人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义第五章相交线与平行线(原卷版+解析)

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第五章 相交线与平行线【题型一】与对顶角、邻补角有关的计算典例1．（2023秋·河北邢台·七年级校考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；(2)若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．变式1-1（2023秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．（1）写出图中∠AOC的对顶角　 　，∠COE的补角是　 　；（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．变式1-2．（2023春·贵州毕节·七年级校考期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．（1）若∠BOE＝65°，求∠DOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．变式1-3．（2023春·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【题型二】画平行线典例2．（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．(1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②AB=MN；(2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E；(3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个．变式2-1．（2023秋·江苏苏州·七年级统考期末）如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：①线段　 　的长度表示点P到直线OA的距离；②PC　 　OC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）过点A画OB的平行线AE．变式2-2．（2023春·上海静安·七年级统考期中）按下列要求画图并填空                                             已知直线AB、CD相交于点O，点P为这两条直线外一点       (1)过点P画直线PE⊥AB，垂足为E(2)过点P画直线PF⊥CD，垂足为F(3)过点P画直线PM∥AB，交CD于点M(4)点P到直线CD的距离是线段 的长(5)直线PM与AB间的距离是线段 的长变式2-3．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法．(1)画出从点P到水渠边AB的最短距离，并说明道理．(2)过点P画出AB的平行线，这样的平行线有几条，为什么？（1）道理： ．（2）理由： ．【题型三】判断两直线平行 典例3（2023春·内蒙古兴安盟·七年级校考期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD=180° (已知)，∠AGC+∠AGD=180° (______)，所以∠BAG=∠AGC (______)．因为EA平分∠BAG，所以∠1=12∠BAG (______)．因为FG平分∠AGC，所以∠2=12______，得∠1=∠2 (等量代换)，所以______(______)．变式3-1．（2023秋·重庆·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2，试说明∠3=∠E．证明：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABD=∠CDF=90°（___________________），∴______∥______（同位角相等，两直线平行），∵∠1=∠2（已知），∴AB∥EF（___________________），∴CD∥EF（___________________），∴∠3=∠E（两直线平行，同位角相等）．变式3-2．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，已知∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若BF⊥AC，∠2=140°，求∠AFG的度数．变式3-3．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．(1)填空：∠2和∠D可用关系式表示为______；∠1与∠D有怎样的关系式：______；(2)求证：AB∥CD【题型四】利用平行线的性质进行计算典例4（2023春·湖北黄石·七年级统考期末）如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．变式4-1．（2023春·江西赣州·七年级校考期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线M上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D,（1）∠CBD=　 　（2）当点P运动到某处时，∠ACB=∠ABD，则此时∠ABC=　 　（3）在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．变式4-2．（2023春·河南驻马店·七年级校联考期中）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．(1)如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB =∠1+∠2；(2)如图2，当动点P在点C上方运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由．变式4-3．（2023春·广东惠州·七年级统考期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=12∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．【题型五】利用平移的性质求解典例5（2023春·福建泉州·七年级泉州七中校考期末）如图，在三角形ABC中，AC=4 cm，BC=3 cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE=8 cm，BD=2 cm．求：(1)△ABC沿AB方向平移的距离；(2)四边形AEFC的周长．变式5-1．（2023春·浙江宁波·七年级期中）如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，AD∥BF．(1)请说明∠DAC=∠F；(2)若BC=6cm，当AD=2EC时，求AD的长．变式5-2．