2024年安徽省合肥市长丰县中考二模数学试题（学生版+教师版）

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注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：D．
2. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的名称是（ ）
A. 圆锥B. 三棱柱C. 三棱锥D. 正方体
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体；掌握常见几何体的三视图是解决本题的突破点．
有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体是三棱柱．
【详解】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱．
故选：B．
3. 2023年全国粮食总产量约为13908亿斤，13908亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，
表示时关键要确定的值以及的值．
【详解】解：13908亿，
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 在下列四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，逐项分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
6. 如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的长为（ ）
A. 8B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理与逆定理，先利用平行四边形的性质求出，，然后利用勾股定理的逆定理判断，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解∶在中， ，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
故选∶D．
7. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项排查即可．
【详解】解：∵抛物线开口方向向下
∴a＜0，
∵抛物线对称轴
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴
∴c＞0
∴的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限
∴D选项满足题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图象，牢记各种函数图象的特点成为解答本题的关键．
8. 2024年春晚的魔术表演备受瞩目，魔术师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌．小明受此启发，拿出两张背面完全相同的扑克牌（正面均不同），将这两张扑克牌对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好能合成同一张牌的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及小明抽到的两个半张扑克牌恰好能合成同一张牌的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：将四个半张扑克牌分别记为，，，，其中和能合成同一张牌，和能合成同一张牌．
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两个半张扑克牌恰好能合成同一张牌的结果有：，，，，共4种，
小明抽到的两个半张扑克牌恰好能合成同一张牌的概率是．
故选：C．
9. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接于点E，若，，，则直径的长为（ ）
A. B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理等知识，连接，交于点F，求出，，证明，则，解得，求出，证明，则，即可求出．
【详解】解：连接，交于点F，
∵，，，
∴，
∵是的直径，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
解得
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故选：A
10. 如图，在中，，，，，分别是边上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，解直角三角形，延长到，使，连接，过点作于点，推出的最小值是，再求出的长即可．
【详解】解：延长到，使，连接，过点作于点，如图，
，
点与点关于轴对称，
，
，
的最小值是，
，，
，
在中，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
【详解】解：，
移项得：，
合并同移项得：，
故答案：．
12. 请进行因式分解：_____________．
【答案】．
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解．
【详解】原式=,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是因式分解，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
13. 如图，在菱形中，是坐标原点，点在轴上，点，都在第一象限，反比例函数的图象经过点，与线段交于点，，则的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的值的几何意义，正弦的定义；根据和求出点的坐标，再求出菱形面积，由即可求解．
【详解】解：如图，作轴，垂足为，
，
∴设，则
∴
点在反比例函数图象上，
，
或舍去，
，，
，
．
故答案为：．
14. 如图，D，E，F是的边上的点，且满足，，，连接，过点C作，垂足为H．
（1）的度数是__________．
（2）若，，则__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的难点．
（1）先根据邻补角定义及得，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，同理，由此可得的度数；
（2）在上截取，连接，则，证和全等得，再证和全等得，从而得，然后根据等腰三角形的性质可得的长．
详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
，
同理：，
，
故答案为：．
（2）在上截取，连接，如下图所示：
∵，
∴，
在和中，
，
，
，
由（1）可知：，
，
即，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．根据乘方、算术平方根、负整数指数幂的性质计算即可求解．
【详解】解：
．
16. 健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和单位铁质．
（1）依据题意，填写表格．
（2）如果一个运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？
【答案】（1）见解析 （2）每餐含甲原料克，乙原料克时恰好能满足运动员的需要
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．
（1）由题意知，甲原料x/克中，所含蛋白质/单位，所含铁质/单位；乙原料/克中，所含蛋白质/单位，所含铁质/单位，然后填表即可；
（2）设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要，依题意，得，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
解：由题意知，甲原料x/克中，所含蛋白质/单位，所含铁质/单位；
