBsinC+2sinC＝sinBcsC+sinBsinC，
即csBsinC+2sinC＝sinBsinC，又sinC≠0，
可得sinB﹣csB＝2，整理可得sin（B﹣）＝1，
B∈（0，π），可得B﹣＝，
解得：B＝π；
（2）因为b＝3，为定值，△ABC的外接圆为圆O，取AC的中点D，连接BD，
AC＝b＝3，∠ABC＝，
当BD⊥AC时，则BD＝AD•ct＝＝，
当B接近A或C时BD接近＝，
所以线段BD长度的取值范围为[，）．
【点评】本题考查正余弦定理的应用及均值不等式的应用，属于中档题．
22．（12分）已知平面四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD，点P为线段AD的中点．
（1）求证：BP⊥平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角P﹣BM﹣D的平面角的余弦值．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可求解；
（2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及勾股定理，结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用面面角的定义及勾股定理，结合等面积法及锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】证明：（1）因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，
因为P为AD的中点，所以BP⊥AD．
取BD的中点E，连接AE，AB＝AD，则AE⊥BD，
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，
所以AE⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD．
因为CD⊥AD，AD∩AE＝A，AE，AD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，
因为BP⊂平面ABD，所以CD⊥BP，
又因为CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，所以BP⊥平面ACD．
解：（2）过点M作MH⊥PC，垂足为H．如图所示，
由（1）知，BP⊥平面ACD．
因为MH⊂平面ACD，所以BP⊥MH．BP∩PC＝P，所以MH⊥平面BPC，
所以∠MPC为MP与平面BPC所成角．
由（1）知，CD⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，所以CD⊥BD．
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，BD＝2，∴，
因为M为CD的中点，所以．
在Rt△PDM中，，
在Rt△PDC中，，
在△CPM中，，
所以由同角三角函数的基本关系得．
所以MP与平面BPC所成角的正弦值为．
（3）取ED的中点为O，连接PO，因为P为线段AD的中点，
所以，
由（1）知，AE⊥平面BCD，所以PO⊥平面BCD，BM⊂平面BCD．
所以PO⊥BM．
过点P作PG⊥BM，垂足为G，连接OG，PO∩PG＝P，PO，PG⊂平面POG，
所以BM⊥平面POG．OG⊂平面POG，所以BM⊥OG，
所以∠PGO为二面角P﹣BM﹣D的平面角．
在Rt△BDM中，，
由（1）知，△ABD为等边三角形，P为线段AD的中点，
所以
由（1）知，BP⊥平面ACD，PM⊂平面ACD．所以BP⊥PM，
在Rt△BPM中，，由（2）知，PM＝2，
即，解得．
因为PO⊥平面BCD，OG⊂平面BCD，所以PO⊥OG．
在Rt△POG中，．
，
所以二面角P﹣BM﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/18 9:33:35；用户：高中数学；邮箱：wcjc070@xyh.cm；学号：32117335
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
2．（5分）设a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.22，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．b＞a＞c
3．（5分）条件p：x2﹣4x﹣5＜0是条件q：x2+6x+5＞0的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分又非必要条件
4．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x＝（ ）
A．4B．1C．10D．11
5．（5分）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．B．1C．2D．4
6．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是：，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cs10°≈0.985）
A．49.25 mB．50.76 mC．56.74 mD．58.60 m
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如图两个不完整的统计图：则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的40%
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
（多选）10．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成角是∠SAD
D．AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Acs（2x+φ）+1（A＞0，），若函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，则关于函数g（x）＝Asin（2x+φ）下列结论正确的是（ ）
A．函数g（x）的图象关于直线对称
B．函数g（x）的图象关于点（，0）对称
C．函数g（x）在区间上单调递增
D．函数g（x）的图象可由函数y＝f（x）﹣1的图象向左平移个单位长度得到
（多选）12．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则△ABC有两解
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞csB
D．若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则△ABC为锐角三角形
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数z＝i（a﹣i），|z|＝2，则a＝ ．
14．（5分）已知，向量的夹角为，则＝ ．
15．（5分）若函数g（x）＝f（2x）﹣x2是奇函数，且f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝ ．
16．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝CB＝1，将△ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥D﹣ABC，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为 ，此时该三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知复数z是纯虚数，且是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z；
（2）若复数（m﹣z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
18．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计本次考试的第50百分位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
