人教版七年级下册6.3 实数课时训练

这是一份人教版七年级下册6.3 实数课时训练，共41页。

无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
【扩展】有理数与无理数的区别：
1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。
2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
常见的无理数类型：
1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234¨···
2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002···(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。
3）有特定意义的数，如：π
4)开方开不尽的数。如：3,35。
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0

【题型一】认识无理数
【典题】（2023春·甘肃武威·七年级校考期末）下列说法正确的有（ ）
①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；
③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
巩固练习
1．（）（2023秋·江苏常州·七年级统考期中）下列各数中，为无理数的是（ ）
A．B．C．0D．
2．（）（2023春·广东汕头·七年级统考期末）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型二】实数的分类
【典题】（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）
有理数集合______；
无理数集合______；
正实数集合______；
负实数集合______．
巩固练习
1．（）（2023春·安徽滁州·七年级校联考期中）将下列实数分别填在相应的方框内：
，3π，，，，0.0，，3.1416，0.1515515551……（两个1之间依次增加一个5）
2．（）（2023秋·浙江·七年级期中）把下列各数分类：，0.45，，0，，，，，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），10，．
（1）正整数：{ }；
（2）负整数：{ }；
（3）整数：{ }；
（4）分数：{ }；
（5）无理数：{ }；
（6）实数：{ }．
【题型三】实数的性质
【典题】（2023春·山东济宁·七年级统考期末）无理数的绝对值是（ ）
A．B．C．D．2
巩固练习
1．（）（2023秋·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知为实数，则的值为（ ）
A．0B．不可能是负数
C．可以是负数D．可以是正数也可以是负数
2．（）（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）化简的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（）（2023·新疆哈密·七年级校考期中）化简: =________
4．（）（2023春·江西宜春·七年级江西省万载中学校考期中）已知，y是4的平方根，且则的值为________.
5．（）（2023秋·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中）已知实数满足，化简．
【题型四】实数与数轴
【典题】（2023秋·七年级统考期中）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（）（2023秋·河南驻马店·七年级校考期中）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A．B．C．D．
2．（）（2023春·江苏南通·七年级校联考期中）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+B．2+C．2﹣1D．2+1
3．（）（2023春·江苏南通·七年级统考期末）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数是______．
4．（）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）如图，把一个直径为个单位长度的圆片上的点A放在表示的点处，并把圆片沿数轴正方向无滑动地滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是___________．
5．（）（2023春·江西宜春·七年级统考期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式的值．
6．（）（2023春·江西赣州·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0， 0．
(2)化简：．
【题型五】比较实数的大小
【典题】（2023春·山东德州·七年级校考期中）比较2，，的大小，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
巩固练习
1．（）（2023秋·浙江·七年级期末）在实数中，最小的是（ ）
A．B．C．0D．
2．（）（2023秋·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中）如果实数，那么，，，自小到大顺序排列正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（）（2023春·河北邯郸·七年级校考期末）请写出一个比2大且比4小的无理数：________.
4．（）（2023春·吉林长春·七年级统考期末）比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）．
5．（）（2023春·江苏南通·七年级统考期中）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为＞4，所以﹣2_____2，所以_____（填“＞”或“＜”）；
小英的方法是：
﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣4____0，所以____0，所以_____（填“＞”或“＜”）．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
【题型六】无理数的估算
【典题】（2023春·河北唐山·七年级统考期中）实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A．点B．点C．点D．点
巩固练习
1．（）（2023春·广东东莞·七年级校考期中）设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（）（2023春·福建福州·七年级福建省福州格致中学校考期中）比较大小：_________1．（选填“<”“>”或“=”）
3．（）（2023春·河北邢台·七年级统考期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：
（1）的整数部分是______．
（2）的小数部分是______．
4．（）（2023春·江西宜春·七年级统考期末）阅读下列材料：
∵，即，
∴的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
(3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
5．（）（2023春·云南大理·七年级校考期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值.
