高一11月期中考题分类汇编+指数函数、对数函数（导学）含参考答案

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热身训练——函数
1.（常州市2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题）
2.（常州市2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题）（多选题）
3.（常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
（多选题）对于定义域为I函数，若满足，，都有，我们称为“下凸函数”，比如函数即为“下凸函数”．对于“下凸函数”，下列结论正确的是（ ）
A．一次函数有可能是“下凸函数”
B．二次函数为“下凸函数”的充要条件是
C．函数为“下凸函数”的充要条件是
D．函数是“下凸函数”
答案：BCD
4.（江苏省镇江中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
对于定义域为函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（ ）
A. 是函数的一个“和谐区间”
B. 函数存在“和谐区间”
C. 函数的所有“和谐区间”为、、.
D. 若函数存在“和谐区间”，则实数的取值范围是
答案：BC
5.（常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是________．
答案：8
6.（常州市2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题）
7.（常州市2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题）
8.（江苏省镇江中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
已知函数[1， 2]．
（1）求函数的值域;
（2）设，，，求函数的最小值．
（3）对（2）中的，若不等式对于任意的 时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
期中考题——函数
1.（常州市十校2022-2023学年高一上学期期中联合调研数学试题）
已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 ▲ ．
答案：
2.（南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题）
已知函数f(x)＝eq \f(|x|＋x,2)＋1，g(x)＝f(x－2)＋1，则不等式f(x)＞g(x)的解集为( )
A．(－∞，2) B．(1，2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案：C
3.(扬州中学2022-2023学年高一上学期期中检测数学试题)
若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
4.（南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题）
（多选题）已知函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x)(x＞0)，则( )
A．f(x)的图象与x轴有且仅有1个交点
B．g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．f(x)的最小值为eq \f(3,\r(3,4))
D．f(－x)的图象在h(x)＝eq \f(2,x)(x＜0)的图象的上方
答案：BCD
5.（南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题）
设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
，，，，
当时，，，
因为，所以，即
当时，，，，
因为，所以，
当时，，，，，
因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，，，，同时成立，正整数的最大值为4.
6.（南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题）
(多选题)已知定义在R上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①，都有；②．且时，都有；③，则下列成立的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．，，使得
【答案】BD
7.（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
设m为非零常数，函数的定义域为对于任意的实数x，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则函数的图象关于直线对称
B. 若，则函数的图象关于直线对称
C. 若，则函数的图象关于点对称
D. 若，则函数的图象关于点对称
【答案】AC
【解析】
【分析】由选项A，B的条件判断函数的奇偶性，由选项C的条件判断函数的奇偶性，结合奇函数和偶函数的图象性质及图象变换结论判断各选项即可.
【详解】对于A：因为，所以，所以函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，所以函数的图象关于直线对称，A正确；
对于B： 假设函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，则，当不恒为0时，与矛盾，B错误；
对于C，因为，将x变换为可得，所以，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于点对称，C正确；
对于D，由选项C的推导可得若，则函数的图象关于点对称，因为，所以D错误；
故选：AC.
8.（南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题）
已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取范围是__________．
【答案】
9.（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
已知函数在区间上的最大值是10，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出x∈[6，10]，再分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值，即可求出a的范围．
【详解】当x∈[1，9]，x∈[6，10]，
①当a≥10时，f（x）＝2a﹣x，f（x）max＝2a﹣6＝10，∴a＝8，舍去
②当a≤1时，f（x）＝x10，此时命题成立；
③当1＜a＜10时，f（x）max＝max{|6﹣a|+a，|10﹣a|+a}，
则或，
解得a＝8或a＜8，
综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，8]．
【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够利用最值构造出与函数值域有关的不等式，通过求解函数的值域求得结果.
10.（南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题）
我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为如下结论：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知该结论是真命题．
(1)求函数h(x)＝x3－6x2图象的对称中心；
(2)还有同学提出了如下两个命题：
命题① 已知函数y＝f(x)的定义域为R，如果函数y＝f(x＋1)为偶函数，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称图形；
命题② 已知函数y＝f(x)的定义域为R，如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称图形，那么函数y＝f(x＋1)为偶函数；
请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由．(若两个都选，则只对你选的第一个评分)
11.（常州市十校2022-2023学年高一上学期期中联合调研数学试题）
已知函数．
（1）当时，求的增区间；
（2）若，都有，求实数a的取值范围．
．解：（1）时，，……1分
时，在上单调递增，在上单调递减……2分
时，单调递增……3分
综上，的增区间是和……4分
（2）因为对，都有
所以，所以……5分
又时，所以
所以时，，……6分
又时，，
所以问题转化为：对恒成立，……8分
整理得：对恒成立，
所以，……10分
因为在上单调递增，所以时，，
因为时，，
当且仅当即时取等号，
所以，
所以
12.（南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题）
（本小题满分12分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
（1）若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围；
（2）若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围.
【答案】(1)因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
所以且恒成立.
即对于任意恒成立.
令，
则，
解得.
(2)因为，
所以，
设，因为，所以，
由P函数性质得在上单调递增，
所以，
所以，
所以
13.（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，值域为
（2）
【解析】
【分析】（1）设，则，可得出，利用对勾函数的单调性结合复合函数的单调性可得出函数的增区间和减区间，再结合函数的单调性可求出函数的值域；
（2）求出当时，，分析可知是函数在上值域的子集，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合题意可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：设，则，且，
所以，其中，
由已知得在上单调递减，在上单调递增，
又因为在上单调递增，函数在上为减函数，
由可得，由可得，
所以，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为，单调减区间为，
所以，，
又因为，，故，
所以，函数的单调增区间为，减区间为，值域为.
