沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训04期中解答题汇编(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训04期中解答题汇编(原卷版+解析)，共55页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
特训第一阶——基础特训练
一、解答题
1．（2020·上海市市北初级中学七年级期中）设甲数为m，乙数为n，
（1）用代数式表示：甲数的5倍加上甲、乙两数和的平方；
（2）当m＝2，n＝3时，求（1）代数式的值．
2．（2022·上海·七年级专题练习）已知多项式
（1）把这个多项式按x的降幕重新排列；
（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．
3．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积．
4．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，已知正方形的边长为2a．
（1）用含有a的代数式表示阴影部分的面积；
（2）当时，求阴影部分的面积．（保留）
5．（2022·上海·七年级专题练习）若一个多项式与的和是，求这个多项式．
6．（2021·上海·七年级期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B”求得的结果为9x2﹣2x+7，已知B＝x2+3x﹣2，求正确答案．
7．（2021·上海中学东校期末）已知：，，计算，并将结果按x的降幂排列．
8．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）已知：=，= 求：
(1)
(2)若，求．
9．（2022·上海·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．
10．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）已知，代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求a、b的值．
11．（2022·上海·七年级专题练习）若多项式的值与字母x无关，试求多项式的值．
12．（2022·上海·七年级阶段练习）先化简再求值：，其中x＝﹣1，y＝2
13．（2022·上海·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
14．（2022·上海·七年级专题练习）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．
(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）
(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．
15．（2022·上海·七年级专题练习）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
16．（2022·上海·七年级专题练习）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值．
17．（2022·上海·七年级单元测试）因式分解：
(1)．
(2)．
(3)
(4)．
18．（2019·上海同济大学实验学校八年级阶段练习）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
19．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
20．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
21．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
22．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）已知，，求代数式的值．
23．（2021·上海·七年级专题练习）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
24．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解．
25．（2022·上海·七年级专题练习）先化简，再求值：
(1)，其中x=3；
(2)，其中x=1，y=-2．
26．（2022·上海·七年级单元测试）要求：利用乘法公式计算
(1)
(2)
27．（2022·上海·七年级专题练习）已知(a+b)2＝17，(a﹣b)2＝13，求：
(1)a2+b2的值；
(2)ab的值．
28．（2018·上海浦东新区民办欣竹中学七年级阶段练习）计算：（1）；（2）
29．（2021·上海同济大学实验学校期末）求值：
(1)已知，求的值．
(2)已知，则的值？
30．（2022·上海·七年级专题练习）动手操作：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：_________；__________；
（2）请写出三个代数式、、之间的一个等量关系：_______；
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知，求的值．
31．（2021·上海市民办扬波中学期末）若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
（1）若满足，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，．长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）
32．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、．
（1）用a，b表示的面积，并化简；
（2）如果点M是线段的中点，联结、、，
①用a，b表示的面积，并化简；
②比较的面积和的面积的大小．
33．（2021·上海·七年级期中）甲商店9月份的销售额是m万元，由于十一黄金周的假日效应，预计10月份的销售额增加的百分数是x，各种原因导致11月份销售额与10月份相比减少的百分数是x．
(1)10月份的销售额是多少万元?
(2)11月份的销售额比9月份的销售额减少了多少万元?
34．（2022·上海·七年级专题练习）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an＝n2−32n＋247，1⩽n＜16，n为整数．
(1)例如，当n＝2时，a2＝22−32×2＋247＝187，则a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n层比第（n＋1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②再确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层，为什么？
35．（2018·上海市西南模范中学七年级阶段练习）观察下列各式：， …根据上述规律，计算：122223……262263的值及这个值的个位数字
36．（2022·上海·七年级专题练习）工厂接到订单，需要边长为（a＋3）和3的两种正方形卡纸．
(1)仓库只有边长为（a＋3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a＋3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）；
(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 ．（直接写出答案）
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．（2021·福建宁德·七年级期中）某原装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元，T恤每件定价40元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一件夹克送一件T恤；
②夹克和T恤都按定价的8折付款.
