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初中数学人教版七年级下册6.3 实数课后测评
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这是一份初中数学人教版七年级下册6.3 实数课后测评，共26页。
典例1．（2023秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
变式1-1．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
变式1-2．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）小明要剪一个面积为36cm2的正方形纸片，则边长是多少呢？如果还想剪一个面积为7cm2的正方形纸片，边长又是多少呢？
变式1-3．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
【题型二】已知一个数的平方根求这个数
典例2．（2023春·宁夏吴忠·七年级校考期末）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
变式2-1（2023春·福建厦门·七年级福建省厦门集美中学校考期中）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a＋2和3a－6．
(1)求a的值；
(2)求这个数m．
变式2-2．（2023春·新疆克拉玛依·七年级校考期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
(1)求这个正数是多少？
(2)的平方根又是多少？
变式2-3．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）已知正数x的平方根是a和
(1)当时，求a的值．
(2)若，求x的值．
【题型三】立方根的实际应用
典例3．（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）（1）
（2）．
变式3-1．（2023春·山西吕梁·七年级统考期中）综合与实践
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
变式3-2．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
变式3-3．（2023春·安徽六安·七年级统考期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少?（球的体积公式是，其中R是球的半径．）
【题型四】平方根与立方根综合
典例4．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．
(1)求a与b的值；
(2)求2a+b﹣1的立方根．
变式4-1．（2023春·云南曲靖·七年级校考期末）已知是n－m＋3的算术平方根，是m＋2n的立方根，求B－A的平方根
变式4-2．（2023春·广东中山·七年级统考期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值．
变式4-3．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知，求x2＋y2－4的平方根．
【题型五】实数与数轴
典例5．（2023春·河北承德·七年级统考期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
变式5-1．（2023春·湖北黄石·七年级统考期中）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−|＋|2−a|
(1)求b的值；
(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
变式5-2．（2023春·江西宜春·七年级校考期中）（1）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
变式5-3．（2023春·江西赣州·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0， 0．
(2)化简：．
【题型六】实数的混合运算
典例6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）计算:
变式6-1．（2023春·内蒙古呼和浩特·七年级呼和浩特市实验中学校考期中）计算：
(1)(2)
变式6-2．（2023春·湖南长沙·七年级长沙市长郡双语实验中学校联考期中）计算：
(1)(2)
【题型七】实数运算的实际应用
典例7．（2023春·上海静安·七年级统考期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）
变式7-1．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
变式7-2．（2023春·湖北宜昌·七年级校考期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
【题型八】新定义下的实数运算
典例8．（2023秋·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）设、是任意两个有理数，规定与之间的一种运算“”为：
（1）求的值；
（2）若，求的值.
变式8-1．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a．如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣2）☆3＝ ；
(2)若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；
(3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．
变式8-2．（2023秋·江苏·七年级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
变式8-3．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）对于任意有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定，解决下列问题：
(1)有理数对______；
(2)若有理数对，则______；
(3)当满足等式中的x是整数时，求整数y的值．
第六章 实数
【题型一】算术平方根的实际应用
典例1．（2023秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
答案:(1) ；
(2)剪拼图见解析；
分析：（1）拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积；进一步求边长即可；
（2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可；
【详解】（1）解：∵拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
（2）解：剪拼图如下：
∵拼成的正方形面积等于原10个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
【点睛】本题考查了算术平方根；熟练掌握图形的拆补是解题的关键．
变式1-1．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
答案:能按规定在这块空地上建一个篮球场，见解析
分析：先设篮球场的宽为xm，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了.