【小问2详解】
解：因为，当时，，所以，
由（1）知
由题意，得是的值域的子集，
因为函数的图象开口向上，对称轴为.
①当时，则，函数在上单调递增，
则当时，，，
故，解得；
②当时，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，不满足，舍去；
③当时，则，函数在上单调递减，
故当时，，，
故，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则值域是的值域的子集
期中考题精选（2022.11）——指数、对数
1.（连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数若一条鱼的游速是，则这条鱼的耗氧量是（ ）个单位.
A. 2400B. 2700C. 6400D. 8100
【答案】B
【解析】
【分析】将代入函数解析式，利用指数式与对数式的互化即可求解.
【详解】由，当时，
则，即，解得，
所以.
故选：B.
2.（常州市十校2022-2023学年高一上学期期中联合调研数学试题）
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
解：（1）……5分
（2）因为，
所以，……8分
所以．……10分
3.（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
（1）已知，，求的值；
（2）已知，，试用a，b表示.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数运算性质将用与表示即可；
（2）根据对数运算性质将用与表示即可；
【详解】（1）
（2）
.
4.(常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题)
声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：dB）．下列选项中正确的是（ ）
A．闻阈的声强为
B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍
C．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：dB）
D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB
答案：ACD
5.（常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
（1）计算：；
（2）已知，，试用a，b表示．
（1）
5分
（2）10分
6.（江苏省镇江中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
如果关于的方程的两根分别是，，则的值是（ ）
B. C. D. 15
答案：C
7.（江苏省镇江中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是（注：）（ ）
A. B. C. D.
答案：D
导学——指数函数
指数函数（一）
Ⅰ.复习回顾
［师］前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知
识都是为我们学习指数函数打基础.
现在大家来看下面的问题：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是
y=2x
这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量.
下面，我们给出指数函数的定义.
Ⅱ.讲授新课
1.指数函数定义
一般地，函数y=ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.
［师］现在研究指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质，先来研究a＞1的情形.
例如，我们来画y=2x的图象
列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：
再来研究0＜a＜1的情况，
例如，我们来画y=2-x的图象.可得x,y的对应值，用描点法画出图象.也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x即y=()x的图象.
我们观察y=2x以及y=2-x的图象特征，就可以得到y=ax(a＞1)以及y=ax(0＜a＜1)的图象和性质.
2.指数函数的图象和性质
3.例题讲解
［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求.
解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841；
经过2年，剩留量y=0.84×84%=0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y=0.84x
根据这个函数关系式可以列表如下：
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半.
评述：(1)指数函数图象的应用.
(2)数形结合思想的体现.
［例2］说明函数y=2x+1与y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图.
分析：做此题之前，可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题.
解：比较函数y=2x+1与y=2x的关系：
y=2-3+1与y=2-2相等，
y=2-2+1与y=2-1相等，
y=22+1与y=23相等，
……
由此可以知道，将指数函数y=2x的图象向左平行移动一个单位长度，就得到函数y=2x+1的图象.
评述：此题目的在于让学生了解图象的平移变换，并能逐步掌握平移规律.
Ⅲ.课堂练习
1.课本P74练习1
在同一坐标系中，画出下列函数的图象：
(1)y＝3x；
（2）y＝（）x.
2.课本P73例2(2).
说明函数y＝2x－2与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图.
解：比较y＝2x－2与y＝2x的关系
y＝2-1－2与y＝2-3相等，
y＝20-2与y＝2-2相等，
y＝23－2与y＝21相等，
……
由此可以知道，将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y＝2x-2的图象.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要能在理解指数函数概念的基础上，掌握指数函数的图象和性质，并会简单的应用.
Ⅴ.课后作业
（一）1.在同一坐标系里画出下列函数图象：
(1)y=10x；
(2)y=()x.
2.作出函数y=2x－1和y=2x+1的图象，并说明这两个函数图象与y=2x的图象关系.
答：如图所示，函数y＝2x－1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向右平移两个单位得到.
函数y＝2x＋1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到
（二）1.预习内容：
课本P73例3
2.预习提纲：
(1)同底数幂如何比较大小?
(2)不同底数幂能否直接比较大小?
●板书设计
§2.6.1 指数函数
1.指数函数定义：形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫指数函数
2.指数函数的图象性质
3.［例1］ ［例2］
4.学生 练习
Ⅰ.复习引入
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是 y＝2x.
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 y＝0.85x.
在y＝2x, y＝0.85x中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
Ⅱ.讲授新课
1．指数函数的定义
函数y＝a x（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a＞0,且a≠1呢？
①若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义.
②若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义. 如y＝(-2)x，这时对于x＝ eq \f(1,4) ，x＝ eq \f(1,2) ，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a＝1，则对于任何x∈R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1。在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞).
探究2：函数 y＝2·3x是指数函数吗？ 指数函数的解析式 y＝ax中，ax的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中
a-x＞0，且a-x≠1.
活动设计：教师提出问题，学生思考、分析、讨论，教师引导、整理
2．指数函数的图象
活动设计：学生分别取不同的a值，用计算器作出函数图像，观察、分析讨论函数性质，教师辅导、启发、整理
⑴作图：（以下几例由学生作出类似情况，然后展示）


⑵描点法作函数草图
在同一坐标系中分别作出函数 y＝2x，y＝( eq \f(1,2) )x，y＝10x的图象.