现某客户要到该服装厂购买夹克20件，T恤x件
(1)若该客户按方案①购买，需付款___________元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买，需付款___________元（用含x的式子表示）；
(2)若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？
2．（2022·浙江·浦江县实验中学七年级阶段练习）阅读材料，根据材料回答：
例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216．
例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125
=（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1．
(1)仿照上面材料的计算方法计算：．
(2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）；
(3)用（2）的规律计算：．
3．（2023·广东·丰顺县龙山中学八年级开学考试）已知有理数，，满足，试求的值．
4．（2020·河南·南阳市实验学校八年级阶段练习）若的积中不含项与项．
(1)求、的值；
(2)求代数式的值．
5．（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：______，______；（填“>”、“b．
(1)当a=9，b=2，AD=30时，请求：
①长方形ABCD的面积；
②的值；
(2)当AD=30时，请用含a，b的式子表示的值．
(3)若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而的值总保持不变，则a，b满足的关系是 ___________．
7．（2022·浙江·乐清市英华学校七年级期中）观察下列各式：
；；；
……
根据这一规律计算：
(1) ___，____；
(2)；
(3)．
8．（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期中）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可得到、、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2所示的大正方体是若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________．
利用上面所得的结论解答：
（1）已知xy，x+y=3，5xy=，求x-y的值；
（2）已知，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．
9．（2022·广东·普宁市普师高级中学七年级期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．
①
②
③
…
(1)由此我们可以得到： ．
(2)请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：
①
②若求x2020的值．
10．（2022·安徽·定远县第六中学七年级阶段练习）（1）①如图1，已知正方形的边长为，正方形的边长为，长方形和为阴影部分，则阴影部分的面积是______（写成平方差的形式）；
②将图1中的长方形和剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形的面积是______（写成多项式相乘的形式）；
（2）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式______．
（3）利用所得公式计算：
11．（2022·河北·石家庄外国语教育集团七年级期中）如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①，
②，
③，
④．
(1)请写出：
算式⑤______；
算式⑥______；
(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n-1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；
(3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
12．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）正方形中，点是边上一点（不与点，重合），以为边在正方形外作正方形，且，，三点在同一条直线上，设正方形和正方形的边长分别为和（）．
(1)求图1中阴影部分的面积（用含，的代数式表示）；
(2)当，时，求图1中阴影部分的面积的值；
(3)当，时，请直接写出图2中阴影部分的面积的值．
13．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学七年级期中）阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
14．（2021·湖南·永州市冷水滩区京华中学七年级期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系”，这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算如图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长为a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______(用a，b表示)．
(2)应用探索结果解决问题：
已知：两数x，y满足x+y=7，xy=6，求x-y的值．
(3)如图3，四个三角形都是全等三角形，用不同的代数式表示正方形的面积，由此得到的等式为______(用a，b，c表示)．
(4)请你用图1提供的若干块长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：．要求：在图4的框中画出图形，写出分解的因式．
15．（2021·浙江·浦江县月泉中学七年级期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
16．（2021·浙江·七年级期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图1可得到
（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；
（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；
（3）已知实数满足．求：
①的值；
②的值．
特训04 期中解答题汇编
基础特训练
特训第一阶——基础特训练
一、解答题
1．（2020·上海市市北初级中学七年级期中）设甲数为m，乙数为n，
（1）用代数式表示：甲数的5倍加上甲、乙两数和的平方；
（2）当m＝2，n＝3时，求（1）代数式的值．
【答案】（1）5m+（m+n）2；（2）35
【分析】（1）根据题意得出代数式解答即可；
（2）把m＝2，n＝3代入代数式解答即可．
【解析】解：（1）甲数的5倍加上甲、乙两数和的平方，用代数式表示为：5m+（m+n）2；
（2）把m＝2，n＝3代入5m+（m+n）2中，
原式＝5×2+（2+3）2＝35．
【点睛】本题考查列代数式，求代数式的值，掌握列代数式的规则与技巧，和代数式求值计算法则是解题关键．
2．（2022·上海·七年级专题练习）已知多项式
（1）把这个多项式按x的降幕重新排列；
（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．
【答案】（1）；（2）5，xy，
【分析】（1）按的降幂排列：即按照的指数由高到低进行排列即可得到答案；
（2）由多项式中的最高次项的次数是多项式的次数，结合二次项及常数项的概念可得答案．
【解析】解：（1）按x的降幂排列是：
（2）由最高次项为：，所以多项式的次数是5，
它的二次项是xy，常数项是.
