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2024年湖南省湘西土家族苗族自治州吉首市中考模拟数学试题
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这是一份2024年湖南省湘西土家族苗族自治州吉首市中考模拟数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校：________ 考号：________ 姓名：________
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．2024的绝对值是（ ）
A．-2024 B．2024 C． D．
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，一天的时间为86400秒，
将86400用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于一次函，下列说法不正确的是（ ）
A．图象不经过第三象 B．y随着x的增大而减小
C．图象与x轴交于（-1，0） D．图象与y轴交于（0，4）
6．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若，则的度数为（ ）
A．45° B．20 C．30° D．15°
7．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
8．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x个人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．调查全班同学的身高，应采用全面调查的方式
B．数据5，7，6，3，4的中位数是6
C．成语“水中捞月”描述的是必然事件
D．甲、乙同学10次数学考试平均成绩相等，方差分别为，，则乙的成绩比甲的稳定
10．如图是二次函数图象一部分，与x轴一交点为A（3，0），下列结论正确有（ ）
①；②；③；
④；⑤当时，不等式．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．因式分解：________．
12．在函数中，自变量x的取值范围是________．
13．已知点M（-2，1）关于x轴对称的点位于第________象限．
14．如图，在中，CD是直径，弦，垂足为E，若，，则的半径为________cm．
15．数学兴趣小组的同学们想测量一棵树的高度，他们用直角曲尺（即图中的ABC）仰立放置，测得A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，AP与BC相交于点D．测得，，，则树高________．
16．某电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（）成反比例，如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间关系的图象，则用R表示I的函数解析式为________．
17．如图，直线和直线相交于P（2，a），则关于x的不等式的解集为_________．
18．如图，正方形ABCD的边长为m，点E、F分别在BC、CD上，且，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为________．
三、解答题（本大题8道小题，共66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）如图，中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得，连接CF．
求证：（1）；
（2）四边形DBCF是平行四边形
22．（8分）为传承中华优秀传统文化，增强学生的民族自信心和自豪感，培养爱国、爱党、爱家乡的人文情怀，某校开设了五门兴趣活动课．按照类别分为：A“苗鼓”、B“苗画”、C“蜡染”、D“摆手舞”、E“苗绣”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的________，________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）“花好月圆·情满鼓乡”群众文化活动在吉首举行，学校决定从A组的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两人参加，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
23．（9分）矮寨大桥，彻底打破了湘西交通的瓶颈，不仅创造了世界桥梁史上奇迹，更是见证着湘西发展历程，全域旅游在这里兴起，在山路十八弯的上空，成为湘西人民脱贫奔小康一个厚重的时代标高。为测量地面与大桥一侧塔顶的距离，无人机在空中A处测得大桥塔顶顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与桥面的水平距离AD约为210m，则大桥的高度BC约为多少米？（结果保留整数，参考数据：，）
24．（9分）四月初，台湾遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，引起了某地区7.3级地震，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共8000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵20元，用900元购买甲种物品的件数恰好与用800元购买乙种物品的件数相同．
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元；
（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这8000件物品，需筹集资金多少元？
25．（10分）如图CD是直径，A是上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且．
（1）求证：直线AB是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，作的平分线AP交于P，交CD于E，连接PC、PD，若，求的值．
26．（10分）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年湖南省中考模拟试卷（数学）
参考答案
1-5 BACBC 6-10 DCAAA
11、
12、
13、（-2，-1）
14、2
15、6m
16、
17、
18、
19．
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
20．，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
21．（1）见解析
（2）见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：点D、E分别为AB、AC的中点，
，，
，
在与中，，
；
（2）证明：由（1）证得，
，
，
，
四边形DBCF是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22、（1）120；12；36
（2）
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
恰好抽中甲、乙两人的概率。
23、在中，，，
（米）
在中，，，
（米）
（米）
答：大桥的高度BC约为485米．
24、（1）设每件乙种物品价格是x元，则每件甲种物品价格是元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解。
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是180元、160元；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件；
由题意得
解得
即甲种物品件数2000件，乙种物品件数6000件；
需筹集资金为（元）
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这8000件物品，需筹集资金1320000元。
25（1）见解析
（2）
（3）
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；
（2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；
（3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，连接OA，
是直径，
，
，
又，
，
，
，
，即，
，
又OA为半径，
直线AB是的切线；
（2）解：，，
，
，
由知，令半径，则，，
在中，，
在中，，
即；
（3）解：在（2）的条件下，，
，
，
在中，，，
解得，，
平分，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
26．（1）抛物线的解析式为：；
（2）的最大值是；
（3）存在，D的坐标为或或．
【分析】（1）根据一次函数得到，，代入，即可得到函数解析式；
（2）令，解方程得到，，求得，过D作轴于M，过B作轴交于AC于N，根据相似三角形的判定和性质结合图形可得：与分别以DE、BE为底，高相同，得出，代入求解即可；
（3）根据BC为边和BC为对角线分三种情况进行讨论：①若四边形为平行四边形BCDF；②若四边形为平行四边形BCFD；③若四边形为平行四边形BDCF；由平行四边形的性质及坐标点之间的特点，即可得到点D的坐标．
【详解】（1）解：令，得，
令，得，
，，
抛物线经过A、C两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图所示，过D作轴交AC于M，过B作轴交AC于N，
，
，
，
与分别以DE、BE为底，高相同，
，
令，
解得：，，
，
设，
，
，
，
；
当时，的最大值是；
（3）解：，
对称轴为直线，
设，，
①若四边形为平行四边形BCDF，
则，
，
解得：，，
D的坐标为；
②若四边形为平行四边形BCFD，
则，
，
解得：，，
D的坐标为；
③若四边形为平行四边形BDCF，
则，
，
解得：，，
D的坐标为；