【题型七】实数的混合运算
【典题】（2023春·上海·七年级校考期中）若a、b是不相等的无理数，则（ ）
A．a+b一定是无理数B．a﹣b一定是无理数
C．a•b一定是无理数D．不一定是无理数
巩固练习
1. （）（2023春·云南昆明·七年级统考期末）计算：的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（）（2023春·湖北黄冈·七年级统考期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（）（2023春·福建福州·七年级福建省福州格致中学校考期中）若取1.913，计算的结果是（ ）
A．B．C．191.3D．
4．（）（2023秋·黑龙江鸡西·七年级统考期末）计算： = ______．
5．（）（2023春·山东滨州·七年级统考期末）计算：＝_____．
6．（）（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）计算=______．
【题型八】新定义下的实数运算
【典题】（2023春·四川凉山·七年级统考期末）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，⋯，则的值为（ ）
A．9900B．99！C．D．2
巩固练习
1．（）（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（ ）
A．B．C．2D．3
2．（）（2023秋·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（ ）
A．5B．2C．1D．0
3．（）（2023秋·广西南宁·七年级统考期末）规定一种新运算：，如．则的值是（ ）．
A．B．C．6D．8
4．（）（2023秋·广东广州·七年级广州市越秀区明德实验学校校考期末）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；②若，则；④．其中正确结论有（ ）
A．①③④B．①③C．②③D．①②④
5．（）（2023春·湖南湘西·七年级统考期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4=______________________．
6．（）（2023秋·新疆吐鲁番·七年级校考期中）若定义一种新的运算，规定 =ab-cd,则 =_____．
【题型九】与实数运算有关的规律性问题
【典题】（2023秋·湖北省直辖县级单位·七年级校联考期中）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A．100B．121C．144D．169
巩固练习
1．（）（2023春·广西百色·七年级统考期末）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（）（2023春·福建莆田·七年级校考期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（ ）
A．351B．350C．325D．300
3．（）（2023春·福建厦门·七年级校考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A．B．﹣C．D．2021
4．（）（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期中）求的值，可令，则，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1.参照以上推理，计算的值为（ ）
A．42020﹣1B．42020﹣4C．D．
5．（）（2023春·安徽滁州·七年级校考期末）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述方法计算：当时，的值等于______．
6．（）（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）观察下面的变化规律：
，……
根据上面的规律计算：
__________．
7．（）（2023秋·辽宁丹东·七年级统考期末）将连续奇数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示15，那么表示的奇数是______，奇数2021用有序数对表示为______．
8．（）（2023秋·安徽蚌埠·七年级校考期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
6.3 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
【扩展】有理数与无理数的区别：
1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。
2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
常见的无理数类型：
1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234¨···
2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002···(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。
3）有特定意义的数，如：π
4)开方开不尽的数。如：3,35。
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0

【题型一】认识无理数
【典题】（2023春·甘肃武威·七年级校考期末）下列说法正确的有（ ）
①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；
③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
答案:A
分析：根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：无限小数不一定都是无理数，如是有理数，故①正确；
无理数一定是无限小数，故②正确；
带根号的数不一定都是无理数，如是有理数，故③正确；
不带根号的数不一定是有理数，如π是无理数，故④错误；
故选：A
【点睛】本题考查的是实数的概念，掌握实数的分类、正确区分有理数和无理数是解题的关键，注意无理数是无限不循环小数．
巩固练习
1．（）（2023秋·江苏常州·七年级统考期中）下列各数中，为无理数的是（ ）
A．B．C．0D．
答案:A
分析：根据无理数的定义逐项判断即可．
【详解】A、是无理数，符合题意；
B、小数点后的是无限循环的，则是有理数，不符题意；
C、0是整数，属于有理数，不符题意；
D、是有理数，不符题意,
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．
2．（）（2023春·广东汕头·七年级统考期末）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:B
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，
∴在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有1.010010001…，π，共2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【题型二】实数的分类
【典题】（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，，，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）
有理数集合______；
无理数集合______；
正实数集合______；
负实数集合______．
答案:，，，，，，，；，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）；，，，，；，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）
分析：利用有理数，无理数，正实数，以及负实数的定义判断即可得到结果．
【详解】解：有理数集合：，，，，，，，；
无理数集合：，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）；
正实数集合：，，，，；
负实数集合：，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）.
故答案为：，，，，，，，；，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）；，，，，；，，，（相邻两个之间的的个数逐次加1）．
【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的范围以及分类方法是解本题的关键
巩固练习
1．（）（2023春·安徽滁州·七年级校联考期中）将下列实数分别填在相应的方框内：
，3π，，，，0.0，，3.1416，0.1515515551……（两个1之间依次增加一个5）
答案:有理数：，，， ，；无理数：，，，（两个1之间依次增加一个5）
分析：根据实数的分类解答即可.