19．（12分）如图，在四边形OBCD中，，，，且．
（1）用，表示；
（2）点P在线段AC上，且，求与的夹角θ的余弦值．
20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC＝BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；
（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1＝，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．
21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B；
（2）若b＝3，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围．
22．（12分）已知平面四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD，点P为线段AD的中点．
（1）求证：BP⊥平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角P﹣BM﹣D的平面角的余弦值．
2022-2023学年湖南省长沙实验中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）设a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.22，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．b＞a＞c
【分析】利用对数函数与指数函数的性质及特值，即可判断三个数的大小．
【解答】解：∵a＝lg20.2＜lg21＝0，b＝20.2＞20＝1，c＝0.22＝0.04，
∴b＞c＞a，
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数与指数函数性质的应用，数值大小的比较，是基础题．
3．（5分）条件p：x2﹣4x﹣5＜0是条件q：x2+6x+5＞0的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分又非必要条件
【分析】分别解出关于p，q的不等式的解集，从而判断出p，q的关系．
【解答】解：∵P：由x2﹣4x﹣5＜0，解得：﹣1＜x＜5，
q：由x2+6x+5＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣5，
由p⇒q，而q推不出p，
∴p是q的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是一道基础题．
4．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x＝（ ）
A．4B．1C．10D．11
【分析】由于四点A，B，C，D共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可．
【解答】解：＝（﹣2，2，﹣2），＝（﹣1，6，﹣8），＝（x﹣4，﹣2，0），
∵四点A，B，C，D共面，
∴存在实数λ，μ使得，
∴（x﹣4，﹣2，0）＝λ（﹣2，2，﹣2）+μ（﹣1，6，﹣8），
∴，解得x＝11．
故选：D．
【点评】本题考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．B．1C．2D．4
【分析】计算圆锥的侧面积为S1＝2π，圆锥的底面积为S2＝π，得到答案．
【解答】解：圆锥的侧面积为：，
圆锥的底面积为：，
所以侧面积与底面积之比为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，属于基础题．
6．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：＝（2，1），＝（﹣1，3），
＝1，，
则向量在方向上的投影向量为＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7．（5分）端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是：，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来徐州旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．
所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：1﹣＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率公式以及对立事件的概率求法，属于基础题．
8．（5分）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cs10°≈0.985）
A．49.25 mB．50.76 mC．56.74 mD．58.60 m
【分析】根据三角函数可得，利用，求解R即可．
【解答】解：如图，
设球的半径为R，则AB＝R，
∵，
∴
＝，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查解三角形问题，数形结合思想，化归转化思想，方程思想，属中档题．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如图两个不完整的统计图：则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的40%
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
【分析】根据题图数据分析选取人数、合唱社团占比、机器人社团占比及其人数，并判断两社团人数数量关系，即可得答案．
【解答】解：由题图知：选取人数为50÷10%＝500人，故合唱社团占比为，故AB正确，
所以机器人社团占比为1﹣20%﹣15%﹣10%﹣40%＝15%，故该社团人数为500×15%＝75人，故C错误，
所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多（40%﹣15%）×500＝125人，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查频率分布直方图以及统计相关知识，属于中档题，
（多选）10．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成角是∠SAD
D．AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
【分析】根据线面平行，线面垂直以及线面角，异面直线所成角的定义分别进行判断即可．
【解答】解：A．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥SD，
∵SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面平面SBD，∴AC⊥平面SBD，
∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确，
B．∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，
又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确，
C．∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SD在平面ABCD上的射影，则SA与平面ABCD所成角是∠SAD，故C正确，
D．∵AB⊥BC，SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴SD⊥CD，∴∠SCD为锐角，
∴AB与BC所成的角为直角，DC与SC所成的角为锐角，
