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人教版第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线精练
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这是一份人教版第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线精练，共34页。试卷主要包含了垂线，相交线中的角等内容，欢迎下载使用。
知识点一 垂线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
【注意事项】线段与线段及射线与射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
知识点二 相交线中的角
第一种 邻补角与对顶角
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对。
【速记同位角、内错角与同旁内角】
【题型一】对顶角的判断
【典题1】（2023春·河南南阳·七年级期末）如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【典题2】（2023秋·重庆铜梁·七年级校考期中）如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
巩固练习
1（★）（2023春·河南周口·七年级期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠2和∠4D．∠2和∠5
2．（★）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，其中∠AOC的对顶角是( )
A．∠AODB．∠BODC．∠BOCD．∠AOD和∠BOC
3．（★）（2023秋·福建福州·七年级期中）如图，下列工具的图片中，有对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【题型二】理解对顶角的性质
【典题1】 （2023秋·福建·七年级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
【典题2】（2023秋·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
巩固练习
1．（★）（2023春·浙江·七年级期末）如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
A．210°B．180°C．150°D．120°
2．（★）（2023秋·广东揭阳·七年级校联考期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
3．（★★）（2023春·河北邢台·七年级校考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．
【题型三】邻补角的判断
【典题1】（2023秋·北京朝阳·七年级期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是( )
A．B．C．D．
【典题2】（2023秋·江西吉安·七年级期中）如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（ ）
A．6对，2对B．4对，2对C．8对，4对D．4对，4对
巩固练习
1．（★）（2023秋·山东德州·七年级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则的邻补角是（ ）
A．B．
C．和D．和
2．（★）（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AONB．∠AOCC．∠NOCD．∠MOB
【题型四】利用邻补角互补求角的度数
【典题1】（2023秋·广东肇庆·七年级德庆县德城中学校考期中）如图，，则的度数为（ ）
A．B．
C．D．
【典题2】（2023春·山东济南·七年级期末）如图，，直线EF经过点C，若，则的大小为（ ）
A．56°B．66°C．54°D．46°
巩固练习
1（★）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，小明手持手电筒照向地面，手电筒发出的光线CO与地面AB形成了两个角，∠BOC＝8∠AOC，则∠BOC的度数是（ ）
A．160°B．150°C．120°D．20°
2．（★）（2023秋·广东韶关·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，
(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；
(2)若，且=2：3，求的度数.
3．（★）（2023秋·甘肃天水·七年级期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数．
4．（★★）（2023春·广东阳江·七年级期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠COB，OF是∠EOD的角平分线．
(1)证明：∠AOD＝2∠COE；
(2)若∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；
(3)若∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．
【题型五】理解垂线的概念
【典题1】（2023秋·河北衡水·七年级校考期末）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【典题2】（2023春·四川宜宾·七年级期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，于点O，图中∠1与∠2的关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
巩固练习
1．（★）（2023春·四川内江·七年级期末）两条直线相交构成四个角，给出下列条件：①有一个角是直角；②有一对对顶角互补；③有三个角都相等；④有一组邻补角相等．其中能判定这两条直线互相垂直的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．（★）（2023秋·广东揭阳·七年级校考期末）已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求∠AOC与∠EOD的度数．
3．（★★★）（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，点О在直线AB上，与互补，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的值；
(3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）．
【题型六】理解点到直线的距离
【典题1】（2023秋·贵州遵义·七年级校考期中）如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段的长是点到直线的距离B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离D．线段的长是点到直线的距离
【典题2】（2023秋·安徽合肥·七年级期末）如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指（ ）
A．线段的长度B．线段的长度C．线段的长度D．线段的长度
巩固练习
1（★）（2023秋·安徽宿州·七年级期中）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cmB．4 cmC．5 cmD．不超过2 cm
2．（★）（2023秋·广西南宁·七年级三美学校校考期中）按下列语句要求画图：
(1)过B点画AC的垂线段；
(2)过A点画BC的垂线；
(3)画出表示点C到线段AB距离的线段．
3．（★★）（2023春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）已知A，B，C三点如图所示，
(1)画直线，线段，射线，过点C画的垂线段；
(2)若线段，，，，利用三角形面积公式可以得到C点到的距离是_________．
【题型七】同位角、内错角、同旁内角的判断
【典题1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市第十五中学校考期末）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠1和∠3是同位角B．∠1和∠5是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角
【典题2】（2023秋·甘肃陇南·七年级期末）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
巩固练习
1（★）（2023秋·山东聊城·七年级期中）如图，直线a，b，c被射线l和m所截，则下列关系正确的是（ ）
A．∠1与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠3与∠4是同位角D．∠2与∠3是内错角
2．（★）（2023秋·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
种类
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
（∠1与∠2）
1
2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
∠1=∠2
邻补角
（∠3与∠4）
4
3
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
5.1 相交线
知识点一 垂线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
【注意事项】线段与线段及射线与射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
知识点二 相交线中的角
第一种 邻补角与对顶角
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对。
【速记同位角、内错角与同旁内角】
【题型一】对顶角的判断
【典题1】（2023春·河南南阳·七年级期末）如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【详解】解：A．∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角；
B．∠1与∠2有公共顶点，并且两边互为反向延长线，是对顶角；
C．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
D．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角．
故选：B．
【典题2】（2023秋·重庆铜梁·七年级校考期中）如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:A
分析：对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可.