【详解】解：设篮球场的宽为x m，则长为xm，根据题意，得
，即x2=324，
∵x为正数，
∴x==18，
∴篮球场的宽为18m，
∴篮球场的长为30m，
∵ (30+2)2=1024<1100，
∴能按规定在这块空地上建一个篮球场．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够根据题意求出篮球场的长．
变式1-2．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）小明要剪一个面积为36cm2的正方形纸片，则边长是多少呢？如果还想剪一个面积为7cm2的正方形纸片，边长又是多少呢？
答案:面积是36cm2的正方形边长是6cm,面积是7cm2的正方形边长是
分析：根据算术平方根的定义解题．
【详解】解：∵62＝36，，
∴要剪一个面积为36cm2的正方形纸片，则边长是6cm；
剪一个面积为7cm2的正方形纸片，边长是cm．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1-3．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
答案:阴影部分的面积为．
分析：根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解：∵大正方形的边长，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了算术平方根，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．
【题型二】已知一个数的平方根求这个数
典例2．（2023春·宁夏吴忠·七年级校考期末）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
答案:±3
分析：先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，
a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴a+2b的平方根为：±3．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
变式2-1（2023春·福建厦门·七年级福建省厦门集美中学校考期中）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a＋2和3a－6．
(1)求a的值；
(2)求这个数m．
答案:(1)a＝1
(2)9
分析：（1）根据平方根的定义列方程解出即可；
（2）将的值代入和中，平方后可得的值．
【详解】（1）解：数的两个不相等的平方根为和，
，
，
解得；
（2）解：∵a=1，
，，
，
的值是9．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
变式2-2．（2023春·新疆克拉玛依·七年级校考期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
(1)求这个正数是多少？
(2)的平方根又是多少？
答案:（1）49；（2）±.
分析：（1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数即可解得m的值；
（2）利用（1）的结果平方根的定义即可求解.
【详解】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）=0
解得m=4．
则这个正数是（m+3）2=49．
（2）=3，则它的平方根是±．
【点睛】题目主要考查平方根的的性质及相反数的定义，一元一次方程的解法，理解平方根的性质与求法是解题关键．
变式2-3．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）已知正数x的平方根是a和
(1)当时，求a的值．
(2)若，求x的值．
答案:(1)
(2)
分析：（1）利用正数平方根互为相反数即可求出a的值；
（2）利用平方根的定义得到（a+b）2=x，a2=x，代入式子a2x+（a+b）2x=4即可求出x值．
（1）
∵，
∴与，
∴a与互为相反数
∴
又
∴
（2）
∵正数x的平方根是a和a+b，
∴（a+b）2=x，a2=x，
∵a2x+（a+b）2x=4，
∴x2+x2=4，
∴x2=2，
∵x＞0，
∴
【点睛】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
【题型三】立方根的实际应用
典例3．（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）（1）
（2）．
答案:（1）或；（2）
分析：（1）方程两边开方，进而解方程即可；
（2）先整理方程，再两边开立方进行求解即可．
【详解】解：（1），
，
∴或．
（2），
，
，
∴．
【点睛】本题考查了立方根和平方根，直接开方求解是解决问题的关键．
变式3-1．（2023春·山西吕梁·七年级统考期中）综合与实践
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
答案:(1)
(2)图见解析；
分析：（1）根据算术平方根的意义求解即可；
（2）根据立方根的意义求出正方体的边长，然后画出图形，再求出所用面积即五个正方形的面积．
【详解】（1）解：正方形纸片的边长为：，
故答案为：；
（2）解：正方体的边长为：，
平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分），
所用纸片面积为，
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，正方体的展开图，熟练掌握基础知识是解题的关键．
变式3-2．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
答案:6cm
分析：根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解．
【详解】设第二个纸盒的棱长为acm，
∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3，
∴a3-33=189，
∴a3=189+27=216，
a3=216=63
∴a=6cm．
【点睛】此题考查立方根的计算, 关键是能根据题意得出方程．．
变式3-3．（2023春·安徽六安·七年级统考期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少?（球的体积公式是，其中R是球的半径．）
答案:大铅球的半径是6．
分析：求出半径分别是3，4，5的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可．
【详解】解：设这个大铅球的半径为r，由题意可得
，
即，
所以r==6．
大铅球的半径是6．
【点睛】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解答本题的关键．
【题型四】平方根与立方根综合
典例4．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．
(1)求a与b的值；
