数学七年级下册9.3 一元一次不等式组达标测试
展开一元一次不等式组的解集概念:一般地,几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法(a)b):
不等式解集在数轴上的表示方法:含≥或≤,用实心圆点,含>或<用空心圆圈:
【注意】
1)在求不等式组的解集的过程中,通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2)利用数轴表示不等式组解集时,要把几个不等式的解集都表示出来,不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤:
求出不等式组中各不等式的解集。
将各不等式的解决在数轴上表示出来。
在数轴上找出各不等式解集的公共部分,这个公共部分就是不等式组的解集。
【题型一】求一元一次不等式组解集
【典题】(2023春·四川泸州·七年级统考期末)如图,是一个不等式组的解集在数轴上的表示,则该不等式组的解集是( )
A.-1
1.()(2023春·安徽合肥·七年级统考期末)不等式组的解集在数轴上表示为( )
A.B.
C.D.
2.()(2023春·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考期末)已知点在第二象限,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3.()(2023春·广西崇左·七年级校考期中)下列不等式组,无解的是( )
A.B.C.D.
4.()(2023春·四川南充·七年级统考期末)不等式组的解集是( )
A.﹣1≤x<1B.﹣1<x≤1C.x≤﹣1D.x>1
【题型二】求一元一次不等式组整数解
【典题】(2023春·四川宜宾·七年级校考期中)已知不等式组的解集如图所示,则不等式组的整数解个数为( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
巩固练习
1.()(2023春·四川眉山·七年级校考期末)不等式- ≤1与不等式5x-1<3(x+1)所组成的不等式组的整数解的个数是( )
A.0B.2C.3D.4
2.()(2023春·陕西商洛·七年级统考期末)不等式组的非负整数解为( )
A.个B.个C.个D.个
3.()(2023春·河南南阳·七年级统考期末)若不等式组 的最小整数解是,最大整数解是b,则( )
A.2B.C.4D.
【题型三】由一元一次不等式组的解集求参数
【典题】(2023春·河南新乡·七年级校考期中)已知不等式组的解集如图所示(点没标出,数轴单位长度为1),则的取值为( )
A.2B.3C.4D.5
巩固练习
1.()(2023春·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期末)若不等式组 有解,则m的取值范围是( ).
A.B.C.D.
2.()(2023春·云南玉溪·七年级统考期末)若不等式组只有两个整数解,则m的取值范围是( )
A.1≤m<2B.1<m≤2C.1≤m≤2D.m<2
3.()(2023春·黑龙江七台河·七年级统考期末)关于的不等式组无解,那么的取值范围是 ( )
A.≤-1B.<1C.-1<≤0D.-1≤<0
【题型四】列一元一次不等式组
【典题】(2023春·云南昆明·七年级昆明市实验中学校考期中)在平面直角坐标系中,若点在第二象限,且为负整数,则点坐标为( )
A.B.C.D.
巩固练习
1.()(2023春·江苏扬州·七年级校考期末)如图,按下面的程序进行运算,规定:程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算,若运算进行了3次才停止,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
2.()(2023春·山东济宁·七年级统考期末)如果点P(x-4,x+3)在平面直角坐标系的第二象限内,那么x的取值范围在数轴上可表示为( )
A.B.
C.D.
3.()(2023春·全国·七年级期末)如果点P(2x+6,x-4)在平面直角坐标系的第四象限内,那么x的取值范围在数轴上可表示为
A.B.
C.D.
【题型五】一元一次不等式组的应用
【典题】(2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中)在重庆市求精中学第12届艺术节“啦啦操”比赛活动中,初一某班级有16人参加,现需购买比赛服装,已知男生的服装一套120元,女生的服装一套140元.
(1)若该班级购买服装共用了2160元,问该班级参加比赛的男生、女生各多少人?
(2)依据本次比赛要求,每个班级参加啦㕸操比赛的队伍中至少有6名男生,且女生人数不少于8人.购买服装时商家承诺:若男生或女生的服装购买数量达到8件及以上,则该种类服装的价格可以打八折优惠.请你设计一个方案确定比赛队伍中的男女生人数,使得购买比赛服装的费用最低?