【详解】解：第一个图的两个角不满足角的两边互为反向延长线，
第二个图的两个角不满足有公共的顶点，
第三个图满足两个条件，是对顶角，
第四个图的两个角不满足角的两边互为反向延长线，
故选A.
巩固练习
1（★）（2023春·河南周口·七年级期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠2和∠4D．∠2和∠5
答案:A
分析：直接利用对顶角的定义得出答案．
【详解】观察图形可知互为对顶角的是：∠1和∠2，
故选A
2．（★）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，其中∠AOC的对顶角是( )
A．∠AODB．∠BODC．∠BOCD．∠AOD和∠BOC
答案:B
分析：结合图形，根据对顶角的定义选择即可．
【详解】直线AB与直线CD相交于点O，
由图可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，
故选B．
3．（★）（2023秋·福建福州·七年级期中）如图，下列工具的图片中，有对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：利用对顶角的定义解答即可．对顶角的定义：两条直线相交后没有公共边的一对角叫做对顶角．
【详解】根据对顶角的定义可知，选项B是对顶角，其它都不是，
故选：B．
【题型二】理解对顶角的性质
【典题1】 （2023秋·福建·七年级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
答案:A
分析：根据对顶角的性质，可得∠1的度数．
【详解】解：由对顶角相等，得
∠1=∠2，又∠1+∠2=80°，
∴∠1=40°．
故选：A．
【典题2】（2023秋·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
答案:D
分析：根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出．
【详解】解：由题可知，
，
．
故选：D．
巩固练习
1．（★）（2023春·浙江·七年级期末）如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
A．210°B．180°C．150°D．120°
答案:B
分析：如图，根据对顶角相等求出∠3＝∠4，再根据平角的定义解答．
【详解】解：如图，
∵∠4＝∠3，
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠2＋∠4＝180°．
故选：B．
2．（★）（2023秋·广东揭阳·七年级校联考期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
答案:D
分析：根据对顶角和邻补角的定义即可得到的度数，再根据角平分线即可得出的度数．
【详解】解：，，
，
，
又平分，
．
故选：D．
3．（★★）（2023春·河北邢台·七年级校考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．
答案:(1)35°；
(2)36°；
分析：（1）根据角平分线的定义和对顶角相等计算求值即可；
（2）由∠EOC+∠EOD=180°和∠EOC=∠EOD求得∠EOC，再结合（1）解答计算求值即可；
【详解】（1）解： ∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC，
∵∠EOC=70°，
∴∠AOC=×70°=35°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）解：∵∠EOC=∠EOD，∠EOC+∠EOD=180°，
∴∠EOD +∠EOD=180°，
∴∠EOD =180°，
∴∠EOD =108°，
∴∠EOC=×108°=72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=36°；
【题型三】邻补角的判断
【典题1】（2023秋·北京朝阳·七年级期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是( )
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．
【详解】解：A．与是对顶角，故选项不符合题意；
B．与是邻补角，故选项符合题意；
C．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意；
D．与是同旁内角，故选项不符合题意；
故选：B．
【典题2】（2023秋·江西吉安·七年级期中）如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（ ）
A．6对，2对B．4对，2对C．8对，4对D．4对，4对
答案:A
分析：根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解．
【详解】解：∵两条直线与相交于点O，是射线，
∴对顶角有：与，与，共2对，
邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对
故选:A
巩固练习
1．（★）（2023秋·山东德州·七年级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则的邻补角是（ ）
A．B．
C．和D．和
答案:D
分析：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可．
【详解】：解：根据邻补角的定义可知，∠COF的邻补角是∠DOF和∠EOC．
故选：D．
2．（★）（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AONB．∠AOCC．∠NOCD．∠MOB
答案:C
分析：相邻且互补的两个角互为邻补角
【详解】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角.