(2)求2a+b﹣1的立方根．
答案:(1)a＝2，b＝5
(2)2
分析：（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可．
（2）把（1）中求出的a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．
【详解】（1）解：∵4a+1的平方根是±3，
∴4a+1＝9，
解得a＝2；
∵b﹣1的算术平方根为2，
∴b﹣1＝4，
解得b＝5．
（2）解：∵a＝2，b＝5，
∴2a+b﹣1
＝2×2+5﹣1
＝8，
∴2a+b﹣1的立方根是：．
【点睛】此题主要考查平方根立方根，解题的关键是熟知平方根立方根的定义．
变式4-1．（2023春·云南曲靖·七年级校考期末）已知是n－m＋3的算术平方根，是m＋2n的立方根，求B－A的平方根
答案:
分析：根据算术平方根的意义和立方根的意义，得到方程组，然后求解出m、n的值，代入求出A、B的值，从而求出B-A的立方根．
【详解】解：由题意，得，
解得
∴A，
∴
∴．
【点睛】题目主要考查平方根与立方根、算术平方根的定义及性质，二元一次方程组的解法，熟练掌握三个定义是解题关键．
变式4-2．（2023春·广东中山·七年级统考期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值．
答案:
分析：由算术平方根，立方根的定义求出a，b的值，再估算的大小，求出c值，代入即可．
【详解】解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，
∴，
∵ 即：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a、b、c的值是解题的关键．
变式4-3．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知，求x2＋y2－4的平方根．
答案:±9
分析：由算术平方根、立方根的定义，求出x，y的值，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵＝3，
∴，
∴x＝7
∵＝3，
∴
∴14＋y＋7＝27，
∴y＝6
∴±
＝±
＝±9．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．
【题型五】实数与数轴
典例5．（2023春·河北承德·七年级统考期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
答案:（1）2；（2）±4
分析：（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可；
（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根．
【详解】（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0，
∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2；
（2）∵与互为相反数，
∴+=0，
∴|2c＋d|＝0且＝0，
解得：c＝2，d＝−4，
∴2c−3d＝16，
∴2c−3d的平方根为±4．
【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．
变式5-1．（2023春·湖北黄石·七年级统考期中）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−|＋|2−a|
(1)求b的值；
(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
答案:(1)
(2)
分析：（1）先判断2（2）先求解 再求解的值，再求解2m＋2n＋1，最后求解平方根即可．
【详解】（1）解：∵2∴a-<0，2−a<0
∴b＝-a＋a-2＝−2
（2）∵b＋2=，8－b=8－（−2）=10－，
∴m=－3，n=10－－6=4－
∴2m＋2n＋1=2－6+8－2＋1=3
∴2m＋2n＋1的平方根为±
【点睛】本题考查的是实数与数轴，化简绝对值，无理数的小数部分的理解，平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
变式5-2．（2023春·江西宜春·七年级校考期中）（1）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
答案:（1）；（2）
分析：（1）根据数轴上a的位置，判断出a，b的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简；
（2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：（1）由数轴知a-1＞0，a-2＜0，b＜0，
∴
；
（2）∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键．
变式5-3．（2023春·江西赣州·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0， 0．
(2)化简：．
答案:(1)＜，＞，＞
(2)
分析：（1）当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大，据此逐个判断即可；
（2）根据绝对值的含义和求法，化简即可．
（1）
解：由图可得，，，
∴b﹣c＜0，a+b+3＞0，＞0；
（2）
解：由（1）可得，，，
又∵ ，
∴，，，
∴原式
．
【点睛】此题主要考查了有理数比较大小的方法、绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解决此题的关键是：当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大．
【题型六】实数的混合运算
典例6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）计算:
答案:
分析：先根据算术平方根定义、立方根定义、绝对值的性质计算，再算除法，最后合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根定义，立方根定义，绝对值的性质是解题的关键．
变式6-1．（2023春·内蒙古呼和浩特·七年级呼和浩特市实验中学校考期中）计算：
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）根据绝对值的性质、立方根的定义进行计算；
（2）根据算术平方根的性质、绝对值的性质、立方根的定义以及乘方得到结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，解决此题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根和立方根的运算．
变式6-2．（2023春·湖南长沙·七年级长沙市长郡双语实验中学校联考期中）计算：
(1)
(2)
答案:(1)5
(2)
分析：对于（1），由，，，再计算即可；
对于（2），由，(-1)2022=1，，，再计算即可．
【详解】（1）原式=；