⑴先分别列出 y＝2x，y＝( eq \f(1,2) )x，y＝10x中x、y的对应值表：
注意：
①用图形计算器函数值表填写列表，列表时注意x的广泛代表性，即对于负数、零、正数都要取到；
②要画出渐近的“味道”
⑶观察、总结
Ⅲ.例题分析
［例1］（课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：
①1.72.5，1.73； ②0.8－0.1，0.8－0.2； ③1.70.3，0.93.1
活动设计：理解用函数单调性来比较大小，教师引导、整理
解：利用函数单调性
①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数 y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=1.7x在R是增函数，而2.51；0.93.10时，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y＝2x－m的图象，当m 0 ）
⑵lg a 1＝0，lg a a＝1
∵对任意 a＞0且a≠1， 都有 a0＝1 ∴lg a 1＝0
同样易知： lg a a＝1
⑶对数恒等式
如果把 ab＝N 中的 b写成 lg a N, 则有 a＝N
⑷常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数lg 10 N简记作lg N
例如：lg 105简记作lg 5 lg103.5简记作lg3.5.
⑸自然对数
在科学技术中常常使用以无理数e＝2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数lg e N简记作ln N。
例如：lge3简记作ln3 lge10简记作ln10
2．对数式与指数式的互换
例1：将下列指数式写成对数式：
（1）54＝625 （2）2-6＝ eq \f(1,64) （3）3a＝27 (4) （ eq \f(1,3) ）m＝5.73
解：（1）lg5625＝4； （2）lg2 eq \f(1,64) ＝－6；
（3）lg327＝a； （4）lg5.73＝m
例2：将下列对数式写成指数式：
（1）lg16＝－4； （2）lg2128＝－7；
（3）lg0.01＝－2； （4）ln10＝2.303
解：（1）（ eq \f(1,2) ）－4＝16 （2）27＝128；
（3）10－2＝0.01； （4）e2.303＝10
活动设计：教师示范小题（1），其余学生完成，目的在于熟悉对数的定义
Ⅲ.课堂练习 课本第58页 练习1. 2. 3. 4
例3．计算： lg927，，，
解法一：设 x＝lg927 则 9x ＝27 32x ＝33, ∴x＝ eq \f(3,2)
设 x＝ 则（ eq \r(4,3) ）x＝81, 3＝34, ∴x＝16
令 x＝＝,
∴（2＋ eq \r(3) ）x＝（2＋ eq \r(3) ）－1, ∴x＝－1
令 x＝, ∴（ eq \r(3,54) ）x＝625, 5＝54, ∴x＝3
解法二：
lg927＝lg933＝3；
=
Ⅳ. 课时小结
⑴定义 ⑵互换 ⑶求值
大家要在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化，会计算一些特殊对数值。
Ⅵ.课后作业
课本第90页 习题2.7 1，2
理解对数概念.
2.能够进行对数式与指数式的互化.
3.培养学生应用数学的意识.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间的相互联系与相互转化.
2.用联系的观点看问题.
3.了解对数在生产、生活实际中的应用.
●教学重点
对数的定义.
●教学难点
对数概念的理解.
●教学方法
启发式
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于对数定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：复习举例(记作§2.7.1 A)
第二张：导入举例(记作§2.7.1 B)
第三张：本节例题(记作§2.7.1 C)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一单元，我们一起学习了指数与指数函数的有关知识，也就明确了如下问题：
(打出幻灯片§2.7.1 A)
由32＝９可得到
(1)9是3的平方
（2）3是9的平方根
［师］其中(1)式中9、3、2依次叫什么名称?
［生］(1)式中，9叫幂值，3叫幂的底数，2叫幂的指数.
［师］(2)式中的9、3、2依次叫什么名称?
［生］(2)式中，9叫被开方数，3叫根式值，2叫根指数.
［师］从上述过程不难看出，9与3、2有一定关系，即9=32,3与2、9之间也有一定的关系，即3=,其中根指数为2时省略不写.那么，我们自然提出一个问题：2与3、9之间是何关系，2能否用3、9表示呢?这就将牵涉到我们这一节将学习的对数问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们来看下面的问题.(打出幻灯片§2.7.2 B)
(说明：由于对数概念是本节重点，所以在导入新课上有所侧重)
假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，
那么经过多少年国民生产总值是1995年时的2倍?
假设经过x年国民生产总值为1995年时的2倍，根据题意有：
a(1+8%)x=2a
即1.08x=2
［师］上述问题是已知底数和幂的值，求指数的问题，也就是我们这节将要学习的对数问题.
1.对数的定义
一般地，当a＞0且a≠1时
若ab=N,则b叫以a为底N的对数.
记作：lgaN=b
其中a叫对数的底数，N叫真数.
［师］从上述定义我们应明确对数的底数a＞0且a≠1，N＞0，真数N＞0，也就是说，负数和零没有对数.
2.常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数lg10N简记
作lgN.
例如：lg105简记作lg5
lg103.5简记作lg3.5.
3.自然对数
［师］在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数lgeN简记作lnN.
例如：lge3简记作ln3
lge10简记作ln10
［师］由对数的定义，可以看出指数与对数的密切关系.接下来，我们就学习指数式与对数式的互化.