综上，D的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想，解题的关键是以BC为边或对角线进行分类讨论．
学校：________ 考号：________ 姓名：________
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．2024的绝对值是（ ）
A．-2024 B．2024 C． D．
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，一天的时间为86400秒，
将86400用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于一次函，下列说法不正确的是（ ）
A．图象不经过第三象 B．y随着x的增大而减小
C．图象与x轴交于（-1，0） D．图象与y轴交于（0，4）
6．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若，则的度数为（ ）
A．45° B．20 C．30° D．15°
7．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
8．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x个人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．调查全班同学的身高，应采用全面调查的方式
B．数据5，7，6，3，4的中位数是6
C．成语“水中捞月”描述的是必然事件
D．甲、乙同学10次数学考试平均成绩相等，方差分别为，，则乙的成绩比甲的稳定
10．如图是二次函数图象一部分，与x轴一交点为A（3，0），下列结论正确有（ ）
①；②；③；
④；⑤当时，不等式．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．因式分解：________．
12．在函数中，自变量x的取值范围是________．
13．已知点M（-2，1）关于x轴对称的点位于第________象限．
14．如图，在中，CD是直径，弦，垂足为E，若，，则的半径为________cm．
15．数学兴趣小组的同学们想测量一棵树的高度，他们用直角曲尺（即图中的ABC）仰立放置，测得A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，AP与BC相交于点D．测得，，，则树高________．
16．某电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（）成反比例，如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间关系的图象，则用R表示I的函数解析式为________．
17．如图，直线和直线相交于P（2，a），则关于x的不等式的解集为_________．
18．如图，正方形ABCD的边长为m，点E、F分别在BC、CD上，且，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为________．
三、解答题（本大题8道小题，共66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）如图，中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得，连接CF．
求证：（1）；
（2）四边形DBCF是平行四边形
22．（8分）为传承中华优秀传统文化，增强学生的民族自信心和自豪感，培养爱国、爱党、爱家乡的人文情怀，某校开设了五门兴趣活动课．按照类别分为：A“苗鼓”、B“苗画”、C“蜡染”、D“摆手舞”、E“苗绣”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的________，________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）“花好月圆·情满鼓乡”群众文化活动在吉首举行，学校决定从A组的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两人参加，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
23．（9分）矮寨大桥，彻底打破了湘西交通的瓶颈，不仅创造了世界桥梁史上奇迹，更是见证着湘西发展历程，全域旅游在这里兴起，在山路十八弯的上空，成为湘西人民脱贫奔小康一个厚重的时代标高。为测量地面与大桥一侧塔顶的距离，无人机在空中A处测得大桥塔顶顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与桥面的水平距离AD约为210m，则大桥的高度BC约为多少米？（结果保留整数，参考数据：，）
24．（9分）四月初，台湾遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，引起了某地区7.3级地震，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共8000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵20元，用900元购买甲种物品的件数恰好与用800元购买乙种物品的件数相同．
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元；
（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这8000件物品，需筹集资金多少元？
25．（10分）如图CD是直径，A是上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且．
（1）求证：直线AB是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，作的平分线AP交于P，交CD于E，连接PC、PD，若，求的值．
26．（10分）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年湖南省中考模拟试卷（数学）
参考答案
1-5 BACBC 6-10 DCAAA
11、
12、
13、（-2，-1）
14、2
15、6m
16、
17、
18、
19．
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
20．，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
21．（1）见解析
（2）见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：点D、E分别为AB、AC的中点，
，，
，
在与中，，
；
（2）证明：由（1）证得，
，
，
，
四边形DBCF是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22、（1）120；12；36
（2）
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
恰好抽中甲、乙两人的概率。
23、在中，，，
（米）
在中，，，
（米）
（米）
答：大桥的高度BC约为485米．
24、（1）设每件乙种物品价格是x元，则每件甲种物品价格是元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解。
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是180元、160元；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件；
由题意得
解得
即甲种物品件数2000件，乙种物品件数6000件；
需筹集资金为（元）
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这8000件物品，需筹集资金1320000元。
25（1）见解析
（2）
（3）
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；
（2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；
（3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，连接OA，
是直径，
，
，
又，
，
，
，
，即，
，
又OA为半径，
直线AB是的切线；
（2）解：，，
，
，
由知，令半径，则，，
在中，，
在中，，
即；
（3）解：在（2）的条件下，，
，
，
在中，，，
解得，，
平分，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
26．（1）抛物线的解析式为：；
（2）的最大值是；
（3）存在，D的坐标为或或．
【分析】（1）根据一次函数得到，，代入，即可得到函数解析式；
（2）令，解方程得到，，求得，过D作轴于M，过B作轴交于AC于N，根据相似三角形的判定和性质结合图形可得：与分别以DE、BE为底，高相同，得出，代入求解即可；
（3）根据BC为边和BC为对角线分三种情况进行讨论：①若四边形为平行四边形BCDF；②若四边形为平行四边形BCFD；③若四边形为平行四边形BDCF；由平行四边形的性质及坐标点之间的特点，即可得到点D的坐标．
【详解】（1）解：令，得，
令，得，
，，
抛物线经过A、C两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图所示，过D作轴交AC于M，过B作轴交AC于N，
，
，
，
与分别以DE、BE为底，高相同，
，
令，
解得：，，
，
设，
，
，
，
；
当时，的最大值是；
（3）解：，
对称轴为直线，
设，，
①若四边形为平行四边形BCDF，
则，
，
解得：，，
D的坐标为；
②若四边形为平行四边形BCFD，
则，
，
解得：，，
D的坐标为；
③若四边形为平行四边形BDCF，
则，
，
解得：，，
D的坐标为；
综上，D的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想，解题的关键是以BC为边或对角线进行分类讨论．
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