故选：C
【题型四】利用邻补角互补求角的度数
【典题1】（2023秋·广东肇庆·七年级德庆县德城中学校考期中）如图，，则的度数为（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
分析：根据与互补求解即可．
【详解】，
，
故选：B．
【典题2】（2023春·山东济南·七年级期末）如图，，直线EF经过点C，若，则的大小为（ ）
A．56°B．66°C．54°D．46°
答案:A
分析：根据，∠1，∠2，和∠ACB为180°，且∠ACB为90°，所以∠1和∠2互余，由∠1度数可求出∠2度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵由图可知，且，
∴，
∴，
故选：A．
巩固练习
1（★）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，小明手持手电筒照向地面，手电筒发出的光线CO与地面AB形成了两个角，∠BOC＝8∠AOC，则∠BOC的度数是（ ）
A．160°B．150°C．120°D．20°
答案:A
分析：利用补角的定义及与的关系可求解的度数，进而可求解的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A．
2．（★）（2023秋·广东韶关·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，
(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；
(2)若，且=2：3，求的度数.
答案:(1)∠BOD；∠AOE；（2）152°
分析：（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；
（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
【详解】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，
故答案为∠BOD，∠AOE；
（2）∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠BOE：∠EOD=2：3，
∴∠BOE= ×70°=28°，
∴∠AOE=180°-28°=152°．
∴∠AOE的度数为152°．
3．（★）（2023秋·甘肃天水·七年级期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数．
答案:∠3=50°，∠2=65°．
分析：根据平角为180度可得∠3=180°-∠1-∠FOC ，根据对顶角相等可得∠AOD的度数，然后再根据角平分线定义进行计算即可
【详解】解：∵∠AOB=180°，
∴∠1+∠3+∠COF=180°，
∵∠FOC=90°，∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-∠FOC=50°， ∠BOC=∠1+∠FOC=130°，
∴∠AOD=∠BOC=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
【点睛】本题主要考查了对顶角，邻补角性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
4．（★★）（2023春·广东阳江·七年级期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠COB，OF是∠EOD的角平分线．
(1)证明：∠AOD＝2∠COE；
(2)若∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；
(3)若∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．
答案:(1)见解析(2)57.5°(3)40°
分析：（1）利用角平分线、对顶角的性质，可得结论；
（2）根据∠AOC=50°，根据互补、角平分线的意义可求出答案；
（3）设未知数，利用角平分线的意义，分别表示∠DOF，∠EOB，∠COB，再根据平角的意义求出结果即可．
(1)解：∵OE平分∠COB，
∴∠COE=∠COB，
∵∠AOD=∠COB，
∴∠AOD=2∠COE；
(2)解：∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=180°-50°=130°，
∴∠EOC=∠BOC=65°，
∴∠DOE=180°-∠EOC=180°-65°=115°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠EOF=∠DOE=57.5°；
(3)解：设∠AOC=∠BOD=α，则∠DOF=α+15°，
∴∠EOF=∠DOF=α+15°，
∴∠EOB=∠EOF+∠BOF=α+30°，
∴∠COB=2∠EOB=2α+60°，
而∠COB+∠BOD=180°，即，3α+60°=180°，
解得，α=40°，
即，∠AOC=40°．
【题型五】理解垂线的概念
【典题1】（2023秋·河北衡水·七年级校考期末）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
答案:D
分析：在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故选：D．
【典题2】（2023春·四川宜宾·七年级期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，于点O，图中∠1与∠2的关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
答案:A
分析：利用对顶角相等可得∠1=∠3，因为∠2+∠3=90°，所以∠1+∠2=90°．
【详解】解：∵直线AB、CD相交于O点，
∴∠1=∠3，
又∵AB⊥OE，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：A．
巩固练习
1．（★）（2023春·四川内江·七年级期末）两条直线相交构成四个角，给出下列条件：①有一个角是直角；②有一对对顶角互补；③有三个角都相等；④有一组邻补角相等．其中能判定这两条直线互相垂直的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
答案:A
分析：①根据垂直定义得：AB⊥CD；②因为对顶角相等，且互补，则每个角为90°，则AB⊥CD；
③根据对顶角相等可以判定四个角相等，由周角360°可知，四个角都为90°，则AB⊥CD④因为邻补角的和为180°，又相等，所以每个角为90°，则AB⊥CD．
【详解】解：①如图，若∠AOC=90°，
∴AB⊥CD，
所以此选项能判定这两条直线垂直；
②如图，若∠AOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴AB⊥CD；
所以此选项能判定这两条直线垂直；
③如图，若∠AOC=∠COB=∠BOD，
∵∠AOD=∠COB，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD，
∵∠AOC+∠COB+∠BOD+∠AOD=360°，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°，
∴AB⊥CD；
所以此选项能判定这两条直线垂直；
④如图，若∠AOC=∠AOD，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
所以此选项能判定这两条直线垂直；
故能判定这两条直线垂直的有：①②③④；
故选：A．
2．（★）（2023秋·广东揭阳·七年级校考期末）已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求∠AOC与∠EOD的度数．
答案:∠AOC＝115°，∠EOD＝25°
分析：由OF⊥CD，得∠DOF =90°，根据条件可求出∠BOD的度数，即可得到∠AOC的度数；由OE⊥AB，得∠BOE =90°，可以推出∠EOF和∠EOD的度数．
【详解】解：∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°，
又∵∠BOF＝25°，
∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°，
∴∠AOC＝∠BOD＝115°，
又∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOF＝25°，
∴∠EOF＝∠BOE -∠BOF =65°，
∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．
3．（★★★）（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，点О在直线AB上，与互补，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的值；
(3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）．
答案:(1)(2)(3)
分析：（1）先证明再求解 从而可得答案；
（2）先证明再证明设 则 再列方程求解即可；
（3） 先证明 设 而 则 则 解方程求解 再利用角的和差关系可得答案.