【点睛】本题考查的是多项式的降幂排列，多项式的二次项，常数项，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积．
【答案】2a2．
【分析】直接利用两个正方形面积和减去空白三角形面积，进而可得出答案．
【解析】解：由题意可得，阴影部分面积：
＝
＝．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出各部分面积是解题关键．
4．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，已知正方形的边长为2a．
（1）用含有a的代数式表示阴影部分的面积；
（2）当时，求阴影部分的面积．（保留）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意得，半圆的半径为a，三角形的底边为2a，高为a，则阴影部分的面积=正方形的面积-半圆的面积-三角形的面积，即可得；
（2）当a=2时，代入（1）中含有a的代数式的阴影部分的面积中即可得．
【解析】解：（1）根据题意得，半圆的半径为a，三角形的底边为2a，高为a，
则阴影部分的面积为：；
（2）当a=2时，阴影部分的面积为： ．
【点睛】本题考查了代数式，不规则图形的面积，解题的关键是掌握正方形的面积，半圆的面积，三角形的面积．
5．（2022·上海·七年级专题练习）若一个多项式与的和是，求这个多项式．
【答案】x2﹣3xy+1
【分析】用和减去已知的多项式进行求解即可．
【解析】解：根据题意，这个多项式为：
＝
＝x2﹣3xy+1．
【点睛】本题考查整式加法的应用，已知两个多项式的和和其中一个多项式求另一个多项式，用它们的和减去已知的多项式即可求解．
6．（2021·上海·七年级期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B”求得的结果为9x2﹣2x+7，已知B＝x2+3x﹣2，求正确答案．
【答案】
【分析】由去括号，合并同类项，先求解 再求解即可．
【解析】解：由题意得：，B＝x2＋2x﹣3，
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键．
7．（2021·上海中学东校期末）已知：，，计算，并将结果按x的降幂排列．
【答案】
【分析】列出式子，去括号合并同类项，按x的指数从大到小排列即可．
【解析】解：∵，，
∴
．
【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法则．
8．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）已知：=，= 求：
(1)
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将A与B整体代入，根据整式的加减运算法则计算即可；
（2）将A与B整体代入，然后再仿照解方程的方法，将A、B看作常数进行计算即可．
（1）
解：
；
（2）
解：因为，
所以
.
