人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.3平行线的性质(原卷版+解析)

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5.3 平行线的性质平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；几何符号语言：∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）ABCDEF1234性质2：两直线平行，内错角相等；几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）性质3：两直线平行，同旁内角互补.。几何符号语言：∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补模型一：铅笔头模型【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：证明： 【铅笔头模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 证明：变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=模型二：锯齿模型【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则证明：【锯齿模型变形】变式一：已知AB∥DE，则证明：变式二：若a∥b，则 【题型一】利用两直线平行判定同位角关系【典题1】（2023秋·湖南邵阳·七年级期末）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则（ ）A． B． C． D．巩固练习1．（）（2023秋·山西晋中·七年级期中）如图，直线的顶点在上，若，则（    ）A． B． C． D．2．（）（2023秋·浙江湖州·七年级期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（   ）A．40° B．43° C．45° D．47°3．（）（2023秋·四川达州·七年级校考期中）如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（     ）A．122° B．151° C．116° D．97°4．（）（2023秋·辽宁阜新·七年级期末）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为（　　）A．30° B．60° C．80° D．120°【题型二】利用两直线平行判定内错角关系【典题1】（2023秋·重庆·七年级校考期中）如图，，平分，若，则的度数为（　　）A． B． C． D． 巩固练习1（）（2023秋·云南曲靖·七年级校考期末）如图，平分，BE⊥AC，，图中与∠C互余的角有（   ）A．1个 B．2个C．3个 D．4个2．（）（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°，则∠DBC的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．125°3．（）（2023秋·山东济南·七年级期末）如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（    ）A．35° B．45° C．55° D．70°4．（）（2023秋·山东日照·七年级校考期中）把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（    ）A．15° B．20° C．25° D．30°【题型三】利用两直线平行判定同旁内角关系【典题1】（2023秋·广东深圳·七年级校考期中）如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（   ）A． B． C． D．巩固练习1（）（2023秋·四川达州·七年级校考期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝(   )A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠12（）（2023秋·河北石家庄期中）如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是（    ）A．154° B．126° C．116° D．54°3．（）（2023春·吉林长春期中）如图，．若，则的大小为（    ）A． B． C． D．4．（）（2023春·河南洛阳·七年级期末）直线，直线与，分别交于点，，．若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【题型四】根据平行线的性质求角的度数【典题1】（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝50°，则∠A的度数是（　　）A．40° B．50° C．80° D．90° 巩固练习1（）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，，若，则的度数为（ ）A． B．C． D．2．（）（2023秋·山东日照·七年级期中）如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数是(　　　)A． B． C．或 D．以上都不对3．（）（2023秋·广东佛山·七年级校考期中）把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=32°则下列结论正确的有(    )（1）∠C′EF=32°；（2）∠AEC=116°；（3）∠BGE=64°；（4）∠BFD=116°．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（）（2023秋·河北石家庄·七年级期中）如图：AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①OF平分∠BOD；②∠POE＝∠BOF；③∠BOE＝70°；④∠POB＝2∠DOF，其中结论正确的序号是（　  　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【题型五】平行线性质在实际生活中的应用【典题1】（2023秋·福建龙岩·七年级校考期中）如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（    ）A．右转 B．左转 C．右转 D．左转 巩固练习1()（2023秋·广东惠州·七年级校考期末）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为（　　）A．先右转50°，后右转40° B．先右转50°，后左转40°C．先右转50°，后左转130° D．先右转50°，后左转50°2．()（2023秋·吉林松原·七年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．3．()（2023秋·青海海东·七年级期中）如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的角度为，那么，为了使管道能够顺利对接，另一侧铺设的纵向连通管道与公路的角度为．________．【题型六】求平行线之间的距离【典题1】（2023秋·湖南株洲·七年级期末）已知直线，点在上，点，，在上，且，，，则与之间的距离为（    ）A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于 巩固练习1()（2023春·湖北宜昌·八年级期中）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（    ）A．AB∥PC B．△ABC的面积等于△BCP的面积C．AC＝BP D．△ABC的周长等于△BCP的周长2．()（2023秋·青海海东·八年级期中）如图，已知直线a // b // c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB=2，AC=6，则平行线b、c之间的距离是（     ）A．2 B．4 C．6 D．83．()（2023秋·湖南娄底·七年级期末）如图，直线，，，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离（   ）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm【题型七】铅笔头模型(解题方法：遇拐点作平行线)【典题1】如图，已知，，，则的度数是（    ）A．