2024年长沙市长郡双语实验中学中考三模数学试题及解析

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1.将数据26000000000用科学记数法可表示为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，熟知根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据26000000000用科学记数法可表示为，
故选：D．
2.下列说法正确的是（ ）
A.某彩票的中奖机会是，买10000张一定会中奖B.“水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件
C.为检验某品牌灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适D.“如果是实数，那么”是随机事件
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念、概率的意义和全面调查与抽样调查的定义．熟练掌握这些概念是解题的关键．
根据随机事件的定义，概率的意义和全面调查与抽样调查的定义判断即可．
【详解】解：A、某彩票的中奖机会是，买1000张不一定会中奖，故本选项不符合题意；
B、“水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件，故本选项符合题意；
C、为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用抽样调查方式比较合适，故本选项不符合题意；
D、“如果、是实数，那么”是必然事件，故本选项不符合题意．
故选：B．
3.如图1，一个2×2的平台上已经放了三个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2所示，平台上至少还需再放这样的正方体（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，正确地得出小正方体的个数是解题的关键．
根据题意主视图和左视图判断只需要在①和②两个正方体上方各加一个小正方体即可．
【详解】解：只需要在①和②两个正方体上方各加一个小正方体即可，
∴至少放2块正方体，
故选：B．
4.估算的值应在（ ）
A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算出的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
5.在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位后，与直线的交点可能是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可．
【详解】解：直线向上平移个单位后，得到，
把代入得，，
∴交点不可能是，故A不合题意；
把代入得，，
把代入，求得，故B不合题意；
把代入得，，
把代入，求得，故C符合题意；
把代入得，，
∴交点不可能是，故D不合题意；
故选：C．
6.如果关于的方程有实数根，则实数的取值范围（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有实数根，
，
解得：．
故选：C．
7.一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（ ）
A.B.C.或D.或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，一元一次方程的应用．分类讨论，根据对折得到是解题的关键．
设点表示的数为，由题意知，分当在线段的延长线上和线段上，两种情况分别求解即可．
【详解】解：设点表示的数为，分点在线段的延长线上，点在线段上两种情况求解；
①当在线段的延长线上时，
，
点表示的数为，
，
，
解得：；
②当在线段上时，
，
点表示的数为，
，
，
解得：；
∴点表示的数是或．
故选：D．
8.不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则 的长是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质，以及弧长公式是解题的关键．
先利用切线的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而利用四边形内角和是可得，然后利用周角定义可得所对的圆心角度数，从而利用弧长公式进行计算即可解答．
【详解】解：帽子的边缘，分别与相切于点，，
，
，
，
，
所对的圆心角度数，
的长，
故选：B．
9.如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是中点，若．则的周长是（ ）
A.10B.12C.16D.18
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，中位线性质定理，等边三角形性质及判定，三角形周长等．根据题意可得，再根据平行线性质可得，继而得到是等边三角形，再利用周长公式即可得到本题答案．
【详解】解：∵P、N是和的中点，，，
∴，，
∴，
同理，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长是12．
故选：B．
10.如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A.1B.2C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
轴，
轴，
点在函数的图象上，
，
轴于点，轴，点在函数的图象上，
，
四边形的面积等于；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.化简的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的约分，先将分子因式分解，然后根据分式的性质进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12.一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的知识，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．设该多边形的边数为，根据多边形内角和公式求解即可．
【详解】解：设该多边形的边数为，根据题意，
可得：，
解得：，
所以，这个多边形的边数是7．
故答案为：7．
13.已知的整数部分为，小数部分为，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：，
，即，
，
的整数部分为，小数部分为，
，，
，
故答案为：．
14.如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像及性质，待定系数法求函数解析式，坐标与轴对称，解题关键是求解反射后的直线方程．首先求出点关于y轴的对称点为，由对称可知反射光线所在直线过点，再由待定系数法求解反射光线所在直线即可求解．