【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．
9．（2022·上海·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，1
【分析】先去括号，再合并同类项，注意括号前面负号的作用．
【解析】
当，时，
原式
【点睛】本题考查整式的化简求值，其中涉及去括号，合并同类项等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）已知，代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求a、b的值．
【答案】
【分析】先合并同类项，再根据题意列式计算即可；
【解析】原式=，
∵代数式的值与字母x的取值无关，
∴，
解得，
所以；
【点睛】本题主要考查了整式加减运算中无关型问题，准确计算是解题的关键．
11．（2022·上海·七年级专题练习）若多项式的值与字母x无关，试求多项式的值．
【答案】
【分析】先根据题意，化简多项式，令的系数为0，求得的值，代入所求多项式化简后的结果进行计算即可求解．
【解析】解：
＝，
∵多项式的值与字母x无关，
∴2+b＝0，2﹣a＝0，
解得：b＝﹣2，a＝2，
＝
＝．
当b＝﹣2，a＝2时，
原式＝．
【点睛】本题考查了整式加减中无关类型，化简求值，求得的值是解题的关键．
12．（2022·上海·七年级阶段练习）先化简再求值：，其中x＝﹣1，y＝2
【答案】，304
【分析】直接利用整式的混合运算法则，运用单项式乘以多项式化简后，再把已知数据代入得出答案即可．
【解析】解：
，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝
＝
＝．
【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及到单项式乘以多项式运算法则、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．（2022·上海·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算单项式的乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可得；
（2）先计算单项式的乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可得．
（1）
解：原式=
（2）
原式=
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式以及单项式的乘方，解题的关键是掌握单项式乘方和单项式乘多项式的运算法则．
14．（2022·上海·七年级专题练习）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．
(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）
(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)超过，理由见解析
【分析】（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分长方形的面积；
（2）通过有理数的混合运算得结果与400进行比较．
（1）
空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．
空白部分长方形的面积：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600) m2．
（2）
超过．
∵2×22-70×2+600=468（m2），
∵468＞400，
∴空白部分长方形面积能超过400 m2．
【点睛】本题考查有代数式表示实际问题，掌握用代数式表示长方形的边长，读懂题意列出代数式是解决此题关键．
15．（2022·上海·七年级专题练习）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
【答案】3x3-12x2y+12xy2
【分析】根据被除式=商×除式，所求多项式是3x（x-2y），根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【解析】解：第一个多项式是：3x（x-2y）=3x2-6xy，
正确的结果应该是：（3x2-6xy）（x-2y）
=3x3-6x2y-6x2y+12xy2
=3x3-12x2y+12xy2．
【点睛】题考查了多项式乘多项式法则，根据被除式、除式、商三者之间的关系列出等式是解题的关键，熟练掌握运算法则也很重要．
16．（2022·上海·七年级专题练习）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值．
【答案】
【分析】根据幂的乘方的意义得到二元一次方程组，再进行计算即可．
【解析】解：∵2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，
∴
∴
整理得，
①+②得，
把代入①得，
∴
∴方程组的解为
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和解二元一次方程组，熟练掌握解题步骤是解答本题的关键．
17．（2022·上海·七年级单元测试）因式分解：
(1)．
(2)．
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解；
（2）利用平方差公式分解因式；
（3）前3项分成一组利用完全平方公式分解，然后再与第四项利用平方差公式分解因式；
（4）把1+x看作一个整体，利用提公因式法分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
；
（3）
解：
；
（4）
解：
．
【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
18．（2019·上海同济大学实验学校八年级阶段练习）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先提取公因式y，再用平方差公式分解；
（2）整理后用完全平方公式分解；
（3）用十字相乘法分解；
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
19．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】．
【分析】前三项利用十字相乘法分解，再设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)，展开后利用等式的性质求得a=-5z，b=2z，即可分解．
【解析】解：
，
设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)，
则(x-y+a) (x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab，
∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2，
解得：a=-5z，b=2z，
∴
．
【点睛】本题考查了因式分解－十字相乘法，多项式乘多项式，等式的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】运用平方差公式分解后再提取公因式．