【详解】有理数：，，， ，
无理数：，，，（两个1之间依次增加一个5）
【点睛】此题主要考查了实数的分类．实数分为：有理数和无理数．有理数分为：正有理数、零、负有理数（有限小数或无限循环小数）；无理数分为：正无理数、负无理数（无限不循环小数）．
2．（）（2023秋·浙江·七年级期中）把下列各数分类：，0.45，，0，，，，，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），10，．
（1）正整数：{ }；
（2）负整数：{ }；
（3）整数：{ }；
（4）分数：{ }；
（5）无理数：{ }；
（6）实数：{ }．
答案:（1），10 （2），（3），0，，，10 （4）0.45，，， （5），3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”） （6），0.45，，0，，，，，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），10，
分析：根据实数的分类方法即可依次求解．
【详解】在，0.45，，0，，，，，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），10，中，分类如下：
（1）正整数：{ ，10 }；
（2）负整数：{，}；
（3）整数：{，0，，，10 }；
（4）分数：{0.45，，， }；
（5）无理数：{ ，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”） }；
（6）实数：{ ，0.45，，0，，，，，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），10，}．
【点睛】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数的特点．
【题型三】实数的性质
【典题】（2023春·山东济宁·七年级统考期末）无理数的绝对值是（ ）
A．B．C．D．2
答案:B
分析：根据绝对值的定义来求解即可．
【详解】解：无理数的绝对值是．
故选：．
【点睛】本题考查了算术平方根，无理数，实数的性质，正确理解负数的绝对值是正数是解答关键．
巩固练习
1．（）（2023秋·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知为实数，则的值为（ ）
A．0B．不可能是负数
C．可以是负数D．可以是正数也可以是负数
答案:B
分析：通过分类讨论去绝对值，即可判断结果．
【详解】当时，；
当时，；
当时，．
综上所述，的值不可能是负数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，a是实数时，正数、0、负数三种情况都要考虑到，用到了分类讨论的方法．
2．（）（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）化简的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据求绝对值的法则，即可求解．
【详解】∵，
∴=-()=，
故选D．
【点睛】本题主要考查求绝对值的法则，熟练掌握求绝对值的法则，是解题的关键．
3．（）（2023·新疆哈密·七年级校考期中）化简: =________
答案:1
分析：因为π≈3.142，所以π-4＜0，3-π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π-4|+|3-π|．
【详解】∵π≈3.142，
∴π-4＜0，3-π＜0，
∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
4．（）（2023春·江西宜春·七年级江西省万载中学校考期中）已知，y是4的平方根，且则的值为________.
答案:或
分析：根据绝对值的性质，可得x的值，根据开平方，可得y的值，再根据绝对值的性质，可得答案．
【详解】由，y是4的平方根，得或，或，
因为，
所以，
所以，或．
当时，；
当时，，
综上，的值为或.
故答案为或.
【点睛】此题考查平方根，实数的性质，解题关键在于得出x的值.
5．（）（2023秋·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中）已知实数满足，化简．
答案:
分析：根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出的符号，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行化简即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴
．
【点睛】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出的符号是解题的关键．
【题型四】实数与数轴
【典题】（2023秋·七年级统考期中）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：由数轴及题意可得，依此可排除选项．
【详解】解：由数轴及题意可得：，
∴，
∴只有B选项正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键．
巩固练习
1．（）（2023秋·河南驻马店·七年级校考期中）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A．B．C．D．
答案:B
分析：观察数轴得到实数，，的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可.
【详解】∵，∴，故A选项错误；
数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确；
∵，，∴，故Ｃ选项错误；
∵，，，∴，故D选项错误．
故选：B.
【点睛】主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算.观察数轴是解题的关键.