巩固练习
1.()(2023春·江苏盐城·七年级校考期中)为举办蔬菜博览会,某地有关部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大道两侧,搭配每个造型所需花卉情况如下表所示:
结合上述信息,解答下列问题
(1)设需要搭配x个A种造型,则需要搭配_____个B种造型;
(2)符合题意的搭配方案有哪几种?
(3)若搭配一个A种造型的成本为1000元,搭配一个B种造型的成本为1200元,试说明选用(2)中哪种方案成本最低?
2.()(2023春·四川泸州·七年级统考期末)我县在市政改造绿化过程中,决定购买A,B两种树对某路段进行绿化改造,若购买A种树3棵,B种树4棵,需要3750元;购买A种树4棵,B种树2棵,需要3000元.
(1)求购买A,B两种树每棵各需多少元?
(2)市政部门准备购进这两种树共100棵,且用于购买这两种树的资金不低于52500元,考虑到绿化效果,购进A种树不能少于48棵.有哪几种购买方案.
3.()(2023春·甘肃陇南·七年级统考期末)红瓜子和萝卜干是某地的土特产,小华去市场购买了6千克红瓜子和3千克萝卜干共用了108元;小平以同样的单价购买了5千克红瓜子和2千克萝卜干共用了88元.
(1)求红瓜子和萝卜干的单价分别是多少?
(2)已知小红想要购买红瓜子和萝卜干共20千克,如果她想购买红瓜子的千克数超过萝卜干的千克数的4倍,且她身上只有296元,请问她有哪几种购买方案?(红瓜子和萝卜干的千克数都取整数)
造型
甲
乙
A
90盆
30盆
B
40盆
100盆
9.3 一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念:一般地,几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法(a)b):
不等式解集在数轴上的表示方法:含≥或≤,用实心圆点,含>或<用空心圆圈:
【注意】
1)在求不等式组的解集的过程中,通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2)利用数轴表示不等式组解集时,要把几个不等式的解集都表示出来,不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤:
求出不等式组中各不等式的解集。
将各不等式的解决在数轴上表示出来。
在数轴上找出各不等式解集的公共部分,这个公共部分就是不等式组的解集。
【题型一】求一元一次不等式组解集
【典题】(2023春·四川泸州·七年级统考期末)如图,是一个不等式组的解集在数轴上的表示,则该不等式组的解集是( )
A.-1
分析:根据图形,即可解答.
【详解】解:由图可知:
该不等式组的解集是:0
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键.
巩固练习
1.()(2023春·安徽合肥·七年级统考期末)不等式组的解集在数轴上表示为( )
A.B.
C.D.
答案:A
分析:求出不等式组的解集,然后问题可求解.
【详解】解:,
由①得:;
由②得:,
∴原不等组的解集为,;
在数轴上表示为
故选A.
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法,熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.
2.()(2023春·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考期末)已知点在第二象限,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案:D
分析:根据第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0,列不等式组,计算求解即可.
【详解】解:∵点在第二象限,
∴,
解得,
∴a的取值范围是.
故选D.
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中象限点坐标的特征,解一元一次不等式组.解题的关键在于明确第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0.
3.()(2023春·广西崇左·七年级校考期中)下列不等式组,无解的是( )
A.B.C.D.
答案:D
分析:根据不等式组的解集的求解方法进行求解即可.
【详解】解:A、,解得,解集为:,故不符合题意;
B、,解得,解集为:,故不符合题意;
C、,解得,解集为:,故不符合题意;
D、,解得,无解,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了求不等式组的解集,熟知“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”取不等式组的解集是关键.
4.()(2023春·四川南充·七年级统考期末)不等式组的解集是( )
A.﹣1≤x<1B.﹣1<x≤1C.x≤﹣1D.x>1
答案:A
分析:分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
【详解】解:,
由①得,,
由②得,,
所以,不等式组的解集为:,
故选:A.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
【题型二】求一元一次不等式组整数解
【典题】(2023春·四川宜宾·七年级校考期中)已知不等式组的解集如图所示,则不等式组的整数解个数为( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
答案:C
分析:直接由数轴可得整数解,从而得出答案.
【详解】解:由数轴知,不等式组的整数解为、0、1、2,
故选:C.
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解,解题的关键是掌握不等式组解集在数轴上的表示.
