2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
2．（5分）设复数z满足（1+2i）•z＝5i（i是虚数单位），则＝（ ）
A．2﹣iB．2+iC．﹣2﹣iD．﹣2+i
3．（5分）在△ABC中，“A＜30°”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．f（x）＝sinxB．f（x）＝2|x|
C．f（x）＝x3+xD．
6．（5分）已知平面向量，，且，则＝（ ）
A．1B．14C．D．
7．（5分）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心到平面BCD的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ ）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
（多选）10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
（多选）11．（5分）已知a，b，l为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b
B．若a⊥α，b⊂β，α∥β，则
C．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a⊥b，则a，b至少有一条与直线l垂直
D．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l，则l⊥α
（多选）12．（5分）已知f（﹣x）是定义在R上的奇函数，且函数f（2x+1）为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
B．当x∈[﹣7，7]时，f（x）的零点有6个
C．f（x+4）＝f（x）
D．若f（1）＝1，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知随机事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，则P（A∪B）＝ ．
14．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，则x+y+z＝ ．
15．（5分）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ．
16．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（）＝1，f（π）＝0，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知函数，求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）取最大值时自变量x的集合．
18．（12分）如图，已知在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，点M，N分别为棱BC，AC的中点，且平面PAC⊥平面ABC．
（1）求证：AB∥平面PMN；
（2）求证：BC⊥PN．
19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200kW•h的部分按0.5元/kW•h收费，超过200kW•h但不超过400kW•h的部分按0.8元/kW•h收费，超过400kW•h的部分按1.0元/kW•h收费．
（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量（单位：kW•h）的函数解析式；
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图．若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的动点．
（1）确定E的位置，使PB∥平面AEC；
（2）设PA＝AB＝1，且在第（1）问的结论下，求平面AEC与平面ADE夹角的余弦值．
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝ac，b＝4，．
（1）求B及a，c；
（2）若线段MN长为3，其端点分别落在边AB和AC上，求△AMN内切圆半径的最大值．
22．（12分）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛．决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束．假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立．
（1）求丙每局都获胜的概率；
（2）求甲获得比赛胜利的概率．
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．
【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．
2．（5分）设复数z满足（1+2i）•z＝5i（i是虚数单位），则＝（ ）
A．2﹣iB．2+iC．﹣2﹣iD．﹣2+i
【分析】两边同乘以1+2i的共轭复数，然后化简运算求得z＝2+i，进而得解．
【解答】解：（1+2i）（1﹣2i）•z＝5z＝5i（1﹣2i）＝10+5i，
∴z＝2+i，∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3．（5分）在△ABC中，“A＜30°”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由，则0°＜A＜30°或150°＜A＜180°，
则A＜30°”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值的关系是解决本题的关键．
4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出这2名学生来自不同年级的概率．
【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，
基本事件总数n＝＝6，
这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m＝＝4，
则这2名学生来自不同年级的概率为P＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．f（x）＝sinxB．f（x）＝2|x|
C．f（x）＝x3+xD．
【分析】利用定义判断函数的奇偶性，利用图象和函数的性质判断单调性即可．
【解答】解：A项，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，f（x）在定义域内没有单调性，不符合；
B项，f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数，不符合；
C项，f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣（x3+x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，
f'（x）＝3x2+1＞0，则f（x）＝x3+x在R上单调增，不符合；
D项，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，
y＝e﹣x在R上单调减，y＝ex在R上单调增，则函数f（x）在定义域上单调减，符合．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．
6．（5分）已知平面向量，，且，则＝（ ）
A．1B．14C．D．
【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解．
【解答】解：因为，，，
所以10﹣2+4＝10，
，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
7．（5分）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用凑角，同角三角函数关系和二倍角的余弦公式转化计算．
【解答】解：＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
8．（5分）把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心到平面BCD的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由图形的几何性质得球心位置，利用等体积转化求点面距离，即可得出答案．
【解答】解：作出图形，如图所示：
三棱锥D﹣ABC的外接球球心为AC的中点O，则OB＝OC＝OD＝1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，
BC＝CD＝BD＝，设球心到平面BCD的距离为d，
则．
故选：A．