故AB与BC所成的角不等于DC与SC所成的角，故D错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查与空间立体几何有关的命题的真假判断，根据线面平行和垂直，以及线面角的定义进行求解判断是解决本题的关键，是中档题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Acs（2x+φ）+1（A＞0，），若函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，则关于函数g（x）＝Asin（2x+φ）下列结论正确的是（ ）
A．函数g（x）的图象关于直线对称
B．函数g（x）的图象关于点（，0）对称
C．函数g（x）在区间上单调递增
D．函数g（x）的图象可由函数y＝f（x）﹣1的图象向左平移个单位长度得到
【分析】首先利用函数的图象求出函数f（x）的关系式中的A，φ的值，进一步求出函数g（x）的关系式，最后利用函数g（x）的性质确定结果．
【解答】解：根据函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，函数y＝f（x）的最大值为3，最小值为﹣1，
所以，解得A＝2，
所以f（x）＝2cs（2x+φ）+1，
当x＝0时，|f（0）|＝2，
故|2csφ+1|＝2，故csφ＝或﹣（舍去），
由于﹣＜φ＜，
所以φ＝±，
又因为函数y＝f（x）的图象是由y＝2csx图象向右平移得到的，所以φ＜0，
所以φ＝﹣，
所以f（x）＝2cs（2x﹣）+1，g（x）＝2sin（2x﹣），
对于A：当x＝时，g（）＝2sin（﹣）＝﹣1，所以直线不是函数g（x）的一条对称轴，故A错误；
对于B：当x＝时，g（）＝2sin（）＝0，所以点（，0）是函数g（x）的对称中心，故B正确；
对于C：当时，2x﹣∈[﹣，﹣]，由于函数y＝sinx在[﹣，﹣]上单调递增，
所以函数g（x）在区间上单调递增，故C正确；
对于D：函数y＝f（x）﹣1＝2cs（2x﹣）的图象向左平移个单位长度得到：
y＝2cs[2（x+）﹣]＝2cs（2x+）＝2sin（）＝2sin（2x+）≠g（x），故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了正弦型函数的性质，考查了三角函数图象的平移变换，同时考查了学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则△ABC有两解
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞csB
D．若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则△ABC为锐角三角形
【分析】利用正弦定理可判定A，B的正误，根据锐角三角形的特点和余弦函数的单调性可得C的正误，用正弦定理和余弦定理可得D的正误．
【解答】解：若，
则由正弦定理，
可得，
所以B＝60°或B＝120°，
此时△ABC有两解，A正确；
若，则由正弦定理可得，
所以sinAcsA＝sinBcsB，
即sin2A＝sin2B，
所以有2A＝2B或2A+2B＝180°，
即A＝B或A+B＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，B不正确；
若△ABC为锐角三角形，则，，
因为y＝csx在（0，π）为减函数，
所以，C正确；
若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，
则由正弦定理可得a：b：c＝2：3：4，
设a＝2k，b＝3k，c＝4k，其中k＞0；
则c为最大边，，△ABC为钝角三角形，D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数z＝i（a﹣i），|z|＝2，则a＝ ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得a．
【解答】解：z＝i（a﹣i）＝1+ai，
由|z|＝2，得，得a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
14．（5分）已知，向量的夹角为，则＝ 1 ．
【分析】根据平面向量的数量积求模长即可．
【解答】解：因为||＝，||＝1，且，的夹角为，
所以＝+2•+＝2+2××1×cs+1＝1，
所以|+|＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题．
15．（5分）若函数g（x）＝f（2x）﹣x2是奇函数，且f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝ ．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得g（）＝f（1）﹣，g（﹣）＝f（﹣1）﹣，又由函数的奇偶性可得g（）+g（﹣）＝0，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数g（x）＝f（2x）﹣x2，则g（）＝f（1）﹣，g（﹣）＝f（﹣1）﹣，
函数g（x）＝f（2x）﹣x2是奇函数，则有g（）+g（﹣）＝0，
即[f（1）﹣]+[f（﹣1）﹣]＝f（1）+f（﹣1）﹣＝0，
又由f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
16．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝CB＝1，将△ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥D﹣ABC，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为 ，此时该三棱锥的外接球的表面积为 5π ．
【分析】注意到三棱锥D﹣ABC体积最大时，平面ACD⊥平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面ACD的距离、△ACD外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵ABCD为等腰梯形，AB＝2，CD＝1，
∴，∴，
由余弦定理得，即，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴BC⊥AC，
易知，当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥D﹣ABC体积最大，
此时，BC⊥平面ACD，
易知，，
∴，
∴；
记O为外接球球心，半径为R，
∵BC⊥平面ACD，OB＝OC，
∴O到平面ACD的距蓠，
又△ACD的外接圆半径，
∴，
∴S＝4πR2＝5π，
故答案为：．
【点评】本题考查了三棱锥体积的最大值和外接球的表面积，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知复数z是纯虚数，且是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z；
（2）若复数（m﹣z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
【分析】（1）设z＝bi，b∈R且b≠0，化简得到，结合题意得到，即可求解；
（2）由，求得，根据题意得到且，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，设z＝bi，其中b∈R且b≠0，
可得，
因为为实数，可得，解得，即．
（2）解：由，则，
因为复数（m﹣z）2所表示的点在第一象限，可得且，
解得，所以实数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查纯虚数、实数的定义，以及复数的几何意义，属基础题．
18．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计本次考试的第50百分位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图，能求出分数在[120，130）内的频率，并能补全这个频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图能估计本次考试的第50百分位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为[110，120）中抽取的学生数为2人，分数段为[120，130）中抽取的学生数为4人，从中任取2个，利用列举法列举出所有基本事件，再根据古典概型即可得解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图，得：