巩固练习
1.()(2023春·四川眉山·七年级校考期末)不等式- ≤1与不等式5x-1<3(x+1)所组成的不等式组的整数解的个数是( )
A.0B.2C.3D.4
答案:C
分析:分别求出不等式组中的两个不等式的解集,利用数轴找出其解集的公共部分,进而得出不等式组的解集,再得出整数解即可.
【详解】解:由题意得,
,
解不等式①得,x≥-1,
解不等式②得,x<2,
把两个不等式的解集在一条数轴上表示如下:
所以不等式组的解集为-1≤x<2,
不等式组的整数解有-1,0,1,共3个,
故选:C.
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解,理解整数解的定义,掌握一元一次不等式组的解法是正确解答的前提.
2.()(2023春·陕西商洛·七年级统考期末)不等式组的非负整数解为( )
A.个B.个C.个D.个
答案:D
分析:分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,最后即可求出非负整数解的个数.
【详解】解:,
解不等式①得,解得:,
解不等式②得,解得:,
故不等式组的解集为:.
∴不等式组的非负整数解有:0,1,2,3,4.
∴不等式组的非负整数解有5个.
故选:D.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
3.()(2023春·河南南阳·七年级统考期末)若不等式组 的最小整数解是,最大整数解是b,则( )
A.2B.C.4D.
答案:B
解析:求出不等式组的最大与最小整数解即可得到解答.
【详解】解:原不等式组为:,
解①得:x<3,
解②得x>-1.5,
∴原不等式组的解集为:-1.5
∴a+b=-1+2=1,
故选B.
【点睛】本题考查不等式组的应用,熟练求解不等式组的整数解是解题关键.
【题型三】由一元一次不等式组的解集求参数
【典题】(2023春·河南新乡·七年级校考期中)已知不等式组的解集如图所示(点没标出,数轴单位长度为1),则的取值为( )
A.2B.3C.4D.5
答案:C
分析:先求出不等式的解集,再结合数轴进行求解即可.
【详解】解:由得:;
由得:,
由数轴可知不等式的解集为:,
∴,
∴;
故选C.
【点睛】本题考查根据一元一次不等式组的解集求字母的值.用字母正确的表示出不等式的解集是解题的关键.
巩固练习
1.()(2023春·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期末)若不等式组 有解,则m的取值范围是( ).
A.B.C.D.
答案:B
分析:根据不等式组有解,可得,即可求解.
【详解】解:∵不等式组有解,
∴.
故选:B
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组,熟练掌握解不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小大小小大中间找,大大小小找不到(无解)是解题的关键.
2.()(2023春·云南玉溪·七年级统考期末)若不等式组只有两个整数解,则m的取值范围是( )
A.1≤m<2B.1<m≤2C.1≤m≤2D.m<2
答案:B
分析:先解出第二个不等式的解集,再根据不等式组只有两个整数解,确定m的取值范围.
【详解】解:解不等式得,
解不等式得,
,
不等式组只有两个整数解,
m的取值范围是1<m≤2,
故选:B.
【点睛】本题考查解一元一次不等式(组),不等式组的整数解等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
3.()(2023春·黑龙江七台河·七年级统考期末)关于的不等式组无解,那么的取值范围是 ( )
A.≤-1B.<1C.-1<≤0D.-1≤<0
答案:A
分析:先求出每一个不等式的解集,然后再根据不等式组无解得到有关m的不等式,就可以求出m的取值范围了.
【详解】解:,
解不等式①得:x
由于原不等式组无解,所以m≤-1,
故选A.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解问题,熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大,小小取小,大小小大中间找,大大小小无处找”是解题的关键.
【题型四】列一元一次不等式组
【典题】(2023春·云南昆明·七年级昆明市实验中学校考期中)在平面直角坐标系中,若点在第二象限,且为负整数,则点坐标为( )
A.B.C.D.
答案:B
分析:根据题意易得关于m的不等式组,解得,由为负整数,即可求出点P坐标.
【详解】点在第二象限,
,
解得:,
为负整数,
,即.
故选:B.
【点睛】本题主要考查象限中点的坐标,熟记象限的符号特点及根据题意列出不等式组是解题的关键.
巩固练习
1.()(2023春·江苏扬州·七年级校考期末)如图,按下面的程序进行运算,规定:程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算,若运算进行了3次才停止,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案:A
分析:根据程序运算进行了3次才停止,即可得出关于x的一元一次不等式组:,解之即可得出x的取值范围.