【解析】解：原式
．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，，熟记分解方法是解题的关键，注意分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止．
21．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】三项式想到完全平方公式，观察各项发现，首末两项为完全平方式，而中间项恰好是两数积的二倍，变成两数差的完全平方，括号内两项符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用积的乘方的逆运用即可．
【解析】，
=，
=，
=．
【点睛】本题考查因式分解的内容，掌握因式分解的方法，能灵活运用因式分解的方法进行因式分解，掌握因式分解的顺序，会根据多项式的特点选择恰当的方法因式分解．
22．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）已知，，求代数式的值．
【答案】150
【分析】根据题意得出，将化简为，然后求出xy，即可得出答案．
【解析】解：∵，，
∴=25，
∴
，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
23．（2021·上海·七年级专题练习）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)3
(2)-4
【分析】（1）利用完全平方公式变形计算；
（2）利用立方差公式变形计算．
(1)
解：∵，
∴
=
=1+2
=3；
(2)
∵，
∴
=
=
=-4．
【点睛】此题考查了整式的计算，立方差公式及完全平方公式，正确掌握立方差公式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．
24．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解．
【答案】，．
【分析】先将x的值代入，解关于k的一元一次方程求出k的值，再综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解即可得．
【解析】当时，多项式的值为0，
即，
解得；
则原多项式为，
因式分解得：原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解，解一元一次方程，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．
25．（2022·上海·七年级专题练习）先化简，再求值：
(1)，其中x=3；
(2)，其中x=1，y=-2．
【答案】(1)，9；
(2)x-2y，5．
【分析】（1）先根据幂的乘方和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
（1）
解：
=，
当x=3时，
原式==9；
（2）
解：
=x-2y，
当x=1，y=-2时，
原式=1-2×（-2）=1+4=5．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
26．（2022·上海·七年级单元测试）要求：利用乘法公式计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值；
（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．
（1）
解：原式=（2022+1）×（2022-1）-20222
=20222-1-20222
=-1．
（2）
解：原式=（2x-y）2-9
=4x2-4xy+y2-9．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解本题的关键．
27．（2022·上海·七年级专题练习）已知(a+b)2＝17，(a﹣b)2＝13，求：
(1)a2+b2的值；
(2)ab的值．
【答案】(1)15
(2)1
【分析】（1）将两等式根据完全平方公式展开，等号两边分别相加消去ab项，即可求出a2+b2的值；
（2）将（1）中展开的等式两边分别相减，消去a2+b2，即可求出ab的值．
（1）
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17①，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13②，
∴①+②得：2（a2+b2）＝30，
解得：a2+b2＝15；
（2）
（1）问中①﹣②得：
4ab＝17-13，
解得ab＝1．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练运用完全平方公式是解本题的关键．
28．（2018·上海浦东新区民办欣竹中学七年级阶段练习）计算：（1）；（2）
【答案】（1）2018；（2）.
【分析】（1）将2018提出来，然后括号内用平方差公式变形，即可得出答案；
（2）根据幂的乘方的逆用以及同底数幂的乘法的逆用对原式进行化简求解即可.
【解析】解：（1）原式
；
（2）原式
.
【点睛】本题考查了幂的相关运算以及平方差公式的应用，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题关键.
29．（2021·上海同济大学实验学校期末）求值：
(1)已知，求的值．
(2)已知，则的值？
【答案】(1)－1
(2)125
【分析】（1）原式可化为，从而可表示为两个非负数的和为零，因此可分别求得a与b的值，从而可求得结果的值；
（2）由已知得，再代入所求整式中化简即可求得结果．
(1)
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
(2)
∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、整式的乘法，熟练掌握乘法公式并能正确进行整式的乘法运算是关键．
30．（2022·上海·七年级专题练习）动手操作：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：_________；__________；
（2）请写出三个代数式、、之间的一个等量关系：_______；
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知，求的值．
【答案】（1）（a+b）2-4ab，（a-b）2；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；问题解决：
【分析】（1）第一种方法为：大正方形面积-4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；
（2）可得等量关系为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
问题解决：利用（a+b）2-4ab=（a-b）2可求解．
【解析】解：（1）（a+b）2-4ab或（a-b）2；
（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2
问题解决：
（x-y）2=（x+y）2-4xy
∵x+y=7，xy=6．