【点评】本题考查二面角和棱锥的结构特征，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ ）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
【解答】解：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，⋯，x6的平均数，A错误；
B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于，x1，x2，⋯，x6的中位数等于，B正确；
C选项，设样本数据x1，x2，⋯，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，⋯，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，
x1，x2，⋯，x6的方差×[（0﹣5）2+（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2+（10﹣5）2]＝，
x2，x3，x4，x5的方差[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]＝，
，∴s1＞s2，C错误．
D选项，x6＞x5，x2＞x1，∴x6﹣x1＞x5﹣x2，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
（多选）10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
【分析】利用空间点的对称性即可得出．
【解答】解：由图形及其已知可得：点B1的坐标为（4，5，3），故A正确；
点C1（0，5，3）关于点B对称的点为（8，5，﹣3），故B错误；
长方体中，AD1＝BC1＝＝5＝AB，
∴四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，
即点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故C正确；
点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）．故D正确，
因此ACD正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了空间点的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知a，b，l为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b
B．若a⊥α，b⊂β，α∥β，则
C．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a⊥b，则a，b至少有一条与直线l垂直
D．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l，则l⊥α
【分析】根据空间直线与平面间的位置关系进行判断A，由线面、面面垂直的判定写性质判断BCD．
【解答】解：若α∥β，a⊂α，b⊂β，a，b可能平行也可能异面，A错；
a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊂β，则，B正确；
若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a⊥b，假设a与l不垂直，过直线a任一点P在平面α内作直线c⊥l，因为α⊥β，所以c⊥β，又b⊂β，则c⊥b，又b⊥a，
a，c是平面α内两相交直线，因此b⊥α，而l⊂α，所以b⊥l，即直线a，b中如果有一条不与l垂直，则另一条必定与直线l垂直，C正确；
若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l，如图，设α∩β＝a，α∩γ＝b，过直线l上一点P在平面β内作直线m⊥a，则m⊥α，
同理过P在平面γ内作直线n⊥b，则n⊥α，
因为过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，所以m，n重合，即重合为平面β和γ的交线l，所以l⊥α，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查空间中各要素的关系，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
（多选）12．（5分）已知f（﹣x）是定义在R上的奇函数，且函数f（2x+1）为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
B．当x∈[﹣7，7]时，f（x）的零点有6个
C．f（x+4）＝f（x）
D．若f（1）＝1，则
【分析】根据题意，结合函数的对称性依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f（2x+1）为偶函数，则f（1﹣2x）＝f（1+2x），变形可得f（1﹣x）＝f（1+x），故函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，A正确；
对于B，f（x）零点的情况不确定，不能确定f（x）在[﹣7，7]上零点的个数，B错误；
对于C，f（﹣x）是定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1﹣x）＝f（1+x），即f（﹣x）＝f（2+x），
则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x+4）＝f（x），C正确；
对于D，由于f（x+2）＝﹣f（x），即f（x+2）+f（x）＝0，则有f（0）+f（2）＝0，f（1）+f（3）＝0，
则有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，
f（﹣x）是定义在R上的奇函数，f（0）＝0，则有f（2）＝﹣f（0）＝0，
故f（j）＝505[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2021）+f（2022）+f（2023）＝f（1）+f（2）+f（3）＝f（2）＝0，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的对称性，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知随机事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，则P（A∪B）＝ 0.6 ．
【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解答】解：∵事件A和事件B是互斥事件，
∴P（AB）＝0，
又∵P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，
∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.4＝0.6．
故答案为：0.6．
【点评】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
14．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，则x+y+z＝ 2 ．
【分析】在平行六面体中把向量用表示，然后利用向量相等，得到x，y，z的值．
【解答】解：因为
＝
＝
＝，
又＝x+y+z，
所以，
则x+y+z＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了空间向量基本定理的理解和应用，考查了化简运算能力与转化回归能力，属于基础题．
15．（5分）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 2 ．
【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，列式求解即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
由题意可得，2πl÷2＝2π×1，
解得l＝2，
所以该圆锥的母线长为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
16．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（）＝1，f（π）＝0，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为 ．
【分析】设函数f（x）的周期为T，由题意结合正弦函数的图象与性质，列出不等式，从而求出符合条件的ω值．
【解答】解：设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的周期为T，则T＝，
由f（）＝1，f（π）＝0，
结合正弦函数的图象与性质得，+＝，k∈N，
解得T＝，即ω＝，k∈N，