4.例题讲解
［例1］将下列指数式写成对数式
(1)54=625
(2)2-6=
(3)3a=27
(4)()m=5.73
解：(1)lg5625=4
(2)lg2=－6
(3)lg327=a
(4)5.73=m
［例2］将下列对数式写成指数式
(1)16=－4
(2)lg2128=7
(3)lg0.01=－2
(4)ln10=2.303
解：(1)()－4=16
(2)27=128
(3)10-2=0.01
(4)e2.303=10
评述：例1、例2目的在于让学生熟悉对数的定义.
［师］为使大家进一步熟悉对数式与指数式的互化，我们来做课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
课本P77练习
1.把下列指数式写成对数式
(1)23＝8
（2）25＝32
（3）2-1＝
(4)
解：(1)lg28＝3
(2)lg232＝5
(3)lg2＝－1
(4)lg27＝－
2.把下列对数式写成指数式
(1)lg39＝2
（2）lg5125＝3
（3）lg2＝－2
（4）lg3＝－4
解：(1)32＝9
(2)53＝125
(3)2-2＝
(4)3－4＝
3.求下列各式的值
(1)lg525
（2）lg2
（3）lg100
（4）lg0.01
（5）lg10000
（6）lg0.0001
解：(1)lg525＝lg552＝2
(2)lg2＝－4
(3)∵102＝100 ∴lg100＝2
(4)∵10-2＝0.01 ∴lg0.01＝－2
(5)∵104＝10000 ∴lg10000＝4
(6)∵10-4＝0.0001 ∴lg0.0001＝－4
4.求下列各式的值
(1)lg1515
（2）lg0.41
（3）lg981
（4）
（5）lg7343
（6）lg3243
解：(1)∵151＝15 ∴lg1515＝1
(2)∵0.40＝1 ∴lg0.41＝0
(3)∵92＝81 ∴lg981＝2
(4)∵2.52＝6.25 ∴＝2
(5)∵73＝343 ∴lg7343＝3
(6)∵35＝243 ∴lg3243＝5
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要能在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化.
对数（二）
Ⅰ.复习回顾
1．对数的定义 lg a N＝b 其中 a∈（0，1）∪（1，＋∞）与N∈（0，＋∞）
2．指数式与对数式的互化
ab＝N lg a N＝b
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数；
⑵lg a 1＝0，lg a a＝1
⑶对数恒等式
(4) lg a ab＝b
Ⅱ.讲授新课
1.运算性质：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lga eq \f(M,N) ＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)
［师］现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.
证明：(1)设lgaM＝p，lgaN＝q
由对数的定义得：M＝ap，N＝aq ∴MN＝ap·aq＝ap+q
再由对数定义得lgaMN＝p＋q，即证得lgaMN＝lgaM＋lgaN
(2)设lgaM＝p，lgaN＝q 由对数的定义可以得
M＝ap，N＝aq， ∴ eq \f(M,N) ＝ eq \f(ap,aq) ＝ap－q，
再由对数的定义得 lga eq \f(M,N) ＝p－q
即证得lga eq \f(M,N) ＝lgaM－lgaN
(3)设lgaM＝p 由对数定义得M＝ap
∴Mn＝（ap）n＝anp 再由对数定义得
lgaMn＝np 即证得lgaMn＝nlgaM
评述：上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.
其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.
(要求：性质(2)、(3)学生尝试证明，老师指导)
［师］接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：
［例1］求下列各式的值
（1）lg525 （2）lg0.41
（3）lg2(47×25) （4）lg eq \r(5,100)
分析：此例题目的在于让学生熟悉对数运算性质，可采用讲练结合的方式.
解：（1）lg525＝＝2
（2）lg0.41＝0
（3）lg2(47×25)＝lg247＋lg225＝lg222×7＋lg225＝2×7＋5＝19
（4）lg eq \r(5,100) ＝ eq \f(1,5) lg102＝ eq \f(2,5) lg10＝ eq \f(2,5)
［师］大家在运算过程中，要注意对数的运算性质与幂的运算性质的区别.
［例2］用lg a x，lg a y，lg a z表示下列各式：
（1）lg a eq \f(xy,z) （2）lg a eq \f(x2· eq \r(y) , eq \r(3,z) )
解：（1）lg a eq \f(xy,z) ＝lg a（xy）－ lg az＝lg a x＋lg ay－lg az
（2）lg a eq \f(x2· eq \r(y) , eq \r(3,z) ) ＝lg a （x2· eq \r(y) ）－lg a eq \r(3,z)
＝lg a x2＋lg a eq \r(y) －lg a eq \r(3,z) ＝2 lg a x ＋ eq \f(1,2) lg ay － eq \f(1,3) lg az
［例3］计算：
（1）lg14－2lg eq \f(7,3) ＋lg7－lg18 （2） eq \f(lg243,lg9) （3） eq \f(lg eq \r(27) ＋lg8－3lg eq \r(10) ,lg1.2)
说明：此例题可讲练结合.
(1)解法一：lg14－2lg eq \f(7,3) ＋lg7－lg18
＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0
解法二：
lg14－2lg eq \f(7,3) ＋lg7－lg18＝lg14－lg（ eq \f(7,3) ）2＋lg7－lg18
＝lg eq \f(14×7, （ eq \f(7,3) ）2×18) ＝lg1＝0
评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.