（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：(1)画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；(2)完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是_______，数量关系是_______．变式5-3．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=9．将△ABC沿射线AB方向平移得到△DEF，使点A的对应点D在边AB上，点B的对应点为点E，边DF与BC交于点G，AD=8，CG=6．(1)求的长．(2)求四边形ADGC的面积．【题型六】利用平移解决实际生活问题典例6（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，有一长方形空地，其长为a、宽为b，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），防风带一边长为c，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形．(1)用代数式表示剩余空地的面积；(2)若a=2b、c=2，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽．变式6-1．（2023春·甘肃天水·七年级期末）如图,某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路,余下部分绿化,小路的宽为2 m,则绿化的面积为多少? 变式6-2．（2023春·河南安阳·七年级统考期末）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度）在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A'B'，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线A'B'C'，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．问题解决：(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分：(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、，则S1= 平方单位；并比较大小：S1 （填“＞”“＝”或“＜”）；(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示）变式6-3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期中）一宾馆准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知地毯40元/米2，主楼梯的宽为2米，其侧面如图所示，则地毯至少需要多少元．第五章 相交线与平行线【题型一】与对顶角、邻补角有关的计算典例1．（2023秋·河北邢台·七年级校考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；(2)若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．答案:(1)35°；(2)36°；分析：（1）根据角平分线的定义和对顶角相等计算求值即可；（2）由∠EOC+∠EOD=180°和∠EOC=∠EOD求得∠EOC，再结合（1）解答计算求值即可；【详解】（1）解： ∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=12∠EOC，∵∠EOC=70°，∴∠AOC=12×70°=35°，∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）解：∵∠EOC=∠EOD，∠EOC+∠EOD=180°，∴∠EOD +∠EOD=180°，∴53∠EOD =180°，∴∠EOD =108°，∴∠EOC=×108°=72°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=12∠EOC=12×72°=36°，∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=36°；【点睛】本题考查了相交线，与角平分线有关的角的计算，补角的定义；掌握对顶角的性质是解题关键．变式1-1（2023秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．（1）写出图中∠AOC的对顶角　 　，∠COE的补角是　 　；（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．答案:（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°分析：（1）分析图形，根据对顶角和补角的定义可以求出答案；（2）先设∠COE＝x求得∠COE和∠AOE的度数，再根据邻补角的定义求得∠AOD的度数，然后将∠AOE与∠AOD的度数相加即可．【详解】解：（1）由图形可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠COE的补角是∠DOE；（2）设∠COE＝x，则∠AOE＝2x，∵∠AOC＝60°，∴x+2x＝60，解得x＝20，即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝120°，∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．【点睛】本题考查角的运算，解题的关键是正确找出图中的角的等量关系，本题属于基础题型．变式1-2．（2023春·贵州毕节·七年级校考期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．（1）若∠BOE＝65°，求∠DOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．答案:（1）115°；（2）45°分析：（1）根据角平分线的定义，得出∠EOC＝∠BOE＝65°，利用邻补角定义求出∠DOE即可；（2）根据角平分线的定义，∠BOD：∠BOE＝2：3，求出∠BOD，再根据对顶角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．【详解】（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE=65°，∴∠EOC=∠BOE=65°，∴∠DOE=180°-∠EOC=180°-65°=115°；（2）∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=∠BOE，∵∠BOD:∠BOE=2:3，设∠BOD=x，则∠COE=∠BOE=32x，∵∠COE+∠BOE+∠BOD=180°，∴x+32x+32x=180°，∴x=45°，∵OF⊥CD，∠BOD=∠AOC，∴∠BOD=∠AOC=45°，∴∠COF=90°，∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-45°=45°.