乙原料/克中，所含蛋白质/单位，所含铁质/单位；
填表如下；
【小问2详解】解：设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要，
依题意，得，
解得．
∴每餐含甲原料克，乙原料克时恰好能满足运动员的需要．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长都为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和点．
（1）画出平移后得到的，其中点A的对应点为．
（2）画出点B关于直线的对称点D，并指出可以由绕点A经过怎样的旋转得到．
【答案】（1）见详解 （2）见详解；是由绕点按逆时针方向旋转得到
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．
（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可；
（2）根据轴对称变换的性质作出图形．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，点即为所求．是由绕点按逆时针方向旋转得到的．
18. 观察下列各等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
（1）根据你发现规律，请写出第4个等式：__________________．
（2）请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式规律是解题的关键．
（1）根据题中给出的等式的规律即可写出第4个等式；
（2）根据（1）中等式的规律即可写出第n个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可．
【小问1详解】
解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
故第4个等式为：．
【小问2详解】
第n个等式：．
证明：左边，
右边．
左边=右边，
等式成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 2023年中国航天共发射了67次火箭，成功地将200多个航天器送入太空，下图是一枚火箭从地面L处垂直发射，当火箭到达A处时，在地面R处的雷达站测得，仰角是，后，火箭到达B处，此时，在R处测得仰角为，求这枚火箭从点A到点B的平均速度．
（精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系求出的长，从而进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，，，，，
．
在中，，，，
，
，
这枚火箭从点A到点B的平均速度是．
20. 如图，是的直径，C是上一点，与相切于点C，交的延长线于点D，于点E．
（1）求证：．
（2）若，，求直径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由切线的性质得出，于是有，由得出，从而推出，继而证得，又为公共角，于是根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证：
（2）根据，即可求出的长，继而求出的长，的长、再证得，即可求出的长，最后根据勾股定理即可求出直径的长．
【小问1详解】
证明：如图1，连接．
与相切于点C，
，即．
，
，
，
．
，
．
，
．
【小问2详解】
如图2，连接．
，，
．
在中，，
∵，
．
在中，，
，
．
是的直径，
，
，
．
由勾股定理，得．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，锐角三角函数，圆周角定理及推论，切线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了宣传防范电信网络诈骗，某中学对九年级480名学生举行了“防范电信网络诈骗”知识竞赛，现随机从九（1）班、九（2）班中抽取相同人数的学生，对学生的竞赛成绩进行整理（成绩均在60分以上），将成绩分为（分数），（分数），C（分数），D（分数）四个等级，并制作如下统计图．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）（1）班抽取的学生人数是__________人，（2）班抽取的学生的竞赛成绩为B等级的人数占（2）班抽取学生人数的百分比是__________．
（2）（1）班抽取的竞赛成绩的中位数落在__________等级，（2）班抽取的竞赛成绩的中位数落在__________等级．
（3）若成绩不低于80分为优良，估计九年级全体学生竞赛成绩为优良的学生人数．
【答案】（1）20；
（2）B；C （3）288人
【解析】
【分析】（1）把条形统计图中的数据相加，得出一班抽取的学生人数；再用整体1减去其它所占的百分比，即可得出二班抽取的学生的竞赛成绩为等级的人数占二班抽取学生人数的百分比；
（2）根据中位数的定义即可得出答案；
（3）先求出抽查中成绩不低于80分的人数，再用总人数乘以成绩不低于80分的人数所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：一班抽取的学生人数是：（人，
二班抽取的学生的竞赛成绩为等级的人数占二班抽取学生人数的百分比是：，
故答案为：20，；
【小问2详解】
解：各班各抽取20人，中位数是第10、11个数的平均数，
一班抽取的竞赛成绩的中位数落在等级，二班抽取的竞赛成绩的中位数落在等级；
故答案为：，；
【小问3详解】
解：根据题意得：
（人，
（人，
答：估计九年级全体学生竞赛成绩为优良的学生人数有288人．
【点睛】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、中位数、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
七、（本题满分12分）
22. 已知E是外一点，D是所在平面内一点，且满足，．
（1）如图1，点D在外，求证：．
（2）如图2，点D在边上，与交于点F，若，，，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）先证明，则，再证明，即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，，得到，证明，进而即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
．
，
，
．
【小问2详解】
，，
，，
，
．
，，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点E的横坐标是，求点M的坐标．
（3）若，求四边形的面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式的确定、一次函数解析式的确定、中点坐标公式，三角形面积的计算．解题的关键是求出两个函数图像的交点坐标．
（1）利用交点式求抛物线解析式即可．
（2）先将代入抛物线解析式得出点E坐标，将点E得出直线解析式，联立抛物线解析式与直线解析式得出点F坐标，根据点M是线段的中点即可求出．
（3）用题（2）的方法求出点的坐标（用含的式子表示），然后把四边形分割成几个三角形来求面积，再根据来求这个面积的最小值．
【小问1详解】
解：把点，代入，
得
解方程组，得
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
把代入，得，
点E的坐标是．
把点代入，得，，
直线的解析式是．
联立方程组得，，
，，
点M的坐标是．
【小问3详解】
把代入，得，
点C的坐标是，．
，点D的坐标是．
把与联立方程组，得，
，．
如图，连接．
四边形的面积为：
．
，
当时，四边形的面积有最小值，最小值为．项目
甲原料x/克
乙原料y/克
其中所含蛋白质/单位
____________
____________
其中所含铁质/单位
____________
____________
项目
甲原料x/克
乙原料y/克
其中所含蛋白质/单位
y
其中所含铁质/单位