【详解】解：点关于y轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，
设的解析式为：，过点，
，
，
的解析式为：，
反射后经过点，
，
．
故答案为：．
15.如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且，与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当取最小值时，的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取最小值时点P的位置．
连接，先得出要使取最小值，则需取得最小值，再连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，过点M作轴于点Q，过点作于点H，根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】连接，
，
，
点A，点B关于原点O对称，
，
，
要使取最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，
当点P位于点时，取得最小值，
过点M作轴于点Q，过点作于点H，如图所示，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16.如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、，分别在x轴和y轴的正半轴上，、横坐标相等，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则正方形的面积为________，的坐标为________．
【答案】 ①.4 ②.
【解析】
【分析】过点作轴于点C，根据正方形的性质，反比例函数的性质，构造一线三直角全等模型，一元二次方程的解法，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解方程是解题的关键．
【详解】过点作轴于点C，
正方形，
则， ，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵点、在反比例函数的图象上，且、横坐标相等，
设，则，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
故正方形的面积为4，
故答案为：4；
过点作轴于点D，过点作轴于点E，轴于点F，
∵正方形，
∴四边形是矩形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∵点、在反比例函数的图象上，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
故，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17.先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把，代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时，原式．
18.已知：中，，于点，平分交于两点，交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判断，等角对等边，平行线的性质与判定，先由角平分线的定义得到，再证明推出，则，再证明，据此可证明结论．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴．
19.为了保护学生的视力，学校的课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌和椅子高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌和椅子的高度，且课桌高度与对应的椅子高度（不含靠背）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌和椅子对应的四档高度，数据如下表：
（1）求课桌高度与椅子高度之间的函数关系式；
（2）小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为，椅子的高度为，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套．
【答案】（1）
（2）不配套，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键．
（1）设与的函数关系式为，运用待定系数法即可求解；
（2）根据一次函数的性质，把桌子的高度为代入计算再与椅子的高度比较即可；或把椅子的高度为代入，再与桌子的高度比较即可．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为，把和代入，
得，
解得，
课桌高度与椅子高度之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：不配套，理由如下：
方法一：在中，当时，，
，
把小丽的桌子高度降低3cm就可以配套了．
方法二：在中，当时，，
解得，
．
把小丽的椅子高度升高1.5cm就可以配套了．
20.民俗村的开发和建设带动了旅游业的发展．某市旅游部门绘制了年春节长假期间A，B，C，D，E五个民俗村及其他景点的旅游情况统计图如下．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）春节期间，该市五个旅游村及其他景点共接待游客__________万人，扇形统计图中D民俗村所对应的圆心角的度数是__________，并补全条形统计图；
（2）根据近几年到该市旅游人数的增长趋势，预计明年春节将有万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E民俗村旅游；
（3）甲、乙两个旅行团在A，C，D三个民俗村中，同时选择去同一个民俗村的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明．
【答案】（1），，补全统计图见解析
（2）万人
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知，该市五个旅游村及其他景点共接待游客万人，扇形统计图中D民俗村所对应的圆心角的度数是，B民俗村接待游客为万人，计算求解，然后补全条形统计图即可；
（2）根据70万游客乘以E村所占比例，计算求解即可；
（3）由题意画树状图，然后求概率即可．
【小问1详解】
解：由题意知，该市五个旅游村及其他景点共接待游客万人，
扇形统计图中D民俗村所对应的圆心角的度数是，
B民俗村接待游客（万人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：∵（万人），
∴估计有万人会选择去E民俗村旅游．
【小问3详解】
解：由题意画树状图如下；