（2）原式=．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，求出各数的平方根和立方根是解题的关键．
【题型七】实数运算的实际应用
典例7．（2023春·上海静安·七年级统考期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）
答案:1.2平方米
分析：根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。
【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则
剩下的木料的面积，
，
，
，
（平方米）
答：剩下的木料的面积约为平方米．
【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系．
变式7-1．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
答案:(1)正方形A和正方形B的边长各是，3
(2)2.20
分析：（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；
（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可．
（1）
解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，
∴正方形A和正方形B的边长各是；
（2）
解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键．
变式7-2．（2023春·湖北宜昌·七年级校考期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
答案:(1)该长方形的长为35米，宽为20米
(2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用
分析：（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得；
（2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得．
（1）
解：设该长方形的长为米，则宽为米，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则，
答：该长方形的长为35米，宽为20米．
（2）
解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米，
，
，，
能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，
改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米），
原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米，
，
，
原来的铁栅栏围墙不够用，
答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
【题型八】新定义下的实数运算
典例8．（2023秋·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）设、是任意两个有理数，规定与之间的一种运算“”为：
（1）求的值；
（2）若，求的值.
答案:（1）；（2）
分析：（1）根据新运算中的代数式，将式子进行化简求值即可.
（2）分情况进行讨论，当m-2≥m+3时，当m-2＜m+3时分别根据新运算的法则进行运算求值即可.
【详解】解：（1）；
（2）∵m-2≥m+3不成立，
∴当m-2，
【点睛】本题考查新运算，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握新运算的运算步骤.
变式8-1．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a．如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣2）☆3＝ ；
(2)若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；
(3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．
答案:(1)-32
(2)1
(3)m＞n
分析：（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；
（2）利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可；
（3）利用规定的运算方法得出m、n，再进一步作差即可比较大小．
【详解】（1）解：原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）
＝﹣18﹣12﹣2
＝﹣32；
故答案为：﹣32．
（2）根据题意得：（a+1）+3（a+1）+
＝
＝8a+8
∴（8a+8）×（﹣2）2+2×（8a+8）×（﹣2）+（8a+8）＝16
整理得，8a+8＝16
解得：a＝1；
（3）已知等式整理得：m＝2x2+4x+2，n＝x++x＝4x，
∴m﹣n＝2x2+2＞0，
∴m＞n．
【点睛】此题考查了新定义下的运算问题，解题的关键是利用规定的运算方法进行计算．
变式8-2．（2023秋·江苏·七年级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
答案:(1)5
(2)
分析：（1）根据新定义，直接代入计算即可；
（2）根据新定义，得到，得到x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式＝；
（2）
根据题中的新定义化简得：，
∴6x-3=x，
移项合并得：5x=3，
解得：．
【点睛】本题考查了新定义问题，准确理解新定义，并根据新定义进行计算和解方程是解题的关键．
变式8-3．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）对于任意有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定，解决下列问题：
(1)有理数对______；
(2)若有理数对，则______；
(3)当满足等式中的x是整数时，求整数y的值．
答案:(1)-14
(2)6
(3)或或或或或
分析：（1）根据题目中的法则即可运算；
（2）根据法则表达出(−3，x)⊗(-2，4)，再解方程即可；
（3）根据法则表达出(1，x−1)⊗(x−2y，2y)，列出方程，再根据x是整数，求出y的值即可．
(1)
解：；
(2)
解：，，解得；
(3)
解：由得，即，
∵x是整数，∴或或，
∴或或或或或．
【点睛】本题考查了新定义下的有理数运算问题，解题的关键是掌握题中新定义的运算法则．
典例1．（2023秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
变式1-1．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