【点睛】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，垂直定义，角的计算等；正确找出各个角之间的关系是正确计算的关键．变式1-3．（2023春·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．答案:(1)①∠EOF的度数为60°；②见解析；(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．分析：（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用OF平分∠BOE，可得：∠EOF=∠FOB=12∠EOB，再利用垂直得到：∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，即可证明∠COE=∠AOC，OC平分∠AOE．（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧和点E，F在直线AB的异侧两种情况，再分别表示出∠BOE与∠AOC，再消去α即可．（1）解：①∵OF⊥CD于点O，∴∠COF=90°，∵∠BOD=20°,∠BOE=130°，∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−130°−20°=30°，∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−∠COE=90°−30°=60°；∴∠EOF的度数为60°；②∵OF平分∠BOE，∴∠EOF=∠FOB=12∠EOB，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，∴∠COE=∠AOC，∴OC平分∠AOE．（2）解：设∠COE=α，则，当点E，F在直线AB的同侧时，如图：，∴，①，②令①×3+②×2可得：3∠AOC+2∠BOE=270°，当点E，F在直线AB的异侧时，如图：，∴，①，②令①+②×2可得：∠AOC+2∠BOE=270°，综上所述：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．【题型二】画平行线典例2．（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．(1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②AB=MN；(2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E；(3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个．答案:(1)见解析(2)见解析(3)6分析：（1）根据网格作图即可；（2）根据网格作图即可；（3）根据网格作图即可.【详解】（1）解：作图如下：（2）解：作图见（1）（3）如图：故符合题意的点F有6个.故答案为：6【点睛】本题考查了直线、射线、线段及平行公理的应用，解题的关键是准确作出图形.变式2-1．（2023秋·江苏苏州·七年级统考期末）如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：①线段　 　的长度表示点P到直线OA的距离；②PC　 　OC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）过点A画OB的平行线AE．答案:（1）图见解析，①PD，②＜；（2）见解析分析：（1）①根据要求画出图形，再根据点到直线的距离的定义判断即可．②根据垂线段最短，可得结论．（2）取格点E，作直线AE即可．【详解】解：（1）①如图，直线PC，直线PD即为所求作．线段PD的长度表示点P到直线OA的距离．故答案为：PD．②根据垂线段最短可知，PC＜OC．故答案为：＜．（2）如图，直线AE即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．变式2-2．（2023春·上海静安·七年级统考期中）按下列要求画图并填空                                             已知直线AB、CD相交于点O，点P为这两条直线外一点       (1)过点P画直线PE⊥AB，垂足为E(2)过点P画直线PF⊥CD，垂足为F(3)过点P画直线PM∥AB，交CD于点M(4)点P到直线CD的距离是线段 的长(5)直线PM与AB间的距离是线段 的长答案:(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)PF(5)PE分析：（1）根据垂线的定义作图即可；（2）根据垂线的定义作图即可；（3）根据平行线的定义作图即可；（4）点P到直线CD距离是线段PF的长；（5）点PM与AB的距离是线段PE的长．【详解】（1）解：如图所示PE即为所求；（2）解：如图所示PF即为所求（3）解：如图所示PM即为所求（4）解：由题意可知点P到直线CD距离是线段PF的长．（5）解：由题意可知点PM与AB的距离是线段PE的长．【点睛】本题主要考查了复杂-作图，点到直线的距离以及平行线间的距离，掌握垂线和平行线的定义以及画法是解题的关键．变式2-3．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法．(1)画出从点P到水渠边AB的最短距离，并说明道理．(2)过点P画出AB的平行线，这样的平行线有几条，为什么？（1）道理： ．（2）理由： ．答案:(1)图形见解析，道理：点到直线，垂线段最短(2)图形见解析，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行分析：（1）根据点到直线，垂线段最短，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求；（2）根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解．【详解】（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求；理由：点到直线，垂线段最短；（2）解：过点P作PE∥AB，则PE即为所求．这样的平行线有1条，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，平行线的公理，熟练掌握点到直线，垂线段最短；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题的关键．【题型三】判断两直线平行 典例3（2023春·内蒙古兴安盟·七年级校考期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD=180° (已知)，∠AGC+∠AGD=180° (______)，所以∠BAG=∠AGC (______)．因为EA平分∠BAG，所以∠1=12∠BAG (______)．因为FG平分∠AGC，所以∠2=12______，得∠1=∠2 (等量代换)，所以______(______)．