（2） eq \f(lg243,lg9) ＝ eq \f(lg35,lg32) ＝ eq \f(5lg3,2lg3) ＝ eq \f(5,2)
（3） eq \f(lg eq \r(27) ＋lg8－3lg eq \r(10) ,lg1.2) ＝ eq \f(lg（33）＋lg23－3lg（10）,lg eq \f(3×22,10) )
＝ eq \f( eq \f(3,2) （lg3＋2lg2－1）,lg3＋2lg2－1) ＝ eq \f(3,2)
评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.
Ⅲ.课堂练习
课本P60练习1，2，3，4，5
补充：1.求下列各式的值：
（１）lg 2６－lg 2３ （２）lg５＋lg２
（３）lg 5３＋lg 5 eq \f(1,3) （４）lg 3５－lg 315
解：（１）lg 2６－lg 2３＝lg 2 eq \f(6,3) ＝lg 2２＝１
（2）lg５＋lg２＝lg（５×２）＝lg１０＝１
（3）lg 5３＋lg 5 eq \f(1,3) ＝lg 5 (３× eq \f(1,3) )＝lg 5１＝０
（4）lg 3５－lg 315＝lg 3 eq \f(5,15) ＝lg 3 eq \f(1,3) ＝－lg 3３＝－１
2. 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1) lg （x y z） （２）lg eq \f(xy2,z) （３）lg eq \f(xy3, eq \r(z) ) （４）lg eq \f( eq \r(x) ,y2z)
解：(1) lg（xyz）＝lg x＋lg y＋lgｚ
(2) lg eq \f(xy2,z) ＝lg x y2－lg z＝lg x＋lg y2－lg z
＝lg x＋２lg y－lgｚ
(3) lg eq \f(xy3, eq \r(z) ) ＝lg x y3－lg eq \r(z) ＝lg x＋lg y3－ eq \f(1,2) lgｚ
＝lg x＋３lg y－ eq \f(1,2) lgｚ
(4) lg eq \f( eq \r(x) ,y2z) ＝lg eq \r(x) －lg y2 z＝ eq \f(1,2) lg x－（lg y2＋lg z）
＝ eq \f(1,2) lg x－2lg y－lg z
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，大家应掌握对数运算性质的推导，并能熟练运用对数运算性质进行对数式的化简、求值.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P63习题 3，5
（二）预习内容：课本P61
补充作业：
1.计算：
(1) lg a２＋lg a eq \f(1,2) （a＞０，a≠１） （２）lg 318－lg 3２
(3) lg eq \f(1,4) －lg25 (4)２lg 510＋lg 50.25
（5）２lg 525＋３lg 264 (6) lg 2（lg 216）
解：(1) lg a２＋lg a eq \f(1,2) ＝lg a（２× eq \f(1,2) ）＝lg a１＝０
（2）lg 318－lg 3２＝lg 3 eq \f(18,2) ＝lg 3９＝２
（3）lg eq \f(1,4) －lg25＝lg（ eq \f(1,4) ÷２５）＝lg eq \f(1,100) ＝lg10－2＝－２
（4）２lg 510＋lg 50.25＝lg 5＋lg 50.25
＝lg 5 (100×0.25)＝lg 525＝２
（5）２lg 525＋３lg 264＝２lg 5＋３lg 226
＝２×２＋３×６＝22
（6）lg 2（lg 216）＝lg 2（lg 2）＝lg 2４＝lg 2＝２
2.已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求下列各对数的值(精确到小数点后第四位)
(1) lg６ （２）lg４ （３）lg12
（４）lg eq \f(3,2) （５）lg eq \r(3) （６）lg32
解：（１）lg６＝lg２＋lg３＝0.3010+0.4771＝0.7781
(2) lg４＝２lg２＝２×0.3010＝0.6020
(3) lg12＝lg(３×4)＝lg３＋２lg２＝0.4771＋0.3010×2＝1.0791
(4) lg eq \f(3,2) ＝lg３－lg２＝0.4771－0.3010＝0.1761
(5) lg eq \r(3) ＝ eq \f(1,2) lg３＝ eq \f(1,2) ×0.4771＝0.2386
(6) lg32＝５lg２＝５×0.3010＝1.5050
3.用lg a x，lg a y，lg a z，lg a（x＋y），lg a（x－y）表示下列各式：
（1）； （２）（）；
（3）（）； （４）；
（5）（）； （６）［］３.