变式1-2．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）小明要剪一个面积为36cm2的正方形纸片，则边长是多少呢？如果还想剪一个面积为7cm2的正方形纸片，边长又是多少呢？
变式1-3．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
【题型二】已知一个数的平方根求这个数
典例2．（2023春·宁夏吴忠·七年级校考期末）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
变式2-1（2023春·福建厦门·七年级福建省厦门集美中学校考期中）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a＋2和3a－6．
(1)求a的值；
(2)求这个数m．
变式2-2．（2023春·新疆克拉玛依·七年级校考期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
(1)求这个正数是多少？
(2)的平方根又是多少？
变式2-3．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）已知正数x的平方根是a和
(1)当时，求a的值．
(2)若，求x的值．
【题型三】立方根的实际应用
典例3．（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）（1）
（2）．
变式3-1．（2023春·山西吕梁·七年级统考期中）综合与实践
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
变式3-2．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
变式3-3．（2023春·安徽六安·七年级统考期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少?（球的体积公式是，其中R是球的半径．）
【题型四】平方根与立方根综合
典例4．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．
(1)求a与b的值；
(2)求2a+b﹣1的立方根．
变式4-1．（2023春·云南曲靖·七年级校考期末）已知是n－m＋3的算术平方根，是m＋2n的立方根，求B－A的平方根
变式4-2．（2023春·广东中山·七年级统考期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值．
变式4-3．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知，求x2＋y2－4的平方根．
【题型五】实数与数轴
典例5．（2023春·河北承德·七年级统考期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
变式5-1．（2023春·湖北黄石·七年级统考期中）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−|＋|2−a|
(1)求b的值；
(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
变式5-2．（2023春·江西宜春·七年级校考期中）（1）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
变式5-3．（2023春·江西赣州·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0， 0．
(2)化简：．
【题型六】实数的混合运算
典例6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）计算:
变式6-1．（2023春·内蒙古呼和浩特·七年级呼和浩特市实验中学校考期中）计算：
(1)(2)
变式6-2．（2023春·湖南长沙·七年级长沙市长郡双语实验中学校联考期中）计算：
(1)(2)
【题型七】实数运算的实际应用
典例7．（2023春·上海静安·七年级统考期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）
变式7-1．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
变式7-2．（2023春·湖北宜昌·七年级校考期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
【题型八】新定义下的实数运算
典例8．（2023秋·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）设、是任意两个有理数，规定与之间的一种运算“”为：
（1）求的值；
（2）若，求的值.
变式8-1．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a．如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣2）☆3＝ ；
(2)若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；
(3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．
变式8-2．（2023秋·江苏·七年级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
变式8-3．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）对于任意有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定，解决下列问题：
(1)有理数对______；
(2)若有理数对，则______；
(3)当满足等式中的x是整数时，求整数y的值．
第六章 实数
【题型一】算术平方根的实际应用
典例1．（2023秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
答案:(1) ；
(2)剪拼图见解析；
分析：（1）拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积；进一步求边长即可；
（2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可；
【详解】（1）解：∵拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
（2）解：剪拼图如下：
∵拼成的正方形面积等于原10个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
【点睛】本题考查了算术平方根；熟练掌握图形的拆补是解题的关键．
变式1-1．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
答案:能按规定在这块空地上建一个篮球场，见解析
分析：先设篮球场的宽为xm，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了.
