2024年广东省广州市中考数学三模冲刺训练试题（解析版）

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第一部分 选择题（共30 分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题 3 分，满分 30 分．）
1. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，
则数据55000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】数据55000用科学记数法表示为．
故选：B．
古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．
下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项，整式的乘除及公式法依次进行计算判断即可．
【详解】、与不是同类项，不可以合并，此选项计算错误，排除；
、，此选项计算错误，排除；
、，此选项计算正确；
、，此选项计算错误，排除；
故选：．
4．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
学校举行“书香校园”读书活动，
某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，
下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A. 众数为10B. 平均数为10C. 方差为2D. 中位数为9
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数，平均数，方差，中位数的定义分别判断，即可得到答案．
【详解】解：A、10出现2次，出现次数最多，故众数是10，该项正确；
B、 ，故该项错误；
C、方差为，故该项错误；
D、中位数为10，故该项错误；
故选：A．
6. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先把方程化为一般式，再利用判别式的意义得到Δ＝12−4（−k）＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：原方程可化为：
根据题意得Δ＝12−4（−k）＞0，
解得：．
故选：B．
7. 如图，中，是上一点，以O为圆心，长为半径作半圆与相切于点D．
若，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由切线的性质得到，由等腰三角形的性质，得到，由三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质得到，由三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：连接，

与相切于，
半径，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：B．
如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，
连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y＝图象上移动，
则k的值为（ ）
A. ﹣4B. 4C. ﹣2D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵点A是反比例函数（x＞0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC=x，AC=，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB=2OA，∴，∴OD=2AC=，BD=2OC=2x，∴B（﹣，2x），∵点B反比例函数图象上，∴k=﹣•2x=﹣4，故选A．
如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，，给出四个结论：
①②③④，
其中正确的结论有个（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
根据基本作图得到垂直平分，，再根据线段垂直平分线的性质得到，于是可对A选项进行判断；通过证明为的中位线得到，所以，则可计算出，则，于是可对B选项进行判断；计算出，而为直角三角形，则根据全等三角形的判定方法可对C选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用可对D选项进行判断．
【详解】解：由作法得垂直平分，，
∴，
∴①正确；
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，
∴，
∴，，
∵为直角三角形，
∴与不全等，
∴④错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴③正确．
故选：C．
高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．
例如，．已知函数，
若关于的方程有三个不同的实根，
则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了对高斯函数的理解，以及对方程的解和函数图象交点之间联系的理解，解题的关键在于利用数形结合的方式找出临界点．根据题意可得与有三个不同的交点，恒过点，画出函数图象，找出临界点，即可求出实数的取值范围．
【详解】解：关于的方程有三个不同的实根，
与有三个不同的交点，
有恒过点，
如下图：
当过点时，，
当过点时，，
当过点时，，
当过点时，，
关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或 ．
故选：D．
第二部分 非选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题3分， 满分 18 分．）
11.函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据二次根式的意义和分式的意义即可求出答案．
【详解】解：根据二次根式的意义可知：，即，
根据分式的意义可知：，即，
且．
故答案为：且．
12. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，
综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为 ___ 分．
【答案】90
【分析】根据加权平均公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解：该名教师的综合成绩为（分），
故答案为：90．
13. 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为____．
【答案】y=﹣x2+4x﹣3．
【解析】
【分析】抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，把点B（1，0）代入即可求出a=﹣1，再写出解析式即可．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1．
又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），
∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1．
∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1．
∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，
即y=﹣x2+4x﹣3．
故答案为：y=﹣x2+4x﹣3．
14. 若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
【答案】
【分析】根据图像可得购买3kg荔枝需要付的钱即为当x=3时，y所对应的值，即求出AB段的函数解析式，将x=3代入即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，
由图像可知：，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得，则图中线段扫过的阴影部分的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是扇形面积计算，旋转的性质，解直角三角形，掌握扇形面积公式是解题的关键．作于F，解直角三角形分别求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于F，
∵，
∴，
在中，，
∴， ，
由旋转的性质可知，，
∴图中线段扫过的阴影部分的面积=扇形的面积的面积的面积扇形的面积
扇形的面积扇形的面积
，
故答案为：．
如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，
且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为 ．

【答案】
【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴，，
∴，
在Rt△MHG中，，
故答案为：．
三、解答题（本大题共 9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为1，2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
【详解】解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是，
∴整数解为1，2．
18. 先化简，再求值：，其中
【答案】 ，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19.如图，已知，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】先求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
20. 某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：
．器乐，．舞蹈，．朗诵，．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，
学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：
本次调查的学生共有________人；扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是________，
并补全条形统计图；
(2)该校共有名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
(3)七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】(1)1200，，图见解析
(2)估计选择“唱歌”的学生约有人
(3)
【分析】（1）用选择“器乐”的人数除以其人数占比即可求出本次参与调查的学生人数；用乘以选择“唱歌”的人数占比即可求出D选项对应的扇形圆心角度数；求出选择“舞蹈”的人数，进而补全统计图即可；
（2）用乘以样本中选择“唱歌”的人数占比即可得到答案；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：本次调查的学生共有：（人），
∴扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是，
喜欢类项目的人数有：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（人），
答：估计选择“唱歌”的学生约有人；
（3）解：画树形图如下：
共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
21. 某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，
已知信号塔与斜坡的坡顶B在同一水平面上，
兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为，
然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为．
（参考数据：，，）