2．（）（2023春·江苏南通·七年级校联考期中）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+B．2+C．2﹣1D．2+1
答案:D
【详解】设点C所对应的实数是x．
根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，
解得．
故选D．
3．（）（2023春·江苏南通·七年级统考期末）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数是______．
答案:
分析：根据被覆盖的数的范围求出被开方数的范围，然后即可得解．
【详解】设被覆盖的数是，根据图形可得
，
∴，
∴三个数，，中符合范围的是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出被覆盖的数的取值范围是解题的关键．
4．（）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）如图，把一个直径为个单位长度的圆片上的点A放在表示的点处，并把圆片沿数轴正方向无滑动地滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是___________．
答案:##
分析：先求出圆的周长，再根据数轴上数值变化的规律，即右边的数大于左边的数，进行解答即可．
【详解】解：∵圆的直径为个单位长度，
∴此圆的周长，
∴当圆向右无滑动的滚动一周时点表示的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是点在数轴上运动时，点所表示的实数的变化规律，熟知数轴上实数大小变化规律是解答此题的关键．
5．（）（2023春·江西宜春·七年级统考期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式的值．
答案:2．
分析：先根据数轴的定义可得，从而可得，再根据立方根的定义可得，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．
【详解】解：由数轴的定义得：，
，
为8的立方根，
，
则
．
【点睛】本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
6．（）（2023春·江西赣州·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0， 0．
(2)化简：．
答案:(1)＜，＞，＞
(2)
分析：（1）当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大，据此逐个判断即可；
（2）根据绝对值的含义和求法，化简即可．
（1）
解：由图可得，，，
∴b﹣c＜0，a+b+3＞0，＞0；
（2）
解：由（1）可得，，，
又∵ ，
∴，，，
∴原式
．
【点睛】此题主要考查了有理数比较大小的方法、绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解决此题的关键是：当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大．
【题型五】比较实数的大小
【典题】（2023春·山东德州·七年级校考期中）比较2，，的大小，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:C
分析：先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．
【详解】解：∵26=64，，，而49＜64＜125
∴
∴
故选C．
【点睛】此题考查的是无理数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键．
巩固练习
1．（）（2023秋·浙江·七年级期末）在实数中，最小的是（ ）
A．B．C．0D．
答案:D
分析：由正数比负数大可知比小，又因为，所以最小的是．
【详解】∵，，
又∵
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，实数的比较中也遵循正数大于零，零大于负数的法则．比较实数大小的方法较多，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法．
2．（）（2023秋·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中）如果实数，那么，，，自小到大顺序排列正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：用特殊值法比较大小即可．
【详解】解：若a＝﹣，
﹣a＝，
a2＝，
＝﹣2，
∵﹣2＜﹣＜＜，
∴＜a＜a2＜﹣a，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的比较大小，用特殊值法比较大小是解题的关键．
3．（）（2023春·河北邯郸·七年级校考期末）请写出一个比2大且比4小的无理数：________.
答案:（或）
分析：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可
【详解】设无理数为，，所以x的取值在4~16之间都可，故可填
【点睛】本题考查估算无理数的大小，能够判断出中间数的取值范围是解题关键
4．（）（2023春·吉林长春·七年级统考期末）比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）．
答案:＜
分析：先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
【详解】解：∵，，
而24＜25，
∴＜5．
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
5．（）（2023春·江苏南通·七年级统考期中）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为＞4，所以﹣2_____2，所以_____（填“＞”或“＜”）；
小英的方法是：
﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣4____0，所以____0，所以_____（填“＞”或“＜”）．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
答案:（1）＞，＞，＞，＞，＞；（2）．
分析：（1）根据不等式的性质即可求解；
（2）根据小华的方法求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
，
∵，
∴．
∴，
∴，
故答案是：＞，＞，＞，＞，＞；
（2）∵，
∴，
∴；
【点睛】考查了实数大小比较，读懂题目并能应用，熟练掌握比较大小的解法是解题的关键．
【题型六】无理数的估算
【典题】（2023春·河北唐山·七年级统考期中）实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A．点B．点C．点D．点
答案:D
分析：先求出的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点．
【详解】解：∵，
∴，
∴它表示的点应位于2和3之间，
所以对应点是点D，
故选：D．
【点睛】本题考查了对无理数的估值及其在数轴上的表示，解决本题的关键是能正确估出的整数部分，本题较基础，考查了学生的基本功．
巩固练习
1．（）（2023春·广东东莞·七年级校考期中）设，则（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：先估计的范围，再得出a的范围即可.
【详解】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴，即，
故选C.
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.
2．（）（2023春·福建福州·七年级福建省福州格致中学校考期中）比较大小：_________1．（选填“<”“>”或“=”）
答案:
分析：先估算无理数的值，然后再用求差法比较即可．
【详解】解：∵
∴
∴＜1．
故答案为＜．
【点睛】本题考查了无理数的估算和实数大小的比较，估算无理数的值是解答本题的关键．
3．（）（2023春·河北邢台·七年级统考期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：
（1）的整数部分是______．
（2）的小数部分是______．
答案: 3
分析：（1）根据题意分别找出的左边第一个整数和右边第一个整数即可作答；
（2）由（1）可知，则可求出的整数部分，再用减去它的整数部分即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴的整数部分为3．
故答案为：3
（2）∵，
∴1<<2，
∴的整数部分是1，
∴的小数部分是-1=．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据算数平方根的定义估算无理数的大小，熟练地掌握算数平方根的定义是解题的关键．
4．（）（2023春·江西宜春·七年级统考期末）阅读下列材料：
∵，即，
∴的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
(3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
答案:(1)3，；
(2)；
(3)，
分析：（1）根据材料类比进行计算，∵，即，可知结果；
（2）参考材料，求出m、n进行计算即可；
（3）首先求出的整式及小数部分，再进行求值即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，小数部分为
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查的是实数的应用，理解材料并灵活运用是解题的关键．
5．（）（2023春·云南大理·七年级校考期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值.