【详解】解：设篮球场的宽为x m，则长为xm，根据题意，得
，即x2=324，
∵x为正数，
∴x==18，
∴篮球场的宽为18m，
∴篮球场的长为30m，
∵ (30+2)2=1024<1100，
∴能按规定在这块空地上建一个篮球场．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够根据题意求出篮球场的长．
变式1-2．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）小明要剪一个面积为36cm2的正方形纸片，则边长是多少呢？如果还想剪一个面积为7cm2的正方形纸片，边长又是多少呢？
答案:面积是36cm2的正方形边长是6cm,面积是7cm2的正方形边长是
分析：根据算术平方根的定义解题．
【详解】解：∵62＝36，，
∴要剪一个面积为36cm2的正方形纸片，则边长是6cm；
剪一个面积为7cm2的正方形纸片，边长是cm．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1-3．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
答案:阴影部分的面积为．
分析：根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解：∵大正方形的边长，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了算术平方根，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．
【题型二】已知一个数的平方根求这个数
典例2．（2023春·宁夏吴忠·七年级校考期末）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
答案:±3
分析：先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，
a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴a+2b的平方根为：±3．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
变式2-1（2023春·福建厦门·七年级福建省厦门集美中学校考期中）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a＋2和3a－6．
(1)求a的值；
(2)求这个数m．
答案:(1)a＝1
(2)9
分析：（1）根据平方根的定义列方程解出即可；
（2）将的值代入和中，平方后可得的值．
【详解】（1）解：数的两个不相等的平方根为和，
，
，
解得；
（2）解：∵a=1，
，，
，
的值是9．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
变式2-2．（2023春·新疆克拉玛依·七年级校考期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
(1)求这个正数是多少？
(2)的平方根又是多少？
答案:（1）49；（2）±.
分析：（1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数即可解得m的值；
（2）利用（1）的结果平方根的定义即可求解.
【详解】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）=0
解得m=4．
则这个正数是（m+3）2=49．
（2）=3，则它的平方根是±．
【点睛】题目主要考查平方根的的性质及相反数的定义，一元一次方程的解法，理解平方根的性质与求法是解题关键．
变式2-3．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）已知正数x的平方根是a和
(1)当时，求a的值．
(2)若，求x的值．
答案:(1)
(2)
分析：（1）利用正数平方根互为相反数即可求出a的值；
（2）利用平方根的定义得到（a+b）2=x，a2=x，代入式子a2x+（a+b）2x=4即可求出x值．
（1）
∵，
∴与，
∴a与互为相反数
∴
又
∴
（2）
∵正数x的平方根是a和a+b，
∴（a+b）2=x，a2=x，
∵a2x+（a+b）2x=4，
∴x2+x2=4，
∴x2=2，
∵x＞0，
∴
【点睛】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
【题型三】立方根的实际应用
典例3．（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）（1）
（2）．
答案:（1）或；（2）
分析：（1）方程两边开方，进而解方程即可；
（2）先整理方程，再两边开立方进行求解即可．
【详解】解：（1），
，
∴或．
（2），
，
，
∴．
【点睛】本题考查了立方根和平方根，直接开方求解是解决问题的关键．
变式3-1．（2023春·山西吕梁·七年级统考期中）综合与实践
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
答案:(1)
(2)图见解析；
分析：（1）根据算术平方根的意义求解即可；
（2）根据立方根的意义求出正方体的边长，然后画出图形，再求出所用面积即五个正方形的面积．
【详解】（1）解：正方形纸片的边长为：，
故答案为：；
（2）解：正方体的边长为：，
平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分），
所用纸片面积为，
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，正方体的展开图，熟练掌握基础知识是解题的关键．
变式3-2．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
答案:6cm
分析：根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解．
【详解】设第二个纸盒的棱长为acm，
∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3，
∴a3-33=189，
∴a3=189+27=216，
a3=216=63
∴a=6cm．
【点睛】此题考查立方根的计算, 关键是能根据题意得出方程．．
变式3-3．（2023春·安徽六安·七年级统考期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少?（球的体积公式是，其中R是球的半径．）
答案:大铅球的半径是6．
分析：求出半径分别是3，4，5的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可．
【详解】解：设这个大铅球的半径为r，由题意可得
，
即，
所以r==6．
大铅球的半径是6．
【点睛】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解答本题的关键．
【题型四】平方根与立方根综合