解：(1) ＝－ｚ
＝ eq \f(1,3) ｘ－（２ｙ＋ｚ）＝ eq \f(1,3) ｘ－２ｙ－ｚ；
(2) （ｘ·）＝ｘ＋
＝ｘ＋ eq \f(1,4) （－）＝ｘ－ｙ＋ｚ
＝ｘ－ｙ＋ｚ；
(3) （ｘ）＝ｘ＋＋
＝ｘ＋ｙ－ｚ；
(4) ＝xy－（－）
＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）
＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）；
(5) （·ｙ）＝＋ｙ
＝（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）＋ｙ；
(6) ［］
＝３［ｙ－ｘ－（ｘ－ｙ）］
＝３ｙ－３ｘ－３（ｘ－ｙ）
对数（三）
Ⅰ.复习回顾
对数的运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lga eq \f(M,N) ＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)
Ⅱ.讲授新课
1.对数换底公式：
lg a N＝ eq \f(lg m N,lg m a ) (a＞0，a≠1，m＞0 ，m≠1，N＞0)
证明：设lg a N＝x , 则 ax＝N
两边取以m为底的对数：lg m ax＝lg m Nx lg m a＝lg m N
从而得：x＝ eq \f(lg m N,lg m a ) ∴ lg a N＝ eq \f(lg m N,lg m a )
2.两个常用的推论:
① lg a b·lg b a＝1
② lg bn＝ eq \f(n,m) lg a b（ a、b＞0且均不为1）
证：①lg a b·lg b a＝ eq \f(lg b,lg a ) eq \f(lg a,lg b ) ＝1
②lg bn＝ eq \f(lg bn,lg am ) ＝ eq \f(nlg b,mlg a ) ＝ eq \f(n,m) lg a b
Ⅲ.例题分析
例1 已知 lg 23＝a， lg 37＝b, 用 a, b 表示lg 4256
解：因为lg 23＝a，则 eq \f(1,a) ＝lg 32 , 又∵lg 37＝b,
∴lg 4256＝ eq \f(lg 356,lg 342) ＝ eq \f(lg 37＋3lg 32,lg 37＋lg 32＋1) ＝ eq \f(ab＋3,ab＋b＋1)
例2计算：① 5 ② lg 43·lg 92－lg eq \r(4,32)
解：①原式＝
②原式＝ eq \f(1,2) lg 23· eq \f(1,2) lg 32＋ eq \f(5,4) lg 22＝ eq \f(1,4) ＋ eq \f(5,4) ＝ eq \f(3,2)
例3设 x、y、z∈（0，＋∞）且3x＝4y＝6z
1 求证 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,2y) ＝ eq \f(1,z) ； 2 比较3x，4y，6z的大小
证明1：设3x＝4y＝6z＝k ∵x、y、z∈（0，＋∞） ∴k＞1
取对数得：x＝ eq \f(lg k,lg 3) ， y＝ eq \f(lg k,lg4) ， z＝ eq \f(lg k,lg 6)
∴ eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,2y) ＝ eq \f(lg 3,lg k) ＋ eq \f(lg 4,2lg k) ＝ eq \f(2lg 3＋lg4,2lg k) ＝ eq \f(2lg 3＋2lg2,2lg k) ＝ eq \f(lg 6,lg k) ＝ eq \f(1,z)
2 3x－4y＝（ eq \f(3,lg 3) － eq \f(4,lg 4) ）lgk＝ eq \f(lg64－lg81,lg 3lg4) lgk＝ eq \f(lgk·lg eq \f(64,81) ,lg 3lg4) ＜0
∴3x＜4y
又：4y－6z＝（ eq \f(4,lg 4) － eq \f(6,lg 6) ）lgk＝ eq \f(lg36－lg64,lg 2lg6) lgk＝ eq \f(lgk·lg eq \f(9,16) ,lg 2lg6) ＜0
∴4y＜6z ∴3x＜4y＜6z
例4已知lg a x＝lg ac＋b，求x
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将lg a c移到等式左端，或者将b变为对数形式
解法一：
由对数定义可知：
解法二：
由已知移项可得lg ax－lg ac＝b， 即lg a eq \f(x,c) ＝b
由对数定义知： eq \f(x,c) ＝ab ∴x＝c·ab
解法三：
∵b＝lg a ab ∴lg ax＝lg ac＋lg a ab＝lg a c·ab ∴x＝c·ab
Ⅳ.课堂练习
①已知 lg 189＝a , 18b＝5 , 用 a, b 表示lg 3645
解：∵lg 189＝a ∴lg 18 eq \f(18,2) ＝1－lg 182＝a ∴lg 182＝1a
∵18b＝5 ∴ lg 185＝b
∴lg 3645＝ eq \f(lg 1845,lg 1836) ＝ eq \f(lg 189＋lg 185,1＋lg 182) ＝ eq \f(a＋b,2－a)
②若lg 83＝p ，lg 35＝q, 求 lg5
解：∵lg 83＝p ∴ ＝p lg23＝3plg 32＝ eq \f(1,3p)
又∵lg 35＝q ∴ lg5＝ eq \f(lg 35,lg 310) ＝ eq \f(lg 35,lg32＋lg 35) ＝ eq \f(3pq,1＋3pq)
Ⅴ.课时小结
本节课学习了以下内容：换底公式及其推论
Ⅵ.课后作业
1．证明：
证法1： 设 ，，
则：
∴ 从而
∵ ∴ 即：（获证）
证法2： 由换底公式 左边＝＝右边
2．已知
求证：
证明：由换底公式 由等比定理得：
∴
∴
对数函数（一）
Ⅰ.复习回顾
［师］我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示.
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝lg2y.
如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝lg2x.
这一节，我们来研究对数函数.
Ⅱ.讲授新课
1.对数函数定义
一般地，当a＞0且a≠1时，函数y＝lgax叫做对数函数.
［师］这里对数函数的解析式可以由指数函数求得，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.
即对数函数的定义域是（0，+∞)，值域是R.
［师］画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系：
（1）y＝2x，y＝lg2x； （2）y＝（ eq \f(1,2) ）x，y＝lgx
它们的图象关于直线y＝x对称.
所以y＝lgax的图象与y＝ax的图象关于直线y＝x对称.因此，我们只要画出和y＝ax的图象关于y＝x对称的曲线，就可以得到y＝lgax的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质.
2.对数函数的图象和性质
［师］接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用.
3.例题讲解
［例1］求下列函数的定义域
（1）y＝lgax2 (2)y＝lga(4－x) (3)y＝lga(9－x2)
分析：此题主要利用对数y＝lgax的定义域（0，+∞）求解
解：（1）由x2＞0，得x≠0 所以函数y＝lgax2的定义域是{x|x≠0}
(2)由4－x＞0，得x＜4 所以函数y=lga(4－x)的定义域是{x|x＜4}
(3)由9－x2＞0得－3＜x＜3 所以函数y=lga(9－x2)的定义域是{x|－3＜x＜3}
评述：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式.