由图可知，共有9种等可能出现的结果，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，
∴同时选择去同一个民俗村的概率是．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概率是解题关键．
21.如图，在中，，是外接圆的切线，D在圆上，延长交于点F，且，连接．

（1）求证：；
（2）若外接圆的半径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）设圆的圆心为O，根据为直径，取的中点O，连接交于H，证明四边形为矩形，得出，根据垂径定理得出，即可证明结论；
（2）连接，根据圆内接四边形的性质得出，设，得出，，根据得出，求出x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：设圆的圆心为O，
∵，
∴为直径，取的中点O，
连接DO交AC于H，

∵切于D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵过点O，，
∴
∴；
【小问2详解】
解：连接，

∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
22.在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求函数与函数的表达式；
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据函数与函数图象交于点和点．将点的横坐标代入中，求出其纵坐标，利用点的坐标求出，利用反比例函数得到点的坐标，进而得到即可解题；
（2）首先根据题意画出图形，得到、坐标，设所在直线的表达式为，利用待定系数法求出直线表达式，再利用解析式判断即可解题．
【小问1详解】
解：点的横坐标是2，
将代入．
．
将代入得：．
．
点的纵坐标是，
将代入，得．
．
将代入得：．
解得：．
．
【小问2详解】
证明：如图所示，
由题意可得：，．
设所在直线的表达式为，
．
解得：．
所在直线的表达式为．
当时，．
直线经过原点．

23.某挖掘机的底座高米，动臂米，米，与的固定夹角．初始位置如图1，其示意图为图2，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线垂直地面于点E，测得；工作时如图3，其示意图为图4，动臂会绕点B转动，当点A、B、C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角的度数；
（2）斗杆顶点D的最高点的位置距地面多少米？（精确到米）（参考数据：）
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用，矩形的性质与判定，平行线的性质：
（1）过点C作于点G， 则，由平行线的性质求出，则可求出，则由平行线的性质可得；
（2）过点D作于点H，过点C作于点K，则四边形是矩形，可得米，，求出，解， 得到米，则米．
【小问1详解】
解：在图2中，过点C作于点G，
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴挖掘机在初始位置时动臂与夹角的度数为；
【小问2详解】
解；在图4中，过点D作于点H，过点C作于点K，则四边形是矩形，
∴米，，
∵，
∴，
在中，，
∴米，
∴
∴斗杆顶点D最高点的位置距地面约米．
24.如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．
（1）当时，求的值；
（2）当为直角三角形时，求顶点的坐标；
（3）过点作的垂线交于点，令，
①求关于的函数解析式（并写出自变量的取值范围）；
②试根据直线与抛物线的交点个数，写出的取值范围（直接写出结论）．
【答案】（1）
（2）或
（3）①②当根据直线与抛物线的交点个数为，则；当根据直线与抛物线的交点个数为，则；当根据直线与抛物线的交点个数为，则；
【解析】
【分析】（1）分别算出，，结合，列式代入化简，即可作答．
（2）先得出，运用勾股定理，得出，，，然后进行分类讨论：或，然后列式代入数值，化简计算，即可作答．
（3）①先得出的解析式为；然后得到，运用三角函数的关系列式并整理得，再化简绝对值，即可作答．②运用判别式进行列式，再代入求值，即可作答．
【小问1详解】
解：∵直线与轴交于点，
∴，
∵直线与轴交于点
当时，，
则
∵抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．
∴当时，则
解得
∴
∵
∴
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∵抛物线的顶点为，
∴
把代入，
解得，
∴，
则，
，
，
∵为直角三角形，
∴当时，得，
则，
解得（负值已舍去），
∵，
∴顶点的坐标为，
∴当时，得，
则，
解得或（舍去），
∵，
∴顶点的坐标为，
综上：顶点的坐标为或；
【小问3详解】
解：①连接，且记与对称轴交点为点E，过点C作，轴与对称轴交点为点F，如图：
∵，，
∴设的解析式为
则把，分别代入
得
解得
∴的解析式为；
令，得出
∴
则线段
由，得出
∴
∵
∴
在中，
即
∴
当时，此时，则；
当时，此时，则；
综上
②依题意，与建立方程组
即
得
当时，即有一个交点，
解得，（舍去）
∵
∴；
当时，即有两个交点，
解得，（舍去）
∴；
当时，即无交点，
解得，（舍去）
∴，且
∴
综上：当根据直线与抛物线的交点个数为，则；当根据直线与抛物线的交点个数为，则；当根据直线与抛物线的交点个数为，则；
【点睛】本题考查了勾股定理，二次函数与几何综合，解直角三角形的相关运算，判别式的应用，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25.【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点．当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．
【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题；
【深入探究】（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．
①甲组提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题：
②乙组提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长．
【答案】（1）四边形为正方形，理由见解析；（2）①，证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；
②设，的交点为，过作于，则易得，点是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】解：（1）四边形为正方形．理由如下：
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形；
（2）①．理由如下：
，
，
，
，
，即，
，
，
．
由（1）得，
．
②如图4：设，的交点为，过作于，
，
，，，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
由勾股定理得，
，
，
，即，
，
，，，
，
，
，
即的长为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
档次
第一档
第二档
第三档
第四档
椅子高度
课桌高度