分数在[120，130）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝0.3，
，
补全后的直方图如右图所示：
（2）∵[90，120）的频率为（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，
[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3，
∴第50百分位数为：；
（3）解：用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为[110，120）中抽取的学生数为：人，设为A，B，
分数段为[120，130）中抽取的学生数为：人，设为a，b，c，d，
从中任取2个，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，
其中符合题意得有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共9种，
所以至多有1人在分数段[120，130）内的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
19．（12分）如图，在四边形OBCD中，，，，且．
（1）用，表示；
（2）点P在线段AC上，且，求与的夹角θ的余弦值．
【分析】（1）由＝++，可得结论；
（2）＝﹣，＝﹣+2；利用向量的夹角余弦公式可求与的夹角θ的余弦值．
【解答】解：（1）＝++＝﹣+2+＝﹣+2；
（2）＝+，＝＝+＝+，
＝﹣，＝+＝﹣++＝﹣，
•＝（﹣+2）•（﹣）＝+×4＝，
||＝＝，||＝＝．
cs＜，＞＝＝．
【点评】本题考查向量的运算法则，以及利用向量的夹角公式求夹角的余弦值，属中档题．
20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC＝BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；
（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1＝，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．
【分析】（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，只要证明DE∥BC1；
（2）求出CD⊥面AA1B1B，得到CD是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点E，连接DE
因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点
又D是AB的中点，DE∥BC1，
又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，
所以BC1∥面CA1D；
（2）解：AC＝BC，D是AB的中点，AB⊥CD，
又AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，AA1⊥CD，
AA1∩AB＝A，CD⊥面AA1B1B，CD⊂面CA1D，
平面CA1D⊥平面AA1B1B所以CD是三棱锥B1﹣A1DC的高，
又＝，
所以＝×CD＝＝1；
【点评】本题考查了三棱柱中线面平行的判断以及棱锥的体积的求法，关键是转化为线线平行的判断以及棱锥的高的求法．
21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B；
（2）若b＝3，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理及三角形中的角的关系可得B角的大小；
（2）由D为中点，可得向量的关系，两边平方及均值不等式可得BD的范围．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得：sinA+2sinC＝sinBcsC+sinBsinC，
而在△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，
所以sinBcsC+csBsinC+2sinC＝sinBcsC+sinBsinC，
即csBsinC+2sinC＝sinBsinC，又sinC≠0，
可得sinB﹣csB＝2，整理可得sin（B﹣）＝1，
B∈（0，π），可得B﹣＝，
解得：B＝π；
（2）因为b＝3，为定值，△ABC的外接圆为圆O，取AC的中点D，连接BD，
AC＝b＝3，∠ABC＝，
当BD⊥AC时，则BD＝AD•ct＝＝，
当B接近A或C时BD接近＝，
所以线段BD长度的取值范围为[，）．
【点评】本题考查正余弦定理的应用及均值不等式的应用，属于中档题．
22．（12分）已知平面四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD，点P为线段AD的中点．
（1）求证：BP⊥平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角P﹣BM﹣D的平面角的余弦值．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可求解；
（2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及勾股定理，结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用面面角的定义及勾股定理，结合等面积法及锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】证明：（1）因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，
因为P为AD的中点，所以BP⊥AD．
取BD的中点E，连接AE，AB＝AD，则AE⊥BD，
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，
所以AE⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD．
因为CD⊥AD，AD∩AE＝A，AE，AD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，
因为BP⊂平面ABD，所以CD⊥BP，
又因为CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，所以BP⊥平面ACD．
解：（2）过点M作MH⊥PC，垂足为H．如图所示，
由（1）知，BP⊥平面ACD．
因为MH⊂平面ACD，所以BP⊥MH．BP∩PC＝P，所以MH⊥平面BPC，
所以∠MPC为MP与平面BPC所成角．
由（1）知，CD⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，所以CD⊥BD．
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，BD＝2，∴，
因为M为CD的中点，所以．
在Rt△PDM中，，
在Rt△PDC中，，
在△CPM中，，
所以由同角三角函数的基本关系得．
所以MP与平面BPC所成角的正弦值为．
（3）取ED的中点为O，连接PO，因为P为线段AD的中点，
所以，
由（1）知，AE⊥平面BCD，所以PO⊥平面BCD，BM⊂平面BCD．
所以PO⊥BM．
过点P作PG⊥BM，垂足为G，连接OG，PO∩PG＝P，PO，PG⊂平面POG，
所以BM⊥平面POG．OG⊂平面POG，所以BM⊥OG，
所以∠PGO为二面角P﹣BM﹣D的平面角．
在Rt△BDM中，，
由（1）知，△ABD为等边三角形，P为线段AD的中点，
所以
由（1）知，BP⊥平面ACD，PM⊂平面ACD．所以BP⊥PM，
在Rt△BPM中，，由（2）知，PM＝2，
即，解得．
因为PO⊥平面BCD，OG⊂平面BCD，所以PO⊥OG．
在Rt△POG中，．
，
所以二面角P﹣BM﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
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