［师］为使大家进一步熟悉对数函数的图象和性质，我们来做练习.
Ⅲ.课堂练习
课本P69练习
1.画出函数y＝lg3x及y＝的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.
相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x＝1，y＝0.
不同性质：y＝lg3x的图象是上升的曲线，y＝的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数.
2.求下列函数的定义域：
（1）y＝lg5(1－x) （2）y＝ eq \f(1,lg2x)
（3）y＝lg7 eq \f(1,1－3x) （4）y＝ eq \r(lg3x)
解：（1）由1－x＞0得x＜1 ∴所求函数定义域为{x|x＜1}
(2）由lg2x≠0，得x≠1，又x＞0 ∴所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}
(3)由 eq \b\lc\{(\a\al( eq \f(1,1－3x) ＞0,1－3x≠0)) ，得x＜ eq \f(1,3) ∴所求函数定义域为{x|x＜ eq \f(1,3) }
(4)由 eq \b\lc\{(\a\al(x＞0,lg3x≥0)) ，得 eq \b\lc\{(\a\al(x＞0,x≥1)) ∴x≥1
∴所求函数定义域为{x|x≥1}
要求：学生板演练习，老师讲评.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家应逐步掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题.
对数函数（二）
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即：
当a＞1时，y＝lgax在（0,+∞）上是增函数；
当0＜a＜1时，y＝lgax在（0，+∞）上是减函数.
这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］比较下列各组数中两个值的大小：
（1）lg23.4，lg28.5 (3)lg0.31.8，lg0.32.7 (3)lga5.1，lga5.9(a＞0，a≠1)
分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小.
解：（1）考查对数函数y＝lg2x，因为它的底数2＞1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是lg23.4＜lg28.5
(2)考查对数函数y＝lg0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是lg0.31.8＞lg0.32.7
［师］通过（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
（1）确定所要考查的对数函数；（2）根据对数底数判断对数函数增减性；（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.
解：（3）当a＞1时，y＝lgax在（0，+∞）上是增函数，于是lga5.1＜lga5.9
当0＜a＜1时，y＝lgax在（0，+∞）上是减函数，于是lga5.1＞lga5.9
评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握.
［例2］比较下列各组中两个值的大小：
（1）lg67，lg76 (2)lg3π，lg20.8
分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数值的大小.
解：（1）∵lg67＞lg66＝1，lg76＜lg77＝1，∴lg67＞lg76
（2）∵lg3π＞lg31＝0，lg20.8＜lg21＝0，∴lg3π＞lg20.8
评述：例2仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例2（2）题也可与1比较.
［例3］求下列函数的定义域、值域：
⑴ y＝ eq \r(2－ eq \f(1,4) ) ⑵ y＝lg2（x2＋2x＋5）
⑶ y＝lg（－x2＋4x＋5） ⑷ y＝ eq \r(lga（－x2－x）) （0＜a＜1）
解：⑴要使函数有意义，则须：
2－ eq \f(1,4) ≥0 即：－x2－1≥－2 得－1≤x≤1
∵－1≤x≤1 ∴－1≤－x2≤0 从而 －2≤－x2－1≤－1
∴ eq \f(1,4) ≤2≤ eq \f(1,2) ∴0≤2－ eq \f(1,4) ≤ eq \f(1,4) ∴0≤y≤ eq \f(1,2)
∴定义域为[－1，1]，值域为[0， eq \f(1,2) ]
⑵∵x2＋2x＋5＝（x＋1）2＋4≥4对一切实数都恒成立
∴函数定义域为R
从而lg2（x2＋2x＋5）≥lg24＝2 即函数值域为[2，＋∞）
⑶要使函数有意义，则须：
－x2＋4x＋5＞0得x2－4x－5＜0解得－1＜x＜5
由－1＜x＜5 ∴在此区间内 （－x2＋4x＋5）max＝9
∴ 0≤－x2＋4x＋5≤9
从而 lg（－x2＋4x＋5）≥lg9＝－2 即：值域为 y≥－2
∴定义域为[－1，5]，值域为[－2，＋∞）
⑷要使函数有意义，则须：
由①：－1＜x＜0
由②：∵0＜a＜1时 则须 －x2－x≤1，x∈R
综合①②得 －1＜x＜0
当－1＜x＜0时 （－x2－x）max＝ eq \f(1,4) ∴0＜－x2－x≤ eq \f(1,4)
∴lga（－x2－x）≥lga eq \f(1,4) ∴ y≥ eq \r(lga eq \f(1,4) )
∴定义域为(－1，0)，值域为[ eq \r(lga eq \f(1,4) ) ，＋∞）
Ⅲ.课堂练习
课本P69练习3
补充：比较下列各题中的两个值的大小
（1）lg20.7，lg0.8 （2）lg0.30.7， lg0.40.3
（3）lg3.40.7，lg0.60.8，（ eq \f(1,3) ） （4）lg0.30.1， lg0.20.1
解：（1）考查函数y＝lg2x
∵2＞1， ∴函数y＝lg2x在（0，+∞）上是增函数
又0.7＜1， ∴lg20.7＜lg21＝0
再考查函数y＝lgx
∵0＜ eq \f(1,3) ＜1 ∴函数y＝lgx在（0，+∞）上是减函数
又1＞0.8， ∴lg0.8＞lg1＝0
∴lg20.7＜0＜lg0.8 ∴lg20.7＜lg0.8
（2）lg0.30.7＜lg0.40.3
（3）lg3.40.7＜lg0.60.8＜（ eq \f(1,3) ）
（4）lg0.30.1＞lg0.20.1
要求：学生板演，老师讲评
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的思想方法.