（1）
解： 与互补，
，，
，
（2）
解： 与互补，
设
而
解得：
（3）
解： 与互补，
设 而 则
【题型六】理解点到直线的距离
【典题1】（2023秋·贵州遵义·七年级校考期中）如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段的长是点到直线的距离B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离D．线段的长是点到直线的距离
答案:C
分析：利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
【详解】解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确，不符合题意；
B、根据垂线段最短可知此选项正确，不符合题意；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误，符合题意；
D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【典题2】（2023秋·安徽合肥·七年级期末）如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指（ ）
A．线段的长度B．线段的长度C．线段的长度D．线段的长度
答案:D
分析：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可．
【详解】解：∵BD⊥CD于D，
∴点B到直线CD的距离是指线段BD的长度．
故选：D．
巩固练习
1（★）（2023秋·安徽宿州·七年级期中）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cmB．4 cmC．5 cmD．不超过2 cm
答案:D
分析：根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可．
【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，
所以三条线段的最短的是2 cm，
所以点P到直线l的距离不超过2 cm．
故选：D．
2．（★）（2023秋·广西南宁·七年级三美学校校考期中）按下列语句要求画图：
(1)过B点画AC的垂线段；
(2)过A点画BC的垂线；
(3)画出表示点C到线段AB距离的线段．
答案:(1)见解析(2)见解析(3)见解析
分析：利用垂线段、点到直线的距离的定义作图即可．
（1）解：连接AC外一点B与垂足E形成的线段，即为AC的垂线段，如图所示，BE为所求；
（2）解：作AF垂直于线段CB的延长线于点F，如图所示：AF为所求；
（3）解：作CM垂直于线段AB的延长线于点M，如图所示：CM为所求．
3．（★★）（2023春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）已知A，B，C三点如图所示，
(1)画直线，线段，射线，过点C画的垂线段；
(2)若线段，，，，利用三角形面积公式可以得到C点到的距离是_________．
答案:(1)作图见解析
(2)
分析：（1）过画直线 连接 以为端点画射线 再利用三角尺过作 垂足为 从而可得答案；
（2）先求解的面积为6，再利用 再解方程即可得到答案.
（1）
解：如图，
直线 线段射线 垂线段即为所求作的直线，线段，射线，垂线段.
（2）
解：
解得：
所以C点到的距离是
故答案为：
【题型七】同位角、内错角、同旁内角的判断
【典题1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市第十五中学校考期末）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠1和∠3是同位角B．∠1和∠5是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角
答案:B
分析：根据同位角、内错角、同旁内角的意义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截的两直线的同一侧的角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两条直线之内的两角叫做同旁内角，可得答案．
【详解】解：A、∠1和∠3是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1和∠5不存在直接联系，故此选项符合题意；
C、∠1和∠2是同旁内角，故此选项不符合题意；
D、∠1和∠6是内错角，故此选项不符合题意；
故选B．
【典题2】（2023秋·甘肃陇南·七年级期末）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
答案:C
【详解】分析：根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可．
详解：由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4．
故选C．
巩固练习
1（★）（2023秋·山东聊城·七年级期中）如图，直线a，b，c被射线l和m所截，则下列关系正确的是（ ）
A．∠1与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠3与∠4是同位角D．∠2与∠3是内错角
答案:C
分析：根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别分析即可．
【详解】解：A、∠1与∠2是邻补角，故原题说法错误；
B、∠1与∠3不是同旁内角，故原题说法错误；
C、∠3与∠4是同位角，故原题说法正确；
D、∠2与∠3不是内错角，故原题说法错误；
故选：C．
2．（★）（2023秋·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:C
分析：准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意；
（2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意；
（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；
（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．
故选：C．
种类
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
（∠1与∠2）
1
2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
∠1=∠2
邻补角
（∠3与∠4）
4
3
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
知识点一 垂线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
【注意事项】线段与线段及射线与射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
知识点二 相交线中的角
第一种 邻补角与对顶角
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对。
【速记同位角、内错角与同旁内角】
【题型一】对顶角的判断
【典题1】（2023春·河南南阳·七年级期末）如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【典题2】（2023秋·重庆铜梁·七年级校考期中）如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
巩固练习
1（★）（2023春·河南周口·七年级期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠2和∠4D．∠2和∠5
2．（★）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，其中∠AOC的对顶角是( )
A．∠AODB．∠BODC．∠BOCD．∠AOD和∠BOC
3．（★）（2023秋·福建福州·七年级期中）如图，下列工具的图片中，有对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【题型二】理解对顶角的性质
【典题1】 （2023秋·福建·七年级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
【典题2】（2023秋·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
巩固练习
1．（★）（2023春·浙江·七年级期末）如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