答案:平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行分析：由题意可求得∠BAG=∠AGC，再由角平分线的定义得∠1=12∠BAG，∠2=12∠AGC，从而得∠1=∠2，即可判定AE∥GF．【详解】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（平角的定义），（同角的补角相等）．∵EA平分∠BAG，∴∠1=12∠BAG（角平分线的定义）．平分∠AGC，∴∠2=12∠AGC，∴∠1=∠2（等量代换），∴AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．变式3-1．（2023秋·重庆·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2，试说明∠3=∠E．证明：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABD=∠CDF=90°（___________________），∴______∥______（同位角相等，两直线平行），∵∠1=∠2（已知），∴AB∥EF（___________________），∴CD∥EF（___________________），∴∠3=∠E（两直线平行，同位角相等）．答案:垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行分析：根据垂直定义求出∠B=∠CDF=90°，根据平行线的判定得出AB∥EF，EF∥CD，即可得出答案．【详解】证明：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABD=∠CDF=90°（垂直定义），∴AB//CD（同位角相等，两直线平行），∵∠1=∠2（已知），∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠3=∠E（两直线平行，同位角相等）．故答案为：垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④平行于同一直线的两直线平行．变式3-2．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，已知∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若BF⊥AC，∠2=140°，求∠AFG的度数．答案:（1）BF//DE，理由见解析；（2）50°分析：（1）根据已知条件，先证明 FG//BC ，继而得 ∠1=∠3 ，根据 ∠1+∠2=180° 等量代换得 ∠3+∠2=180° ，从而得证；（2）由（1）的结论，求得 ∠1 ，再根据 BF⊥AC ，求得 ∠1 的余角即可．【详解】解：1BF//DE，理由如下：∵∠AGF=∠ABC，  ∴GF//BC，  ∴∠1=∠3，  ∵∠1+∠2=180°，  ∴∠3+∠2=180°，  ∴BF//DE；2∵BF//DE，BF⊥AC，  ∴DE⊥AC，  ∵∠1+∠2=180°，∠2=140°，  ∴∠1=40°，  ∴∠AFG=90°−40°=50°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，求一个角的余角，熟练平行线的性质与判定是解题的关键．变式3-3．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．(1)填空：∠2和∠D可用关系式表示为______；∠1与∠D有怎样的关系式：______；(2)求证：AB∥CD答案:(1)∠2+∠D=90°；∠1+∠D=90°(2)见解析分析：（1）根据互余的定义及三角形内角和定理进行求解即可；（2）根据同角的余角相等可得∠1=∠2，继而证明∠2=∠C，根据内错角相等，即可得到结论．【详解】（1）∵∠2和∠D互余，∴∠2+∠D=90°；∵BE⊥FD，∴∠DGE=90°，∵∠1+∠D+∠DGE=180°，；故答案为：∠2+∠D=90°；∠1+∠D=90°；（2）∵∠2和∠D互余，∴∠2+∠D=90°，∵BE⊥FD，∴∠DGE=90°，∵∠1+∠D+∠DGE=180°，，∴∠1=∠2，∵∠1=∠C，，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了余角的定义，同角的余角相等及平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型四】利用平行线的性质进行计算典例4（2023春·湖北黄石·七年级统考期末）如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．答案:20°分析：推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．【详解】∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB＋∠DAC＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠FCB＝∠ACB−∠ACF＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝20°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB，∴∠FEC＝20°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．变式4-1．（2023春·江西赣州·七年级校考期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线M上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D,（1）∠CBD=　 　（2）当点P运动到某处时，∠ACB=∠ABD，则此时∠ABC=　 　（3）在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．答案:（1）60°；（2）30°；（3）不变．分析：（1）由AM∥BN可得∠ABN=180°-∠A，再由BC、BD均为角平分线可求解；（2）由AM∥BN可得∠ACB=∠CBN，再由∠ACB=∠ABD可得∠ABC =∠DBN；（3）由AM∥BN可得∠APB=∠PBN，再由BD为角平分线即可解答.【详解】解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN=180°﹣∠A=120°，又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12（∠ABP+∠PBN）=12∠ABN=60°，故答案为60°．（2）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，又∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=∠CBN﹣∠CBD=∠DBN，∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，∴∠ABC=12∠ABN=30°，故答案为30°．（3）不变．