【详解】解:依题意,得:
,
由①得:
,
由②得:>,
>
>,
所以不等式组的解集为:.
故选:A
【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用,找准不等关系,正确列出一元一次不等式组是解题的关键.
2.()(2023春·山东济宁·七年级统考期末)如果点P(x-4,x+3)在平面直角坐标系的第二象限内,那么x的取值范围在数轴上可表示为( )
A.B.
C.D.
答案:C
分析:根据点的位置得出不等式组,求出不等式组的解集,即可得出选项.
【详解】解:∵点P(x-4,x+3)在平面直角坐标系的第二象限内,
∴,
解得:-3<x<4,
在数轴上表示为:,
故选C.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集和点的坐标等知识点,能求出不等式组的解集是解此题的关键.
3.()(2023春·全国·七年级期末)如果点P(2x+6,x-4)在平面直角坐标系的第四象限内,那么x的取值范围在数轴上可表示为
A.B.
C.D.
答案:C
分析:根据平面直角坐标系中各象限点的特征,判断其所在象限,四个象限的符号特征分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).
【详解】由点P(2x+6,x-4)在平面直角坐标系的第四象限内,得.
解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用口诀求出这些解集的公共部分:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了(无解).因此,.
【点睛】不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.故选C.
【题型五】一元一次不等式组的应用
【典题】(2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中)在重庆市求精中学第12届艺术节“啦啦操”比赛活动中,初一某班级有16人参加,现需购买比赛服装,已知男生的服装一套120元,女生的服装一套140元.
(1)若该班级购买服装共用了2160元,问该班级参加比赛的男生、女生各多少人?
(2)依据本次比赛要求,每个班级参加啦㕸操比赛的队伍中至少有6名男生,且女生人数不少于8人.购买服装时商家承诺:若男生或女生的服装购买数量达到8件及以上,则该种类服装的价格可以打八折优惠.请你设计一个方案确定比赛队伍中的男女生人数,使得购买比赛服装的费用最低?
答案:(1)男生4人,女生12人
(2)当男女生都是8人时,服装费用最低
分析:(1)设该班级参加比赛的男生、女生各x人,y人,然后根据16人的服装费用为2160元列出方程组求解即可;
(2)设参加比赛的男生有m人,根据至少有6名男生,且女生人数不少于8人求出,再分别求出∴当时,当时,当时的费用即可得到答案 .
【详解】(1)解:设该班级参加比赛的男生、女生各x人,y人,
由题意得:,
解得,
∴该班级参加比赛的男生有4人,女生有12人,
答;该班级参加比赛的男生有4人,女生有12人;
(2)解:设参加比赛的男生有m人,
由题意得,
∴,
∴当时,费用为元;
当时,费用为元;
当时,费用为元;
∵,
∴当男女生都是8人时,服装费用最低.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,一元一次不等式组的实际应用,正确理解题意找到对应的等量关系和不等关系是解题的关键.
巩固练习
1.()(2023春·江苏盐城·七年级校考期中)为举办蔬菜博览会,某地有关部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大道两侧,搭配每个造型所需花卉情况如下表所示:
结合上述信息,解答下列问题
(1)设需要搭配x个A种造型,则需要搭配_____个B种造型;
(2)符合题意的搭配方案有哪几种?
(3)若搭配一个A种造型的成本为1000元,搭配一个B种造型的成本为1200元,试说明选用(2)中哪种方案成本最低?
答案:(1)(50-x)
(2)第一方案:A种造型32个,B种造型18个;
第二种方案:A种造型31个,B种造型19个;
第三种方案:A种造型30个,B种造型20个;
(3)第一种方案成本最低,最低成本是53600.
分析:(1)根据和差关系即可求解;
(2)根据“3600盆甲种花卉”,“2900盆乙种花卉”列不等式求解,取整数值即可;
(3)分方案分别计算成本,依此进行解答即可.
(1)
解:设需要搭配x个A种造型,则需要搭配(50-x)个B种造型;
故答案为:(50-x);
(2)
解:依题意有,
解得30≤x≤32,
所以x=30或31或32.