典例4．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．
(1)求a与b的值；
(2)求2a+b﹣1的立方根．
答案:(1)a＝2，b＝5
(2)2
分析：（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可．
（2）把（1）中求出的a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．
【详解】（1）解：∵4a+1的平方根是±3，
∴4a+1＝9，
解得a＝2；
∵b﹣1的算术平方根为2，
∴b﹣1＝4，
解得b＝5．
（2）解：∵a＝2，b＝5，
∴2a+b﹣1
＝2×2+5﹣1
＝8，
∴2a+b﹣1的立方根是：．
【点睛】此题主要考查平方根立方根，解题的关键是熟知平方根立方根的定义．
变式4-1．（2023春·云南曲靖·七年级校考期末）已知是n－m＋3的算术平方根，是m＋2n的立方根，求B－A的平方根
答案:
分析：根据算术平方根的意义和立方根的意义，得到方程组，然后求解出m、n的值，代入求出A、B的值，从而求出B-A的立方根．
【详解】解：由题意，得，
解得
∴A，
∴
∴．
【点睛】题目主要考查平方根与立方根、算术平方根的定义及性质，二元一次方程组的解法，熟练掌握三个定义是解题关键．
变式4-2．（2023春·广东中山·七年级统考期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值．
答案:
分析：由算术平方根，立方根的定义求出a，b的值，再估算的大小，求出c值，代入即可．
【详解】解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，
∴，
∵ 即：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a、b、c的值是解题的关键．
变式4-3．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知，求x2＋y2－4的平方根．
答案:±9
分析：由算术平方根、立方根的定义，求出x，y的值，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵＝3，
∴，
∴x＝7
∵＝3，
∴
∴14＋y＋7＝27，
∴y＝6
∴±
＝±
＝±9．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．
【题型五】实数与数轴
典例5．（2023春·河北承德·七年级统考期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
答案:（1）2；（2）±4
分析：（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可；
（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根．
【详解】（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0，
∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2；
（2）∵与互为相反数，
∴+=0，
∴|2c＋d|＝0且＝0，
解得：c＝2，d＝−4，
∴2c−3d＝16，
∴2c−3d的平方根为±4．
【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．
变式5-1．（2023春·湖北黄石·七年级统考期中）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−|＋|2−a|
(1)求b的值；
(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
答案:(1)
(2)
分析：（1）先判断2
【详解】（1）解：∵2
∴b＝-a＋a-2＝−2
（2）∵b＋2=，8－b=8－（−2）=10－，
∴m=－3，n=10－－6=4－
∴2m＋2n＋1=2－6+8－2＋1=3
∴2m＋2n＋1的平方根为±
【点睛】本题考查的是实数与数轴，化简绝对值，无理数的小数部分的理解，平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
变式5-2．（2023春·江西宜春·七年级校考期中）（1）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
答案:（1）；（2）
分析：（1）根据数轴上a的位置，判断出a，b的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简；
（2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：（1）由数轴知a-1＞0，a-2＜0，b＜0，
∴
；
（2）∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键．
变式5-3．（2023春·江西赣州·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0， 0．
(2)化简：．
答案:(1)＜，＞，＞
(2)
分析：（1）当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大，据此逐个判断即可；
（2）根据绝对值的含义和求法，化简即可．
（1）
解：由图可得，，，
∴b﹣c＜0，a+b+3＞0，＞0；
（2）
解：由（1）可得，，，
又∵ ，
∴，，，
∴原式
．
【点睛】此题主要考查了有理数比较大小的方法、绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解决此题的关键是：当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大．
【题型六】实数的混合运算
典例6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）计算:
答案:
分析：先根据算术平方根定义、立方根定义、绝对值的性质计算，再算除法，最后合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根定义，立方根定义，绝对值的性质是解题的关键．
变式6-1．（2023春·内蒙古呼和浩特·七年级呼和浩特市实验中学校考期中）计算：
(1)
(2)
答案:(1)
(2)
分析：（1）根据绝对值的性质、立方根的定义进行计算；
（2）根据算术平方根的性质、绝对值的性质、立方根的定义以及乘方得到结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，解决此题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根和立方根的运算．
变式6-2．（2023春·湖南长沙·七年级长沙市长郡双语实验中学校联考期中）计算：
(1)
(2)
答案:(1)5
(2)
分析：对于（1），由，，，再计算即可；
对于（2），由，(-1)2022=1，，，再计算即可．