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB=∠DBN=12∠PBN=12∠APB，即∠APB：∠ADB=2：1．【点睛】本题考查了平行线的性质.变式4-2．（2023春·河南驻马店·七年级校联考期中）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．(1)如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB =∠1+∠2；(2)如图2，当动点P在点C上方运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由．答案:(1)见解析(2)∠2=∠1+∠APB．理由见解析分析：（1）过点P作PE∥l1，根据l1∥l2可知PE∥l1∥l2，故可得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE．再由∠APB=∠APE+∠BPE即可得出结论；（2）过P作PG∥l1，依据l1∥l2，可得PG∥l1∥l2，进而得到∠2=∠BPG，∠1=∠APG，再根据∠BPG=∠APG+∠APB，即可得出∠2=∠1+∠APB．（1）解：证明：如图①，过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE．又∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB =∠1+∠2；（2）结论：∠2=∠1+∠APB．证明：如图②，过P作PG∥l1，∵l1∥l2，∴PG∥l1∥l2，∴∠2=∠BPG，∠1=∠APG，∵∠BPG=∠APG+∠APB，∴∠2=∠1+∠APB．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．变式4-3．（2023春·广东惠州·七年级统考期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=12∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．答案:（1）平行，理由见解析；（2）∠FAC =30°；（3）∠ACD：∠AED=2：3或2：1．【详解】试题分析：（1）依据平行线的性质以及判定，即可得到AB∥CD；（2）依据AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，即可得到∠EAC=12∠BAE，∠EAF=12∠DAE，进而得出∠FAC=∠EAC+∠EAF=12（∠BAE+∠DAE）=12∠DAB；（3）分两种情况讨论：当点E在线段CD上时；当点E在DC的延长线上时，分别依据AB∥CD，进而得到∠ACD：∠AED的值．试题解析：解：（1）平行．如图①．∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥CD；（2）如图②．∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°．∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=12∠BAE，∠EAF=12∠DAE，∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=12（∠BAE+∠DAE）=12∠DAB=30°；（3）①如图3，当点E在线段CD上时，由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．又∵∠EAC=12∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；②如图4，当点E在DC的延长线上时，由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．又∵∠EAC=12∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．【题型五】利用平移的性质求解典例5（2023春·福建泉州·七年级泉州七中校考期末）如图，在三角形ABC中，AC=4 cm，BC=3 cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE=8 cm，BD=2 cm．求：(1)△ABC沿AB方向平移的距离；(2)四边形AEFC的周长．答案:（1）△ABC沿AB方向平移的距离是3 cm；（2）四边形AEFC的周长是18cm分析：（1）根据平移的性质可得AD=BE，由AE=8 cm，BD=2 cm可求出AD的长，即为平移的距离；（2）根据平移的性质可求出CF和EF的长，进一步即可求出结果．【详解】（1）∵△ABC沿AB方向平移至△DEF，∴AD=BE．∵AE=8 cm，BD=2 cm，∴AD=BE=8−22=3cm；即△ABC沿AB方向平移的距离是3 cm．（2）由平移的性质可得：CF=AD=3cm，EF=BC=3cm，∵AE=8cm，AC=4cm，∴四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18(cm) ．∴四边形AEFC的周长是18cm．【点睛】本题主要考查了平移的性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键．变式5-1．（2023春·浙江宁波·七年级期中）如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，AD∥BF．(1)请说明∠DAC=∠F；(2)若BC=6cm，当AD=2EC时，求AD的长．答案:(1)见解析(2)4cm分析：（1）根据平移的性质可得AC∥DF，从而得到∠DAC+∠ADF=180°，再由AD∥BF，可得∠ADF+∠F=180°，即可求解；（2）根据平移的性质可得AD=BE，再由AD=2EC，可得BE=2EC，然后根据BC=6cm，即可求解．（1）解：∵将△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，∴AC∥DF，∴∠DAC+∠ADF=180°，∵AD∥BF，∴∠ADF+∠F=180°，∴∠DAC=∠F；（2）解：∵将△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，∴AD=BE，∵AD=2EC，∴BE=2EC，∵BC=6cm，∴BE+EC=2EC+EC=6cm，∴EC=2cm．∴AD=4cm【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．也考查了平行线的性质．变式5-2．（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：(1)画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；(2)完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是_______，数量关系是_______．答案:(1)见解析(2)平行（或AB//A′B′），相等（或AB= A′B′）分析：（1）利用平移变换的性质求出平移后的图形即可；（2）利用平移变换的性质判断即可．