第一方案:A种造型32个,B种造型18个;
第二种方案:A种造型31个,B种造型19个;
第三种方案:A种造型30个,B种造型20个;
(3)
解:第一方案成本为,32×1000+18×1200=53600;
第二方案成本为,31×1000+19×1200=53800;
第三方案成本为,30×1000+20×1200=54000;
53600<53800<54000;
∴第一种方案成本最低,最低成本是53600.
【点睛】此题考查一元一次不等式组的实际运用,找出题目蕴含的不等关系是解决问题的关键.
2.()(2023春·四川泸州·七年级统考期末)我县在市政改造绿化过程中,决定购买A,B两种树对某路段进行绿化改造,若购买A种树3棵,B种树4棵,需要3750元;购买A种树4棵,B种树2棵,需要3000元.
(1)求购买A,B两种树每棵各需多少元?
(2)市政部门准备购进这两种树共100棵,且用于购买这两种树的资金不低于52500元,考虑到绿化效果,购进A种树不能少于48棵.有哪几种购买方案.
答案:(1)购买A种树每棵需要450元,B种树每棵需要600元
(2)有三种购买方案,第一种:A种树购买48棵,B种树购买52棵;第二种:A种树购买49棵,B种树购买51棵;第三种:A种树购买50棵,B种树购买50棵
分析:(1)设购买A种树每棵需要x元,B种树每棵需要y元,根据“购买A种树2棵,B种树3棵,需要2700元;购买A种树4棵,B种树5棵,需要4800元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购进A种树m棵,则购进B种树(100-m)棵,根据购进A种树不能少于48棵且购买这两种树的资金不低于52500元,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为整数即可得出各购买方案.
【详解】(1)解:(1)设购买A种树每棵需要x元,B种树每棵需要y元,
依题意,得:,
解得:.
答:购买A种树每棵需要450元,B种树每棵需要600元.
(2)设购进A种树m棵,则购进B种树(100-m)棵,
依题意,得:,
解得:48≤m≤50.
∵m为整数,
∴m为48,49,50.
当m=48时,100-m=100-48=52;
当m=49时,100-m=100-49=51;
当m=50时,100-m=100-50=50.
答:有三种购买方案,第一种:A种树购买48棵,B种树购买52棵;第二种:A种树购买49棵,B种树购买51棵;第三种:A种树购买50棵,B种树购买50棵.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
3.()(2023春·甘肃陇南·七年级统考期末)红瓜子和萝卜干是某地的土特产,小华去市场购买了6千克红瓜子和3千克萝卜干共用了108元;小平以同样的单价购买了5千克红瓜子和2千克萝卜干共用了88元.
(1)求红瓜子和萝卜干的单价分别是多少?
(2)已知小红想要购买红瓜子和萝卜干共20千克,如果她想购买红瓜子的千克数超过萝卜干的千克数的4倍,且她身上只有296元,请问她有哪几种购买方案?(红瓜子和萝卜干的千克数都取整数)
答案:(1)红瓜子的单价为16元/千克,萝卜干的单价为4元/千克
(2)有两种购买方案:方案一:购买红瓜子17千克,购买萝卜干3千克;方案二:购买红瓜子18千克,购买萝卜干2千克
分析:(1)设红瓜子的单价为x元,萝卜干的单价为y元,根据购买了6千克红瓜子和3千克萝卜干共用了108元,小平以同样的单价购买5千克红瓜子和2千克萝卜干共用了88元列出方程组;
(2)设购买红瓜子a千克,购买萝卜干b千克,根据购买红瓜子的千克数超过萝卜干的千克数的4倍,但她身上只有296元列出不等式组并解答.
(1)
设红瓜子的单价为x元/千克,萝卜干的单价为y元/千克;
依题意,得,解得 ,
答:红瓜子的单价为16元/千克,萝卜干的单价为4元/千克;
(2)
设购买红瓜子a千克,则购买萝卜干千克.
依题意,得
解得,所以a可以取17、18.
则有两种购买方案:
方案一:购买红瓜子17千克,购买萝卜干3千克;
方案二:购买红瓜子18千克,购买萝卜干2千克.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用,二元一次不等式组的应用.解题的关键是读懂题意,找到题中的数量关系.
造型
甲
乙
A
90盆
30盆
B
40盆
100盆
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