【详解】（1）原式=；
（2）原式=．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，求出各数的平方根和立方根是解题的关键．
【题型七】实数运算的实际应用
典例7．（2023春·上海静安·七年级统考期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）
答案:1.2平方米
分析：根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。
【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则
剩下的木料的面积，
，
，
，
（平方米）
答：剩下的木料的面积约为平方米．
【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系．
变式7-1．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
答案:(1)正方形A和正方形B的边长各是，3
(2)2.20
分析：（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；
（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可．
（1）
解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，
∴正方形A和正方形B的边长各是；
（2）
解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键．
变式7-2．（2023春·湖北宜昌·七年级校考期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
答案:(1)该长方形的长为35米，宽为20米
(2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用
分析：（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得；
（2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得．
（1）
解：设该长方形的长为米，则宽为米，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则，
答：该长方形的长为35米，宽为20米．
（2）
解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米，
，
，，
能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，
改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米），
原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米，
，
，
原来的铁栅栏围墙不够用，
答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
【题型八】新定义下的实数运算
典例8．（2023秋·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）设、是任意两个有理数，规定与之间的一种运算“”为：
（1）求的值；
（2）若，求的值.
答案:（1）；（2）
分析：（1）根据新运算中的代数式，将式子进行化简求值即可.
（2）分情况进行讨论，当m-2≥m+3时，当m-2＜m+3时分别根据新运算的法则进行运算求值即可.
【详解】解：（1）；
（2）∵m-2≥m+3不成立，
∴当m-2
【点睛】本题考查新运算，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握新运算的运算步骤.
变式8-1．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a．如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣2）☆3＝ ；
(2)若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；
(3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．
答案:(1)-32
(2)1
(3)m＞n
分析：（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；
（2）利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可；
（3）利用规定的运算方法得出m、n，再进一步作差即可比较大小．
【详解】（1）解：原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）
＝﹣18﹣12﹣2
＝﹣32；
故答案为：﹣32．
（2）根据题意得：（a+1）+3（a+1）+
＝
＝8a+8
∴（8a+8）×（﹣2）2+2×（8a+8）×（﹣2）+（8a+8）＝16
整理得，8a+8＝16
解得：a＝1；
（3）已知等式整理得：m＝2x2+4x+2，n＝x++x＝4x，
∴m﹣n＝2x2+2＞0，
∴m＞n．
【点睛】此题考查了新定义下的运算问题，解题的关键是利用规定的运算方法进行计算．
变式8-2．（2023秋·江苏·七年级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
答案:(1)5
(2)
分析：（1）根据新定义，直接代入计算即可；
（2）根据新定义，得到，得到x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式＝；
（2）
根据题中的新定义化简得：，
∴6x-3=x，
移项合并得：5x=3，
解得：．
【点睛】本题考查了新定义问题，准确理解新定义，并根据新定义进行计算和解方程是解题的关键．
变式8-3．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）对于任意有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定，解决下列问题：
(1)有理数对______；
(2)若有理数对，则______；
(3)当满足等式中的x是整数时，求整数y的值．
答案:(1)-14
(2)6
(3)或或或或或
分析：（1）根据题目中的法则即可运算；
（2）根据法则表达出(−3，x)⊗(-2，4)，再解方程即可；
（3）根据法则表达出(1，x−1)⊗(x−2y，2y)，列出方程，再根据x是整数，求出y的值即可．
(1)
解：；
(2)
解：，，解得；
(3)
解：由得，即，
∵x是整数，∴或或，
∴或或或或或．
【点睛】本题考查了新定义下的有理数运算问题，解题的关键是掌握题中新定义的运算法则．
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