又因为f（x）在区间（，）上单调，
所以＝＜，
所以T＞，
所以ω＝，
即ω＝，
因为k∈N，
所以k的取值为1，此时ω取得最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知函数，求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）取最大值时自变量x的集合．
【分析】（1）由题意，利用正弦函数的周期性，得出结论．
（2）由题意，利用正弦函数的最大值，得出结论．
【解答】解：（1）对于函数，
它的最小正周期为＝π．
（2）由于当2x+＝2kπ+，k∈Z，f（x）取最大值2，
此时，解得x＝kπ﹣，k∈Z，
故f（x）取最大值时自变量x的集合为{x|x＝kπ﹣，k∈Z }．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
18．（12分）如图，已知在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，点M，N分别为棱BC，AC的中点，且平面PAC⊥平面ABC．
（1）求证：AB∥平面PMN；
（2）求证：BC⊥PN．
【分析】（1）先利用三角形的中位线定理证明出AB∥MN，再用线面平行的判定定理证明即可；
（2）先得到PN⊥平面ABC，再用线面垂直的性质定理证明出PN⊥BC．
【解答】证明：（1）因为点M，N分别为棱BC，AC的中点，所以AB∥MN，
又AB⊄平面PMN，MN⊂平面PMN，
所以AB∥平面PMN；
（2）因为PA＝PC，点N为棱AC的中点，所以PN⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，所以PN⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，所以PN⊥BC．
【点评】本题考查了线面平行和线线垂直的证明，属于基础题．
19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200kW•h的部分按0.5元/kW•h收费，超过200kW•h但不超过400kW•h的部分按0.8元/kW•h收费，超过400kW•h的部分按1.0元/kW•h收费．
（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量（单位：kW•h）的函数解析式；
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图．若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数．
【分析】（1）由题目条件分别表示各段上的y即可表示出分段函数y的解析式；
（2）根据频率分布直方图得到a，b所满足的条件，求解即可；
（3）由图计算得到75%分位数在[300，400）内，列出方程即可得到答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200＜x≤400时，y＝0.5×200+0.8（x﹣200）＝0.8x﹣60；
当x＞400时，y＝0.5×200+0.8×200+（x﹣400）＝x﹣140，
所以y＝，
（2）由（1）可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知，
解得a＝0.0015，b＝0.0020；
（3）设75%分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为（0.001+0.002+0.003）×100＝60%，
用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数m在[300，400）内，
所以0.6+（m﹣300）×0.002＝0.75，解得m＝375，
即用电量的75%分位数为375千瓦时．
【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的动点．
（1）确定E的位置，使PB∥平面AEC；
（2）设PA＝AB＝1，且在第（1）问的结论下，求平面AEC与平面ADE夹角的余弦值．
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，连接EO，由中位线的性质知，OE∥PB，再由线面平行的判定定理，得证；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，平面ADE的法向量为，求得平面AEC的法向量后，由cs＜，＞，即可得解．
【解答】解：（1）E为PD的中点，可使PB∥平面AEC．证明过程如下：
连接BD，交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点，
∵E为PD的中点，
∴OE∥PB，
又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），D（0，1，0），，B（1，0，0），C（1，1，0），
∴，，
∴平面ADE的法向量为，
设平面AEC的法向量为，则，即，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，∴，
∴cs＜，＞＝＝，
由图可知，平面AEC与平面ADE所成的角为锐角，
故平面AEC与平面ADE夹角的余弦值为．
【点评】本题考查空间中线与面的平行关系、二面角的求法，熟练掌握线面平行的判定定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝ac，b＝4，．
（1）求B及a，c；
（2）若线段MN长为3，其端点分别落在边AB和AC上，求△AMN内切圆半径的最大值．
【分析】（1）根据余弦定理、基本不等式结合三角函数的单调性求出角的范围，根据面积确定角，从而可求a，c的值．
（2）根据等面积法以及余弦定理得内切圆半径的解析式，再根据基本不等式求取值范围．
【解答】解：（1）由b2＝ac，b＝4，得ac＝16，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，得16＝a2+c2﹣32csB，即a2+c2＝16+32csB，
又a2+c2≥2ac＝32，当且仅当a＝c时等号成立，
∴16+32csB≥32，
∴csB≥，
又B∈（0，π），
∴B∈（0，]，
∴S△ABC＝acsinB＝16×sinB＝4，
∴sinB＝，
∴B＝，由等号成立的条件可知a＝c＝b＝4．
（2）设△AMN内切圆的圆心为O，半径为r，
则S△AMN＝S△OMN+S△AOM+S△AON＝×MN×r+×AM×r+×AN×r，
从而r＝（其中L△AMN指△AMN的周长），
∴r＝＝，
∵MN2＝AM2+AN2﹣2AM•ANcsA＝AM2+AN2﹣AM•AN，
∴9＝（AM+AN）2﹣3AM•AN，
∴r＝•＝•（AM+AN﹣3），
又（）2≥AM•AN，当且仅当AM＝AN等号成立，
∴9＝（AM+AN）2﹣3AM•AN≥（AM+AN）2，
∴AM+AN≤6，
∴r≤，
∴△AMN内切圆半径的最大值为．
【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式，三角函数的单调性以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22．（12分）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛．决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束．假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立．
（1）求丙每局都获胜的概率；
（2）求甲获得比赛胜利的概率．
【分析】（1）根据题意，丙每局都获胜即比赛4局结束比赛，其中第二、三、四局都是丙获胜，由相互独立事件的概率公式分析可得答案；
（2）根据题意，分3种情况讨论甲获胜的情况，由互斥事件的加法公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，丙每局都获胜即比赛4局结束比赛，其中第二、三、四局都是丙获胜，
则丙每局都获胜的概率P＝××＝；
（2）根据题意，甲比赛获胜，分3种情况讨论：
①比赛三局结束比赛，即甲连胜三局，其概率P1＝××＝；
②比赛五局结束比赛，有6种可能：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，
此时甲获胜的概率P2＝6×（）5＝，
③比赛七局结束比赛，有8种可能，AABCCBA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCABCAA，BCCBAAA，
此时甲获胜的概率P3＝8×（）7＝，
则甲获得比赛胜利的概率P＝P1+P2+P3＝++＝．
【点评】本题考查概率的应用，涉及互斥事件、相互独立事件的概率，属于基础题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/18 9:33:49；用户：高中数学；邮箱：wcjc070@xyh.cm；学号：32117335