福建省南平市浦城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效．
一、选择题（本大题每小题4分，共40分）
1. 下列三个数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 5，12，13
C. 6，8，9D. 7，12，13
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
【详解】解：A、∵，
∴2，3，4为三角形的三边长不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，
∴5，12，13为三角形的三边长能构成直角三角形，故B符合题意；
C、∵，
∴6，8，9为三角形三边长不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，
∴7，12，13为三角形的三边长不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：B．
2. 二次根式中字母x的取值不可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可．
【详解】解：由二次根式有意义的条件得：，
解得：，
∴字母x的取值不可以是，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义被开方数非负是解题的关键．
3. 如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在外选一点C，连接，并分别取线段的中点E、F，测得，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明是的中位线，利用三角形中位线定理进行求解即可．
【详解】解：∵E、F是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. +＝B. 2﹣＝2C. ×＝D. ÷＝4
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简判断即可得出结论．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、2-=，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、×=正确，故此选项符合题意；
D、÷=2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
5. 当时时，函数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求函数值，把代入函数式计算即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：把代入得，，
故选：．
6. 下列二次根式中最简根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．
本题直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
7. 下列说法，不正确的是（ ）
A. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
D、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题关键．
8. 若正比例函数的图象上有一点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征看得出y1=（2k-1）x1，进而可得出x1y1=（2k-1）x12，再由x12≥0，x1y1＜0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数y=（2k-1）x的图象上有一点A（x1，y1），
∴y1=（2k-1）x1，
∴x1y1=（2k-1）x12．
又∵x12≥0，x1y1＜0，
∴2k-1＜0，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征结合x1y1＜0，找出关于k的一元一次不等式是解题的关键．
9. 如图，D、E、F分别为Rt△ABC三边的中点，AB=，则CD和EF的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 与AB的大小有关
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CD＝AB，根据三角形中位线定理得到EF＝AB，等量代换得到答案．
【详解】解：在Rt△ACB中，D为AB的中点，
则CD＝AB，
∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，
∴CD＝EF，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．
【详解】∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF=DE，
∴EF=CF=DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，
故选D．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．
二、填空题（本大题每小题4分，共24分）
11. 化简的结果为______ ．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
12. 平行四边形中，，则的度数为______．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补．先根据平行四边形的性质求出的度数，再根据平行四边形的邻角互补求出的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 二次根式与 的的和为0，则的值为_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键．
详解】解：由题意得
，
，，
解得：，，
；
故答案：．
14. 菱形的对角线长分别为菱形的边长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理．根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，利用勾股定理可求得其边长．
【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，
∴菱形的边长，
故答案为：．
15. 如图，将一个矩形纸片按如图所示的方式折叠，则的度数是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质可得，根据折叠可得，即可求解．
【详解】解：∵矩形纸片的两边平行，
∴
∵
∴
故答案为：．
16. 已知，当分别取，，，，时，所对应值的总和是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，整式的加减，代数式求值，根据，依题意，分，两种情况讨论，求得的值，进而求得答案．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，
当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应y值的总和是．
故答案为：．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可求解；
（）利用平方差公式计算即可求解；
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：
，
；
【小问2详解】
解：
，
，
，
．
18. 如图，在正方形中，交于点O，点M，N分别在，上，且，
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据正方形性质，得出，，通过证明，即可求证．
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形对角线相等且垂直平分．
19. 已知是关于的正比例函数，当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）若点是该函数图象上的一点，求a的值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的定义与性质，待定系数法求解析式；
（1）设正比例函数的解析式为：，将点代入解析式即可求解；
（2）将代入（1）中解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：设正比例函数的解析式为：，
将点代入解析式可得：，
解得：，
正比例函数解析式为：，
【小问2详解】
把代入得：
，
解得：．
20. 如图，在中，，垂足为D．．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，根据垂直定义得出，根据勾股定理求出和，求出，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可, 能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【详解】证明：，
，
由勾股定理得：，，
，，
，
，
，
是直角三角形，
．
21. 在解决问题已知，化简ɑ的值时，小明是这样分析与解答的：．
（1）化简：；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式分母有理化化简；
（1）分子分母同时乘以（）即可求解；
（2）由（1）同理可进行化简，化为二次根式的加减，即可求解；
理解分母有理化的方法是简体的关键．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：原式
．
22. 如图，在四边形中，，，，．
（1）求证；四边形为平行四边形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析 （2）120
【解析】
【分析】（1）在中，由勾股定理求，则可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，结论得证；
（2）根据平行四边形的面积为计算求解即可．
【小问1详解】
证明：在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：由（1）可知平行四边形的面积为，
∴四边形的面积为120．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行四边形的面积、勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23. 如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，客船与货船的速度比为，出发1小时后，客船比货船多走了10海里．客船沿北偏东25°方向航行，2小时后货船到达处，客船到达处，若此时两船相距100海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求货船航行的方向．
【答案】（1）客船与货船的速度分别是40海里/小时和30海里/小时
（2）货船航行的方向为南偏东
【解析】
【分析】（1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，依据客船1小时比货船多走10海里，列方程求解即可；
（2）依据，可得是直角三角形，且，再根据货船航行方向，即可得到客船航行的方向．
【小问1详解】
设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，根据题意得
解得
∴，
即客船与货船的速度分别是40海里/小时和30海里/小时；
【小问2详解】
∵海里，海里，海里
∴
∴
∵
∴
即货船航行的方向为南偏东
【点睛】本题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出的长是解题的关键．
24. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．

（1）求证：；
（2）当D在中点时，请解答下面两个问题：
①证明：四边形为菱形．
②当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）①求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可；
②当，四边形是正方形．根据有一个角为直角的菱形是正方形即可得证．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
①∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D为中点，
∴，
∴四边形是菱形；
②当时，
∵，
∴，
由①可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25. 【概念呈现】：
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】如图①，若，则四边形______（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，______；
（3）【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，请直接写出的长．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）或；
（3），理由见解析；
（4）或．
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性。
（1）利用勾股定理的逆定理证明从而是等腰直角三角形，又因为 是等腰三角形，即可得出结论；
（2）由题意知是等腰三角形，当时，由勾股定理可求得，当时，由勾股定理可求得；
（3）利用证明得；
（4）分和，分别构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题．
【小问1详解】
解：
，，
，
，
是等腰直角三角形，
是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形．
故答案为：是；
【小问2详解】
解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，
因为，，，
等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：
当时，由勾股定理得：
综上：或．
故答案为：2或4；
【小问3详解】
解：由题意知∶和都是等腰直角三角形，
∴
∴∠ADC=∠EDB
∴
∴．
【小问4详解】
解：由题意知：是等腰直角三角形，当时，如图，作， ， 连接
由（3）同理得
是等腰直角三角形， ，
，由勾股定理得
，
当时， 如图，
由（3）同理得
是等腰直角三角形，
由勾股定理得
，
综上：或．