答案:6.
分析：首先得出的取值范围，进而得出a，b的值，即可代入求出即可．
【详解】解：，
，
∴的整数部分为：a=3，小数部分为：b=-3，
，
故答案为6．
【点睛】此题主要考查了估计无理数，得出a，b的值是解题关键．
【题型七】实数的混合运算
【典题】（2023春·上海·七年级校考期中）若a、b是不相等的无理数，则（ ）
A．a+b一定是无理数B．a﹣b一定是无理数
C．a•b一定是无理数D．不一定是无理数
答案:D
分析：根据无理数的性质举例求解即可．
【详解】解：A、若a、b是互为相反数，则a+b等于0，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、若，则a﹣b=2，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、若，则a•b=4，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、若a、b是不相等的无理数，则的值可能是无理数，也可能是有理数，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了无理数的性质，解题的关键是熟练掌握无理数的性质．
巩固练习
1. （）（2023春·云南昆明·七年级统考期末）计算：的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据绝对值以及立方根的定义进行化简，之后运算即可得到答案．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查绝对值以及立方根的定义，掌握绝对值以及立方根的定义是解题的关键．
2．（）（2023春·湖北黄冈·七年级统考期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
分析：A．根据实数减法的运算方法判断即可；
B．根据绝对值的非负性判断即可；
C．根据一个数的算术平方根的求法判断即可；
D．根据一个数的立方根的求法判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴选项A不正确；
B、∵，
∴选项B不正确；
C、∵，
∴选项C不正确；
D、∵，
∴选项D正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用；熟练运用相应的法则来计算是解题的关键．
3．（）（2023春·福建福州·七年级福建省福州格致中学校考期中）若取1.913，计算的结果是（ ）
A．B．C．191.3D．
答案:B
分析：先合并被开方数与根指数都相同的同类根式，把取1.913代入进行求解即可．
【详解】解：
=
=，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查实数的运算，把被开方数与根指数都相同的根式合并再代入是解题的关键．
4．（）（2023秋·黑龙江鸡西·七年级统考期末）计算： = ______．
答案:##
分析：根据求一个数的立方根，化简绝对值，求一个数的算术平方根，进行实数的混合运算
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了一个数的立方根，化简绝对值，求一个数的算术平方根，掌握以上知识是解题的关键．
5．（）（2023春·山东滨州·七年级统考期末）计算：＝_____．
答案:
分析：先计算乘方，算术平方根，立方根和绝对值，再计算加减法．
【详解】解：
=1-
=
=．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数混合运算的法则及运算顺序是解题的关键．
6．（）（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）计算=______．
答案:－1－##－－1
分析：利用立方根的求法、算术平方根的求法、绝对值的意义进行求解，然后进行加减混合运算即可．
【详解】解：
＝－1－3+2－（）
＝－1－3+2－
＝－1－
故答案为：－1－
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
【题型八】新定义下的实数运算
【典题】（2023春·四川凉山·七年级统考期末）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，⋯，则的值为（ ）
A．9900B．99！C．D．2
答案:A
分析：先根据数学运算符号“！”得出和的值，再计算有理数的乘除法即可得．
【详解】由题意得：
故选：A．
【点睛】本题考查了新运算下的有理数的乘除法，理解新运算是解题关键．
巩固练习
1．（）（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（ ）
A．B．C．2D．3
答案:A
分析：先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式去括号合并同类项化简得，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵是“相随数对”，
∴，
整理得9m+4n=0，
．
故选择A．
【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．
2．（）（2023秋·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（ ）
A．5B．2C．1D．0
答案:C
分析：根据新运算的定义和法则进行计算即可得．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．
3．（）（2023秋·广西南宁·七年级统考期末）规定一种新运算：，如．则的值是（ ）．
A．B．C．6D．8
答案:C
分析：根据新定义计算法则把转化为常规下运算得出，然后按有理数运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选择C．
【点睛】本题考查新定义运算，掌握新定义运算的要点，含乘方的有理数混合运算是解题关键．
4．（）（2023秋·广东广州·七年级广州市越秀区明德实验学校校考期末）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；②若，则；④．其中正确结论有（ ）
A．①③④B．①③C．②③D．①②④
答案:A
分析：根据新定义运算法则进行运算即可求出答案．
【详解】解：①原式=2×(1+2)=6，故①正确；
②右边=b(1−a)，左边=a(1−b)，故②错误；
③∵2⊗a=0，
∴2(1−a)=0，
∴a=1，故③正确；
④原式=a×(1−1)=0，故④正确；
故正确的有①③④，
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的运算，解题的关键是正确理解新定义运算．
