北京市第一零九中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4， 8， 12B. 6， 8， 10C. 4， 6， 8D. 4， 5， 6
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）．
A. 18mB. 24mC. 28mD. 30m
4. 在下列命题中，正确的是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 有一个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形
C. 有两边平行的四边形是平行四边形
D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
5. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A. ∠ABC＝90°B. AC⊥BDC. AB＝CDD. AB∥CD
6. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（ ）
A. 8B. C. D. 12
7. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （ ）
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
8. 矩形的面积为，一边长是，那么矩形的对角线长是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，四边形 ABCD 是菱形，其中 A，B 两点坐标为A（0，3），B（4，0），则点 D 的坐标为（ ）
A. （0，1）B. （0，-1）C. （0，2）D. （0，－2）
10. 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（ ）
A. B. 5C. 6D. 9
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
12. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）

13. 已知，，那么代数式的值_____．
14. 在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是_______________．
15. 如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是____．
16. 现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了_______米的草坪，只为少走_______米的路．

17. 在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，线段，求作：平行四边形．
小明的作法如下：
如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧；
（2）以点A为圆心，长为半径画弧；
（3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．
老师说：“小明作法正确．”
请回答：四边形是平行四边形的依据是___________________________．
18. 中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为 _________ ．

三、解答题（本题共54分）
19. 计算：
（1）；
（2）
20. 如图，在中，，是对角线上的两个点，且，求证：四边形是平行四边形．

21. 如图，在中，，平分．四边形平行四边形，交于点，连接． 求证：四边形是矩形．
22. 如图，四边形中，，，，．求的度数．
23. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）连接AF，CE，若∠AFE=∠CFE，求证：四边形AFCE菱形．
24. 已知：如图，正方形中，对角线交点为O，E是上的一点，于G，交于F．求证：．
25. 阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：_______________________；

利用此数量关系解决以下问题：
（2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为_____________________；
（3）如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长．
26. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为；
（2）如图2，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
27. 在正方形中，点是边上一个动点，连结，，点，分别为，的中点，连结交直线于点E．
（1）如图1，当点与点重合时，的形状是_____________________；
（2）当点在点M的左侧时，如图2．
①依题意补全图2；
②判断的形状，并加以证明．
28. 如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”.
(1)在点P(1，2)，Q(2，－2)，N(，－1)中，是“垂点”的点为 ；
(2)点M(－4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值 ；
(3)如果“垂点矩形”的面积是，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标 ；
(4)如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为 .