A．210°B．180°C．150°D．120°
2．（★）（2023秋·广东揭阳·七年级校联考期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
3．（★★）（2023春·河北邢台·七年级校考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．
【题型三】邻补角的判断
【典题1】（2023秋·北京朝阳·七年级期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是( )
A．B．C．D．
【典题2】（2023秋·江西吉安·七年级期中）如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（ ）
A．6对，2对B．4对，2对C．8对，4对D．4对，4对
巩固练习
1．（★）（2023秋·山东德州·七年级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则的邻补角是（ ）
A．B．
C．和D．和
2．（★）（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AONB．∠AOCC．∠NOCD．∠MOB
【题型四】利用邻补角互补求角的度数
【典题1】（2023秋·广东肇庆·七年级德庆县德城中学校考期中）如图，，则的度数为（ ）
A．B．
C．D．
【典题2】（2023春·山东济南·七年级期末）如图，，直线EF经过点C，若，则的大小为（ ）
A．56°B．66°C．54°D．46°
巩固练习
1（★）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，小明手持手电筒照向地面，手电筒发出的光线CO与地面AB形成了两个角，∠BOC＝8∠AOC，则∠BOC的度数是（ ）
A．160°B．150°C．120°D．20°
2．（★）（2023秋·广东韶关·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，
(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；
(2)若，且=2：3，求的度数.
3．（★）（2023秋·甘肃天水·七年级期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数．
4．（★★）（2023春·广东阳江·七年级期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠COB，OF是∠EOD的角平分线．
(1)证明：∠AOD＝2∠COE；
(2)若∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；
(3)若∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．
【题型五】理解垂线的概念
【典题1】（2023秋·河北衡水·七年级校考期末）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【典题2】（2023春·四川宜宾·七年级期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，于点O，图中∠1与∠2的关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
巩固练习
1．（★）（2023春·四川内江·七年级期末）两条直线相交构成四个角，给出下列条件：①有一个角是直角；②有一对对顶角互补；③有三个角都相等；④有一组邻补角相等．其中能判定这两条直线互相垂直的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．（★）（2023秋·广东揭阳·七年级校考期末）已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求∠AOC与∠EOD的度数．
3．（★★★）（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，点О在直线AB上，与互补，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的值；
(3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）．
【题型六】理解点到直线的距离
【典题1】（2023秋·贵州遵义·七年级校考期中）如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段的长是点到直线的距离B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离D．线段的长是点到直线的距离
【典题2】（2023秋·安徽合肥·七年级期末）如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指（ ）
A．线段的长度B．线段的长度C．线段的长度D．线段的长度
巩固练习
1（★）（2023秋·安徽宿州·七年级期中）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cmB．4 cmC．5 cmD．不超过2 cm
2．（★）（2023秋·广西南宁·七年级三美学校校考期中）按下列语句要求画图：
(1)过B点画AC的垂线段；
(2)过A点画BC的垂线；
(3)画出表示点C到线段AB距离的线段．
3．（★★）（2023春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）已知A，B，C三点如图所示，
(1)画直线，线段，射线，过点C画的垂线段；
(2)若线段，，，，利用三角形面积公式可以得到C点到的距离是_________．
【题型七】同位角、内错角、同旁内角的判断
【典题1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市第十五中学校考期末）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠1和∠3是同位角B．∠1和∠5是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角
【典题2】（2023秋·甘肃陇南·七年级期末）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
巩固练习
1（★）（2023秋·山东聊城·七年级期中）如图，直线a，b，c被射线l和m所截，则下列关系正确的是（ ）
A．∠1与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠3与∠4是同位角D．∠2与∠3是内错角
2．（★）（2023秋·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
种类
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
（∠1与∠2）
1
2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
∠1=∠2
邻补角
（∠3与∠4）
4
3
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
5.1 相交线
知识点一 垂线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
【注意事项】线段与线段及射线与射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
知识点二 相交线中的角
第一种 邻补角与对顶角
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对。
【速记同位角、内错角与同旁内角】
【题型一】对顶角的判断
【典题1】（2023春·河南南阳·七年级期末）如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【详解】解：A．∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角；
B．∠1与∠2有公共顶点，并且两边互为反向延长线，是对顶角；
C．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
D．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角．
故选：B．
【典题2】（2023秋·重庆铜梁·七年级校考期中）如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:A
分析：对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可.