5．（）（2023春·湖南湘西·七年级统考期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4=______________________．
答案:##0.5
分析：依据新定义进行计算即可得到答案．
【详解】解： a※b=
12※4＝
故答案为：
【点睛】本题考查的是新定义下的实数的运算，弄懂定义的含义，解题的关键是掌握求解算术平方根．
6．（）（2023秋·新疆吐鲁番·七年级校考期中）若定义一种新的运算，规定 =ab-cd,则 =_____．
答案:14
分析：根据 =ab-cd，可以求得所求式子的值．
【详解】∵ =ab-cd，
∴
=1×2-4×（-3）
=2+12
=14，
故答案为14．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【题型九】与实数运算有关的规律性问题
【典题】（2023秋·湖北省直辖县级单位·七年级校联考期中）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A．100B．121C．144D．169
答案:B
分析：分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
【详解】解：根据图中数据可知：
则，，
∵第个图中的，
∴，
解得：或(不符合题意，舍去)
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．
巩固练习
1．（）（2023春·广西百色·七年级统考期末）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可．
【详解】

故选：B
【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键．
2．（）（2023春·福建莆田·七年级校考期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（ ）
A．351B．350C．325D．300
答案:C
分析：通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．
【详解】①＝1；
②＝3＝1+2；
③＝6＝1+2+3；
④＝10＝1+2+3+4；
∴
＝1+2+3+…+25
＝325．
故选：C．
【点睛】本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
3．（）（2023春·福建厦门·七年级校考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A．B．﹣C．D．2021
答案:A
分析：根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数．
【详解】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…，
∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根，
∵2021÷3＝673…2，
∴这一列数中的第2021个数应是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．
4．（）（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期中）求的值，可令，则，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1.参照以上推理，计算的值为（ ）
A．42020﹣1B．42020﹣4C．D．
答案:C
分析：设，然后可以得到4S，再作差变形，即可得到所求式子的值
【详解】解：设，
则4，
∴ 4S﹣S＝42020﹣4，
∴ 3S＝42020﹣4，
∴ S＝，
即的值为.
故选：C.
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是找出其中的规律，利用错位相减法求解．
5．（）（2023春·安徽滁州·七年级校考期末）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述方法计算：当时，的值等于______．
答案:
分析：将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解．
【详解】解：由题意可知，时，，，，，…，
其规律是3个为一次循环，
∵2022÷3=674，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字变化类，把代入进行计算，找到规律是解题的关键．
6．（）（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）观察下面的变化规律：
，……
根据上面的规律计算：
__________．
答案:
分析：本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
【详解】由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．
故．
故答案：．
【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
7．（）（2023秋·辽宁丹东·七年级统考期末）将连续奇数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示15，那么表示的奇数是______，奇数2021用有序数对表示为______．
答案: 47
分析：根据图表找出规律，代入数据求值即可．
【详解】解：由图表可知：数表为从1开始的连续奇数按照蛇形排列，第一组1个奇数，第二组2个奇数，第三组3个奇数，依此类推，第a组a个奇数．
则前a组一共有，奇数表示为： ．
而图表每一行表示的最大奇数为
并且奇数行从左往右依次增大，偶数行从左往右依次减小小．
①中表示第七行第3个数，求出第六行最大的奇数为，
所以第七行第3个数为．
故答案为：47
②因为=2021
所以2021是第1011个奇数，
即，
则从第1行到第44行共有990个奇数，
第1行到第45行一共有1035个奇数．
所以2021在第45行，
因为第44行最大的奇数为，
所以，
解得n=21．
故答案为：(45，21)
【点睛】本题考查图表找规律，解决本题的关键是确定每一行表示的最大奇数、确定前n组共有多少个奇数、理解每一组奇数的变化规律．
8．（）（2023秋·安徽蚌埠·七年级校考期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
答案:（1）（2）（3）
分析：（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（3）运用变化规律计算即可.
【详解】解：（1）a5=；
（2）an=；
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100
.