∴（x-y）2=49-24=25．
∴x-y=．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．
31．（2021·上海市民办扬波中学期末）若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
（1）若满足，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，．长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）
【答案】（1）120；（2）2014；（3）2100
【分析】（1）根据举例进行解答即可；
（2）设（2015-x）=c，（2013-x）=d，则（2015-x）2+（2013-x）2=c2+d2=4032，c-d=（2015-x）-（2013-x）=2，所以2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4032-22=4028，可得cd=2014，即可解答；
（3）根据正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，所以DE=（x-10），DG=x-20，得到（x-10）（x-20）=500，设（x-10）=a，（x-20）=b，从而得到ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，根据举例求出a2+b2，即可求出阴影部分的面积．
【解析】解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，
则（30-x）（x-20）=mn=-10，m+n=（30-x）+（x-20）=10，
∴（30-x）2+（x-20）2=m2+n2=（m+n）2-2mn=（-10）2-2×（-10）=120；
（2）设（2015-x）=c，（2013-x）=d，
则（2015-x）2+（2013-x）2=c2+d2=4032，c-d=（2015-x）-（2013-x）=2，
2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4032-22=4028，
∴cd=2014，
∴（2015-x）（2013-x）=cd=2014．
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，
∴DE=（x-10），DG=x-20，
∴（x-10）（x-20）=500，
设（x-10）=a，（x-20）=b，
∴ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=102+2×500=1100，
∴阴影部分的面积为：a2+b2+2ab=1100+2×500=2100．
【点睛】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式，进行转化运用．
32．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、．
（1）用a，b表示的面积，并化简；
（2）如果点M是线段的中点，联结、、，
①用a，b表示的面积，并化简；
②比较的面积和的面积的大小．
【答案】（1）；（2）①，②．
【分析】（1）延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出和即可．
（2）①同理延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出、和即可．
②用即可得到完全平方式，即可知，从而判断的面积大于的面积．
【解析】（1）延长DC和EF交于点N，如图，
∴，
∵，．
∴．
（2）①如图，同样延长DC和EF交于点N．
∴．
根据题意可知NF=a-b．
∵M为AE中点，AE=a+b，
∴，
∴，
即，
整理得：．
②，即，
∵，
∴，即．
故的面积大于的面积．
．
【点睛】本题考查正方形的性质，整式的混合运算以及完全平方式的运用．作出辅助线是解决本题的关键．
33．（2021·上海·七年级期中）甲商店9月份的销售额是m万元，由于十一黄金周的假日效应，预计10月份的销售额增加的百分数是x，各种原因导致11月份销售额与10月份相比减少的百分数是x．
(1)10月份的销售额是多少万元?
(2)11月份的销售额比9月份的销售额减少了多少万元?
【答案】（1）万元；（2）减少了万元．
【分析】（1）根据“10月份的销售额9月份的销售额（1增加的百分数）”即可得；
（2）先根据“11月份的销售额10月份的销售额（1减少的百分数）”求出11月份的销售额，再利用9月份的销售额减去11月份的销售额即可得．
【解析】（1）由题意得：10月份的销售额为万元；
（2）11月份的销售额为万元，
则，
，
，
（万元），
答：11月份的销售额比9月份的销售额减少了万元．
【点睛】本题考查了列代数式、整式的乘法与加减法的应用，依据题意，正确列出代数式是解题关键．
34．（2022·上海·七年级专题练习）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an＝n2−32n＋247，1⩽n＜16，n为整数．
(1)例如，当n＝2时，a2＝22−32×2＋247＝187，则a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n层比第（n＋1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②再确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层，为什么？
【答案】(1)112，91；
(2)（31－2n）个
(3)①46.75N；②5层，理由见解析
【分析】（1）把n＝5，n＝6分别代入n2−32n＋247中进行计算；
（2）分别表示出n＋1和n时的代数式，然后进行减法计算；
（3）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．
（1）
解：当n＝5时，a5＝52−32×5＋247＝112，
当n＝6时，a6＝62−32×6＋247＝91；
（2）
解：由题意可得，
答：第n层比第（n＋1）层多堆放（31－2n）个仪器箱．
（3）
解：①由题意得，
＝＝46.75（牛）
答：第1层中每个仪器箱承受的平均压力是46.75牛．
②该仪器箱最多可以堆放5层，理由如下．
当n＝1时，a1＝216，
当n＝2时，a2＝187，
当n＝3时，a3＝160，
当n＝4时，a4＝135，
当n＝5时，a5＝112，
当n＝6时，a6＝91，
当n＝5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
＝148.5＜160（牛）
当n＝6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
＝171.25＞160（牛）
所以，该仪器箱最多可以堆放5层．
【点睛】本题考查了图形变化规律探究问题，要能够根据所给的公式进行分析计算，同时体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考是解答此题的重要思想．
35．（2018·上海市西南模范中学七年级阶段练习）观察下列各式：， …根据上述规律，计算：122223……262263的值及这个值的个位数字
【答案】 ， 5.