【详解】（1）解：图形如图所示：（2）解：AB//A′B′，AB＝A′B′，故答案为：AB//A′B′，AB＝A′B′．【点睛】本题考查作图﹣利用平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．变式5-3．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=9．将△ABC沿射线AB方向平移得到△DEF，使点A的对应点D在边AB上，点B的对应点为点E，边DF与BC交于点G，AD=8，CG=6．(1)求的长．(2)求四边形ADGC的面积．答案:(1)8(2)48分析：（1）由平移的性质可得BE=AD，进而可求解；（2）由平移的性质可得S△ABC=S△DEF，从而得出S四边形ADGC=S梯形BEFG，求出梯形BEFG的面积即可．（1）解：∵△ABC沿射线AB方向平移得到△DEF，AD=8∴DE=AB，∴BE=DE−BD=AB−BD=AD=8．∴的长为8．（2）∵BC=9，CG=6，∴BG=BC−CG=9−6=3，∵△ABC沿射线AB方向平移得到△DEF，BC=9，∠ABC=90°∴EF=BC=9，∠BEF=∠ABC=90°，S△ABC=S△DEF，∴S四边形ADGC+S△DBG=S△DBG+S梯形BEFG，即：S四边形ADGC=S梯形BEFG，∵S梯形BEFG=12BG+EF×BE=12×3+9×8=48，∴S四边形ADGC=S梯形BEFG=48．∴四边形ADGC的面积为48．【点睛】本题主要考查平移的性质，梯形的面积等知识，平移的性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形，面积和周长相等）．本题利用了等积变换的解题方法．掌握平移的性质是解题的关键．【题型六】利用平移解决实际生活问题典例6（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，有一长方形空地，其长为a、宽为b，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），防风带一边长为c，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形．(1)用代数式表示剩余空地的面积；(2)若a=2b、c=2，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽．答案:(1)ab-ac-bc+c；(2)长40，宽20分析：（1）利用平移可知，剩余空地面积为边长分别为（a-c）和（b-c）的长方形面积，代入表示即可；（2）防风带面积=小长方形面积+平行四边形面积-重叠平行四边形面积，进而值即可.【详解】（1）解：由平移，可知剩余空地面积为（a-c）×（b-c）=ab-ac-bc+c2答：剩余空地面积为ab-ac-bc+c2.（2）解：防风带面积为：bc+ac-c2∵a=2b，c=2，且防风带的面积为116∴2b+2b×2-4=116解得b=20∴a=2×20=40答：原长方形空地的长为40，宽为20.【点睛】此题考查了平移变换的运用，以及整式的化简求值，解题的关键是根据平移的性质求对应面积.变式6-1．（2023春·甘肃天水·七年级期末）如图,某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路,余下部分绿化,小路的宽为2 m,则绿化的面积为多少? 答案:540m2.分析：把两条小路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边,则余下部分EFCG是长方形，根据矩形的面积公式即可求出结果．【详解】如图所示,把两条小路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边,则余下部分EFCG是长方形. ∵CF＝32－2＝30(m),CG＝20－2＝18(m),∴长方形EFCG的面积＝30×18＝540(m2). 答:绿化的面积为540m2. 【点睛】本题考查的知识点是平移的应用，解题关键是把两条小路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边,使余下部分EFCG是长方形.变式6-2．（2023春·河南安阳·七年级统考期末）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度）在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A'B'，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线A'B'C'，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．问题解决：(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分：(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、，则S1= 平方单位；并比较大小：S1 （填“＞”“＝”或“＜”）；(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示）答案:(1)见解析过程；(2)40，=；(3)（ab-a）分析：（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB；（2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单位的长方形，进而得出其面积；（3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单位的长方形，进而得出其面积．【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求；（2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2，则S1=10×（5-1）=10×4=40平方单位；S2=10×（5-1）=10×4=40平方单位；∴S1=S2，故答案为：40，=；（3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度，∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位．故答案为：（ab-a）．【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积．变式6-3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期中）一宾馆准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知地毯40元/米2，主楼梯的宽为2米，其侧面如图所示，则地毯至少需要多少元．答案:672元．分析：从图中可以看出来，主楼梯道所有平面的楼梯加起来的宽度正好是5.6米，所有竖面的楼梯加起来的高度正好是2.9米，由此可以算出要铺地毯的总长度，从而得到总面积，再结合每平方米的价钱40元，可以算出总共所需要的钱数．【详解】由题意得，共需费用为元答：这所中学购买这种地毯需花672元钱．【点睛】本题考查的是平移的性质、长方形的面积．