【详解】解：第一个图的两个角不满足角的两边互为反向延长线，
第二个图的两个角不满足有公共的顶点，
第三个图满足两个条件，是对顶角，
第四个图的两个角不满足角的两边互为反向延长线，
故选A.
巩固练习
1（★）（2023春·河南周口·七年级期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠2和∠4D．∠2和∠5
答案:A
分析：直接利用对顶角的定义得出答案．
【详解】观察图形可知互为对顶角的是：∠1和∠2，
故选A
2．（★）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，其中∠AOC的对顶角是( )
A．∠AODB．∠BODC．∠BOCD．∠AOD和∠BOC
答案:B
分析：结合图形，根据对顶角的定义选择即可．
【详解】直线AB与直线CD相交于点O，
由图可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，
故选B．
3．（★）（2023秋·福建福州·七年级期中）如图，下列工具的图片中，有对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：利用对顶角的定义解答即可．对顶角的定义：两条直线相交后没有公共边的一对角叫做对顶角．
【详解】根据对顶角的定义可知，选项B是对顶角，其它都不是，
故选：B．
【题型二】理解对顶角的性质
【典题1】 （2023秋·福建·七年级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
答案:A
分析：根据对顶角的性质，可得∠1的度数．
【详解】解：由对顶角相等，得
∠1=∠2，又∠1+∠2=80°，
∴∠1=40°．
故选：A．
【典题2】（2023秋·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
答案:D
分析：根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出．
【详解】解：由题可知，
，
．
故选：D．
巩固练习
1．（★）（2023春·浙江·七年级期末）如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
A．210°B．180°C．150°D．120°
答案:B
分析：如图，根据对顶角相等求出∠3＝∠4，再根据平角的定义解答．
【详解】解：如图，
∵∠4＝∠3，
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠2＋∠4＝180°．
故选：B．
2．（★）（2023秋·广东揭阳·七年级校联考期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
答案:D
分析：根据对顶角和邻补角的定义即可得到的度数，再根据角平分线即可得出的度数．
【详解】解：，，
，
，
又平分，
．
故选：D．
3．（★★）（2023春·河北邢台·七年级校考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．
答案:(1)35°；
(2)36°；
分析：（1）根据角平分线的定义和对顶角相等计算求值即可；
（2）由∠EOC+∠EOD=180°和∠EOC=∠EOD求得∠EOC，再结合（1）解答计算求值即可；
【详解】（1）解： ∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC，
∵∠EOC=70°，
∴∠AOC=×70°=35°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）解：∵∠EOC=∠EOD，∠EOC+∠EOD=180°，
∴∠EOD +∠EOD=180°，
∴∠EOD =180°，
∴∠EOD =108°，
∴∠EOC=×108°=72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=36°；
【题型三】邻补角的判断
【典题1】（2023秋·北京朝阳·七年级期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是( )
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．
【详解】解：A．与是对顶角，故选项不符合题意；
B．与是邻补角，故选项符合题意；
C．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意；
D．与是同旁内角，故选项不符合题意；
故选：B．
【典题2】（2023秋·江西吉安·七年级期中）如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（ ）
A．6对，2对B．4对，2对C．8对，4对D．4对，4对
答案:A
分析：根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解．
【详解】解：∵两条直线与相交于点O，是射线，
∴对顶角有：与，与，共2对，
邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对
故选:A
巩固练习
1．（★）（2023秋·山东德州·七年级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则的邻补角是（ ）
A．B．
C．和D．和
答案:D
分析：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可．
【详解】：解：根据邻补角的定义可知，∠COF的邻补角是∠DOF和∠EOC．
故选：D．
2．（★）（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AONB．∠AOCC．∠NOCD．∠MOB
答案:C
分析：相邻且互补的两个角互为邻补角
【详解】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角.