对数函数（三）
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节课后，我要求大家预习函数单调性，奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾.
1.判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设——作差——变形——判断
说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.
2.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
①考查函数定义域是否关于原点对称；②比较f(－x)与f(x)或者－f(x)的关系；③根据函数奇偶性定义得出结论.
说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意.
［师］接下来，我们一起来看例题
Ⅱ.讲授新课
［例1］判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x) (2)f(x)＝ln( eq \r(1+x2) －x)
分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行.
解：（1）由 eq \f(1－x,1＋x) ＞0可得－1＜x＜1
所以函数的定义域为：（－1，1）关于原点对称
又f(－x)＝lg eq \f(1＋x,1－x) ＝lg（ eq \f(1－x,1＋x) ）－1＝－lg eq \f(1－x,1＋x) ＝－f(x)
即f(－x)＝－f(x)
所以函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x) 是奇函数
评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质，说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
解：（2）由 eq \r(1+x2) －x＞0可得x∈R
所以函数的定义域为R关于原点对称
又f(－x)＝ln( eq \r(1+x2) ＋x)＝ln eq \f(( eq \r(1+x2) +x) ( eq \r(1+x2) －x), eq \r(1+x2) －x)
＝ln eq \f(1, eq \r(1+x2) －x) ＝－ln( eq \r(1+x2) －x)＝－f(x)
即f(－x)＝－f(x)
所以函数f(x)＝ln( eq \r(1+x2) －x)是奇函数
评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握.
[例2]（1）证明函数f(x)＝lg2(x2＋1)在（0，+∞）上是增函数
（2）问：函数f(x)＝lg2(x2＋1)在（－∞，0）上是减函数还是增函数？
分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.
（1）证明：设x1,x2∈(0,+∞)，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝lg2(x12+1)－lg2(x22+1)
∵0＜x1＜x2 ∴x12+1＜x22+1
又∵y＝lg2x在（0，+∞）上是增函数.
∴lg2(x12+1）＜lg2(x22+1) 即f(x1)＜f(x2)
∴函数f(x)＝lg2(x2+1)在（0，+∞）上是增函数.
（2）是减函数，证明可以仿照上述证明过程.
评述：此题可引导学生总结函数f(x)＝lg2(x2+1)的增减性与函数y＝x2+1的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论.
[例3]求函数y＝lg（x2－2x－3）的单调区间.
解：定义域x2－2x－3＞0 解得x＞3或x＜－1
单调减区间是（3，＋∞）
[例4] 已知y＝lga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1 ∴函数t＝2－ax是减函数
由y＝lga(2－ax)在[0，1]上x的减函数，知y＝lgat是增函数，∴a＞1
由x＝1时，2－ax＝2－a＞0，得a＜2
∴1＜a＜2
Ⅲ.课堂练习
（1）证明函数y＝lg (x2+1)在（0，+∞）上是减函数；
（2）判断函数y＝lg (x2+1)在（－∞,0）上的增减性.
证明：（1）设0＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝lg (x12+1)－lg (x22+1)＝lg eq \f(x12＋1,x22＋1)
∵0＜x1＜x2，∴0＜x12＜x22， ∴ eq \f(x12＋1,x22＋1) ＜ eq \f(x12＋1,x12＋1)
而lgx是减函数 ∴lg eq \f(x12＋1,x22＋1) ＞lg eq \f(x12＋1,x12＋1) ＝lg1＝0
∴f(x1)－f(x2)＞0 即f(x1)＞f(x2)
∴函数y＝ lg (x2+1)在（0，+∞）上是减函数
（2）设x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)＝ lg (x12+1)－lg (x22+1)
∵x1＜x2＜0，∴x12＞x22＞0
而函数y＝ lgx在（0，+∞）上是减函数.
∴lg (x12+1）＜lg (x22+1) 即f(x1)＜f(x2)
∴y＝ lg (x2+1)在（－∞，0）上是增函数.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性，奇偶性的通法，提高数学应用的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P70 4，5，8
（二）补充
1.求y＝lg0.3(x2－2x)的单调递减区间.
解：先求定义域：由x2－2x＞0,得x(x－2)＞0
∴x＜0或x＞2 ∵函数y＝lg0.3t是减函数
故所求单调减区间即t＝x2－2x在定义域内的增区间.
又t＝x2－2x的对称轴为x＝1
∴所求单调递减区间为（2，+∞）
2.求函数y＝lg2(x2－4x)的单调递增区间
解：先求定义域：由x2－4x＞0得x(x－4)＞0
∴x＜0或x＞4 又函数y＝lg2t是增函数
故所求单调递增区间为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间.
∵t＝x2－4x的对称轴为x＝2
∴所求单调递增区间为：（4，+∞）
3. 已知y＝lga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1 当a＞1时，函数t＝2－ax >0是减函数
由y＝lga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，知y＝lga t是增函数，
∴a＞1 由x∈［0，1］时，2－ax ≥2－a＞0，得a＜2, ∴1＜a＜2
当0