【分析】根据题中的式子找到规律，再代入x=2，n=64即可求解，根据21=2，22=4,23=8,24=16,25=32…得到个位数上的循环即可求出.
【解析】根据题中的式子找到规律
∴(122223……262263)(2-1)=
即122223……262263=
∵21=2，22=4,23=8,24=16,25=32…个位数学分别为2,4,6,8，且4个为一循环，
64÷4=16，
∴的个位数字为6，
故个位上数字为5.
【点睛】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.
36．（2022·上海·七年级专题练习）工厂接到订单，需要边长为（a＋3）和3的两种正方形卡纸．
(1)仓库只有边长为（a＋3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a＋3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）；
(2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 ．（直接写出答案）
【答案】(1)①；②a和a＋6
(2)12
【分析】（1）①根据面积差可得结论；
②根据图形可以直接得结论；
（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．
（1）
解：① 根据题意，得：
答：裁剪正方形后剩余部分的面积为；
②拼成的长方形的宽是：a＋3－3＝a，长为a＋6，
答：拼成的长方形的边长分别为a和a＋6；
（2）
解：设盒子底部长方形的长BC＝x＋4，则宽AB＝x，
则，
，
所以．
故答案为12．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．（2021·福建宁德·七年级期中）某原装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元，T恤每件定价40元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一件夹克送一件T恤；
②夹克和T恤都按定价的8折付款.
现某客户要到该服装厂购买夹克20件，T恤x件
(1)若该客户按方案①购买，需付款___________元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买，需付款___________元（用含x的式子表示）；
(2)若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据两种优惠方案，即可找出按方案①购买及按方案②购买所需钱数；
（2）将代入（1）结果中，求出按方案①购买及按方案②购买所需钱数，比较后即可得出结论．
（1）
解：该客户按方案①购买，需付款200×20+40（x−20）=（40x+3200）元；
该客户按方案②购买，需付款0.8×（200×20+40x）=（32x+3200）元．
故答案为：；．
（2）
解：当x=40时，
元，
元，
∵4480＜4800，
∴按方案②购买较为合算．
【点睛】本题考查了列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据两种优惠方案，列出代数式；（2）代入x=40求出代数式的值．
2．（2022·浙江·浦江县实验中学七年级阶段练习）阅读材料，根据材料回答：
例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216．
例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125
=（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1．
(1)仿照上面材料的计算方法计算：．
(2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）；
(3)用（2）的规律计算：．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）模仿材料，把原式整理成，即可得出答案．
（2）根据第一问的计算可知指数相同的幂相乘时，可先将底数相乘，指数不变．
（3）根据第二问的结论计算即可．
（1）
解：
=1；
（2）
解：原式=，
故答案为：；
（3）
解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算．
3．（2023·广东·丰顺县龙山中学八年级开学考试）已知有理数，，满足，试求的值．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求出a，b，c的值，然后代入计算即可．
【解析】解：由题得：，
解得：，
所以
．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程，积的乘方法则的逆用等知识，利用代入法或加减法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题的关键．
4．（2020·河南·南阳市实验学校八年级阶段练习）若的积中不含项与项．
(1)求、的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)首先去括号，合并同类项，再根据积中不含项与项，可得关于p、q的二元一次方程组，解方程组即可求得；
(2)把及p、q的值分别代入代数式，计算即可求得．
（1）
解：

的积中不含项与项，

解得，；
（2）
解：，，，


．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值问题，解题的关键是正确求出p，q的值．
5．（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：______，______；（填“>”、“，