故选：C
【题型四】利用邻补角互补求角的度数
【典题1】（2023秋·广东肇庆·七年级德庆县德城中学校考期中）如图，，则的度数为（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
分析：根据与互补求解即可．
【详解】，
，
故选：B．
【典题2】（2023春·山东济南·七年级期末）如图，，直线EF经过点C，若，则的大小为（ ）
A．56°B．66°C．54°D．46°
答案:A
分析：根据，∠1，∠2，和∠ACB为180°，且∠ACB为90°，所以∠1和∠2互余，由∠1度数可求出∠2度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵由图可知，且，
∴，
∴，
故选：A．
巩固练习
1（★）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，小明手持手电筒照向地面，手电筒发出的光线CO与地面AB形成了两个角，∠BOC＝8∠AOC，则∠BOC的度数是（ ）
A．160°B．150°C．120°D．20°
答案:A
分析：利用补角的定义及与的关系可求解的度数，进而可求解的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A．
2．（★）（2023秋·广东韶关·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，
(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；
(2)若，且=2：3，求的度数.
答案:(1)∠BOD；∠AOE；（2）152°
分析：（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；
（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
【详解】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，
故答案为∠BOD，∠AOE；
（2）∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠BOE：∠EOD=2：3，
∴∠BOE= ×70°=28°，
∴∠AOE=180°-28°=152°．
∴∠AOE的度数为152°．
3．（★）（2023秋·甘肃天水·七年级期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数．
答案:∠3=50°，∠2=65°．
分析：根据平角为180度可得∠3=180°-∠1-∠FOC ，根据对顶角相等可得∠AOD的度数，然后再根据角平分线定义进行计算即可
【详解】解：∵∠AOB=180°，
∴∠1+∠3+∠COF=180°，
∵∠FOC=90°，∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-∠FOC=50°， ∠BOC=∠1+∠FOC=130°，
∴∠AOD=∠BOC=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
【点睛】本题主要考查了对顶角，邻补角性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
4．（★★）（2023春·广东阳江·七年级期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠COB，OF是∠EOD的角平分线．
(1)证明：∠AOD＝2∠COE；
(2)若∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；
(3)若∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．
答案:(1)见解析(2)57.5°(3)40°
分析：（1）利用角平分线、对顶角的性质，可得结论；
（2）根据∠AOC=50°，根据互补、角平分线的意义可求出答案；
（3）设未知数，利用角平分线的意义，分别表示∠DOF，∠EOB，∠COB，再根据平角的意义求出结果即可．
(1)解：∵OE平分∠COB，
∴∠COE=∠COB，
∵∠AOD=∠COB，
∴∠AOD=2∠COE；
(2)解：∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=180°-50°=130°，
∴∠EOC=∠BOC=65°，
∴∠DOE=180°-∠EOC=180°-65°=115°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠EOF=∠DOE=57.5°；
(3)解：设∠AOC=∠BOD=α，则∠DOF=α+15°，
∴∠EOF=∠DOF=α+15°，
∴∠EOB=∠EOF+∠BOF=α+30°，
∴∠COB=2∠EOB=2α+60°，
而∠COB+∠BOD=180°，即，3α+60°=180°，
解得，α=40°，
即，∠AOC=40°．
【题型五】理解垂线的概念
【典题1】（2023秋·河北衡水·七年级校考期末）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
答案:D
分析：在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故选：D．
【典题2】（2023春·四川宜宾·七年级期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，于点O，图中∠1与∠2的关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
答案:A
分析：利用对顶角相等可得∠1=∠3，因为∠2+∠3=90°，所以∠1+∠2=90°．
【详解】解：∵直线AB、CD相交于O点，
∴∠1=∠3，
又∵AB⊥OE，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：A．
巩固练习
1．（★）（2023春·四川内江·七年级期末）两条直线相交构成四个角，给出下列条件：①有一个角是直角；②有一对对顶角互补；③有三个角都相等；④有一组邻补角相等．其中能判定这两条直线互相垂直的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
答案:A
分析：①根据垂直定义得：AB⊥CD；②因为对顶角相等，且互补，则每个角为90°，则AB⊥CD；
③根据对顶角相等可以判定四个角相等，由周角360°可知，四个角都为90°，则AB⊥CD④因为邻补角的和为180°，又相等，所以每个角为90°，则AB⊥CD．
【详解】解：①如图，若∠AOC=90°，
∴AB⊥CD，
所以此选项能判定这两条直线垂直；
②如图，若∠AOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴AB⊥CD；
所以此选项能判定这两条直线垂直；
③如图，若∠AOC=∠COB=∠BOD，
∵∠AOD=∠COB，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD，
∵∠AOC+∠COB+∠BOD+∠AOD=360°，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°，
∴AB⊥CD；
所以此选项能判定这两条直线垂直；
④如图，若∠AOC=∠AOD，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
所以此选项能判定这两条直线垂直；
故能判定这两条直线垂直的有：①②③④；
故选：A．
2．（★）（2023秋·广东揭阳·七年级校考期末）已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求∠AOC与∠EOD的度数．
答案:∠AOC＝115°，∠EOD＝25°
分析：由OF⊥CD，得∠DOF =90°，根据条件可求出∠BOD的度数，即可得到∠AOC的度数；由OE⊥AB，得∠BOE =90°，可以推出∠EOF和∠EOD的度数．
【详解】解：∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°，
又∵∠BOF＝25°，
∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°，
∴∠AOC＝∠BOD＝115°，
又∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOF＝25°，
∴∠EOF＝∠BOE -∠BOF =65°，
∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．
3．（★★★）（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，点О在直线AB上，与互补，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的值；
(3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）．
答案:(1)(2)(3)
分析：（1）先证明再求解 从而可得答案；
（2）先证明再证明设 则 再列方程求解即可；
（3） 先证明 设 而 则 则 解方程求解 再利用角的和差关系可得答案.