(1)求坡顶B到地面的距离；
(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到1米）．
【答案】(1)坡顶到地面的距离为米；
(2)联通信号发射塔的高度约为米．
【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，

斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，

由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
（米），
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
（米），
联通信号发射塔的高度约为米．
由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，
已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍．每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
【答案】（1）型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元
（2）购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元
【解析】
【分析】（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，依题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，依题意列出不等式和表示出利润，然后根据一次函数的性质求解即可．
本题考查了二元一次方程组、一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【小问1详解】
设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，
依题意得：，
解得，
答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元；
【小问2详解】
设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，
依题意得：，
，
随的增大而增大，
又，
，
当时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元，
此时（辆），
答：购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）试猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并加以证明；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
【答案】（1）见解析；（2）BF－AE＝EF，见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由切线的性质可得∠ODP＝90°，∠BOD＝90°，从而根据“内错角相等，两直线平行”即可证明DP∥AB；
（2）先证明△ADE≌△DBF，得到BF＝DE，AE＝DF，进而根据线段的运算得到“BF－AE＝EF”；
（3）由勾股定理运算得出AD，CE，CD的值，再根据PD∥AB得到∠PDA＝∠ACD，从而证明△PAD∽△PDC，根据相似比计算得出PD即可．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，∠ODP＝90°
∵∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD＝×180°＝90°，
∴∠ODP＝∠BOD，
∴PD∥AB
（2）BF－AE＝EF，
证明如下：
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°，
∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∴∠FBD＋∠BDF＝90°，
∴∠FBD＝∠ADE，
∵∠AOD＝∠BOD
∴AD＝BD
∴△ADE≌△DBF（AAS），
∴BF＝DE，AE＝DF
∴ BF－AE＝DE－DF，
即BF－AE＝EF
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2＝100，
在Rt△ADB中，AB2＝2AD2，
∴AD＝5，
在Rt△AEC中，AC2＝AE2＋CE2，
∴AE＝CE＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝4，
∴CD＝CE＋DE＝7，
∵PD∥AB，
∴∠PDA＝∠DAB，
∵∠ACD＝∠BCD＝∠DAB，
∴∠PDA＝∠ACD，
又∵∠P＝∠P，
∴△PAD∽△PDC，
∴＝＝＝＝，
∴PA＝PD＋6，
∴＝，
∴PD＝
24. 如图，在平面直角坐标中，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标；
（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P（3，5）；（3）点Q坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，1）或（2，4）
【分析】（1）将A、B、C三点代入，可求得抛物线的解析式；
（2）设P(m，﹣m2+m+4)，先求出AC的解析式，从而得出点E的坐标，进而得出PE的长，从而求得用m表示的△PCA的面积，最后根据二次函数的性质，求出最值；
（3）设设点Q的坐标为（2，m），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出AQ2、PQ2和AP2，存在3种情况，一种是∠QAP=90°，第二种是∠AQP=90°，第三种是∠QPA=90°时，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：（1）把A(6，0)，B(﹣2，0)，C(0，4)的坐标代入y＝ax2+bx+c，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）作PEOC交AC于E．
设P(m，﹣m2+m+4)．
设直线AC的解析式为y＝kx+d
将点A和点C的坐标代入，得
解得：
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
∴E(m，﹣m+4)，
∴PE＝﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)＝﹣m2+2m，
∴S△PAC＝×(﹣m2+2m)×6＝﹣m2+6m＝﹣(m﹣3)2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，△PAC的面积最大，
∴P(3，5)．
（3）∵A(6，0)，P(3，5)，抛物线y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x=2
∴可设点Q的坐标为（2，m）
∴AQ2=
PQ2=
AP2=
①当∠QAP=90°时，则AQ2＋AP2= PQ2
即＋34=
解得：m=
∴Q(2，)
②当∠AQP=90°时，则AQ2＋PQ2= AP2
即＋=34
解得：m1=1，m2=4
∴Q(2，1)或(2，4)
③当∠QPA=90°时，则AP2＋PQ2= AQ2
即34＋=
解得：m=
∴Q(2，)
综上所述，满足条件的点Q坐标为(2，)或(2，)或(2，1)或(2，4)．
25. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；

（2）如图2，当，且时，求的长；

如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，
当时，求出的值．

【答案】（1）15°；（2）；（3）
【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到；
（2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则；
（3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．
【详解】（1）∵矩形，
∴，
由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，
∴，
∴，
∴
（2）由题意可得，
，
∴
∴
∴，
∴
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）过点作于点．
∴
又∵
∴．
∴．
∵，即
∴，
又∵BM平分，，
∴NG=AN，
∴，
∴
整理得：．