（1）
解： 与互补，
，，
，
（2）
解： 与互补，
设
而
解得：
（3）
解： 与互补，
设 而 则
【题型六】理解点到直线的距离
【典题1】（2023秋·贵州遵义·七年级校考期中）如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段的长是点到直线的距离B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离D．线段的长是点到直线的距离
答案:C
分析：利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
【详解】解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确，不符合题意；
B、根据垂线段最短可知此选项正确，不符合题意；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误，符合题意；
D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【典题2】（2023秋·安徽合肥·七年级期末）如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指（ ）
A．线段的长度B．线段的长度C．线段的长度D．线段的长度
答案:D
分析：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可．
【详解】解：∵BD⊥CD于D，
∴点B到直线CD的距离是指线段BD的长度．
故选：D．
巩固练习
1（★）（2023秋·安徽宿州·七年级期中）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cmB．4 cmC．5 cmD．不超过2 cm
答案:D
分析：根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可．
【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，
所以三条线段的最短的是2 cm，
所以点P到直线l的距离不超过2 cm．
故选：D．
2．（★）（2023秋·广西南宁·七年级三美学校校考期中）按下列语句要求画图：
(1)过B点画AC的垂线段；
(2)过A点画BC的垂线；
(3)画出表示点C到线段AB距离的线段．
答案:(1)见解析(2)见解析(3)见解析
分析：利用垂线段、点到直线的距离的定义作图即可．
（1）解：连接AC外一点B与垂足E形成的线段，即为AC的垂线段，如图所示，BE为所求；
（2）解：作AF垂直于线段CB的延长线于点F，如图所示：AF为所求；
（3）解：作CM垂直于线段AB的延长线于点M，如图所示：CM为所求．
3．（★★）（2023春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）已知A，B，C三点如图所示，
(1)画直线，线段，射线，过点C画的垂线段；
(2)若线段，，，，利用三角形面积公式可以得到C点到的距离是_________．
答案:(1)作图见解析
(2)
分析：（1）过画直线 连接 以为端点画射线 再利用三角尺过作 垂足为 从而可得答案；
（2）先求解的面积为6，再利用 再解方程即可得到答案.
（1）
解：如图，
直线 线段射线 垂线段即为所求作的直线，线段，射线，垂线段.
（2）
解：
解得：
所以C点到的距离是
故答案为：
【题型七】同位角、内错角、同旁内角的判断
【典题1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市第十五中学校考期末）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠1和∠3是同位角B．∠1和∠5是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角
答案:B
分析：根据同位角、内错角、同旁内角的意义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截的两直线的同一侧的角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两条直线之内的两角叫做同旁内角，可得答案．
【详解】解：A、∠1和∠3是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1和∠5不存在直接联系，故此选项符合题意；
C、∠1和∠2是同旁内角，故此选项不符合题意；
D、∠1和∠6是内错角，故此选项不符合题意；
故选B．
【典题2】（2023秋·甘肃陇南·七年级期末）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
答案:C
【详解】分析：根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可．
详解：由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4．
故选C．
巩固练习
1（★）（2023秋·山东聊城·七年级期中）如图，直线a，b，c被射线l和m所截，则下列关系正确的是（ ）
A．∠1与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠3与∠4是同位角D．∠2与∠3是内错角
答案:C
分析：根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别分析即可．
【详解】解：A、∠1与∠2是邻补角，故原题说法错误；
B、∠1与∠3不是同旁内角，故原题说法错误；
C、∠3与∠4是同位角，故原题说法正确；
D、∠2与∠3不是内错角，故原题说法错误；
故选：C．
2．（★）（2023秋·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:C
分析：准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意；
（2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意；
（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；
（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．
故选：C．
种类
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
（∠1与∠2）
1
2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
∠1=∠2
邻补角
（∠3与∠4）
4
3
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
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