80° B．120°C．100° D．140° 巩固练习1()如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）A． B．C． D．2．()（2023秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　)A．55° B．60° C．65° D．70°3．()（2023秋·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　．4()（1）如图1，AM∥CN，求证：    ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．【题型八】锯齿模型【典题1】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ）A．70° B．65° C．35° D．50° 巩固练习1()如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ）A． B．C． D．2．()（2023秋·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．3．()（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）(1)问题发现：如图①，直线??//??，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠? +∠?= ∠???．请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作??//??， ∵ ??//??(已知)，??//??(辅助线的作法)． ∴ ??//??( )．∴ ∠? = ∠???( )∵ ??//??，∴ ∠? = ∠???(同理)． ∴ ∠? + ∠? = (等量代换)即∠? + ∠? = ∠???． (2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠? + ∠? = 360°−∠???，请说明理由． (3)解决问题：如图③，??//??，∠?=120°，∠???=80°，请直接写出∠?的度数．5.3 平行线的性质平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；几何符号语言：∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）ABCDEF1234性质2：两直线平行，内错角相等；几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）性质3：两直线平行，同旁内角互补.。几何符号语言：∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补模型一：铅笔头模型【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°证明：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线） ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2 ∴∠B+∠C+∠E = 360° 【铅笔头模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 540°证明：分别过点M、点N作OM∥AB,PN∥DE ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥OM∥PN ∴∠B+∠1=180°①，∠2+∠3=180°②，∠E+∠4=180°③①+②+③得，∠B+∠1+∠2 +∠3+∠4+∠E = 540°，则∠B+∠BMN+∠MNE+∠E= 540°变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）模型二：锯齿模型【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C证明：过点C作CK∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ② ①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C【锯齿模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N证明：分别过点C，点M，点N分别作CO∥AB，PM∥AB，NQ∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CO∥PM∥NQ ∴∠B=∠1 ①，∠3=∠2 ②，∠4=∠5 ③，∠E=∠6 ④ ①+②+③+④得∠B+∠3+∠4+∠E=∠1+∠2+∠5+∠6 即∠B+∠M+∠E=∠C+∠N变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。 【题型一】利用两直线平行判定同位角关系【典题1】（2023秋·湖南邵阳·七年级期末）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则（ ）A． B． C． D．【详解】解：如图， ∵a∥b，∠3=55°，∴∠2=∠3=55°．故选B． 巩固练习1．（）（2023秋·山西晋中·七年级期中）如图，直线的顶点在上，若，则（    ）A． B． C． D．【详解】解：∵，∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，∵，∴∠ADE=∠ABF=70°．故选择A．2．（）（2023秋·浙江湖州·七年级期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（   ）A．40° B．43° C．45° D．47°【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺的两边互相平行，∴，∴，∴，故选：B．3．（）（2023秋·四川达州·七年级校考期中）如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（     ）A．122° B．151° C．116° D．97°【详解】解：∵AB//CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB//CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选：B．4．（）（2023秋·辽宁阜新·七年级期末）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为（　　）A．30° B．60° C．80° D．120°【详解】解：∵AD∥BC，∠B＝30°，∴∠EAD＝∠B＝30°，∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC＝2∠EAD＝2×30°＝60°，∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°，故选：A．【题型二】利用两直线平行判定内错角关系【典题1】（2023秋·重庆·七年级校考期中）如图，，平分，若，则的度数为（　　）A． B． C． D．【详解】解：∵∴∵平分∴故选B． 巩固练习1（）（2023秋·云南曲靖·七年级校考期末）如图，平分，BE⊥AC，，图中与∠C互余的角有（   ）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【详解】解：∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°∴∠CBE+∠C＝90°；∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBE，∴∠DBE+C＝90°；∵，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠DEB+∠C＝90°．综上：与∠C互余的角有∠CBE，∠DBE，∠DEB．故答案选：C．2．（）（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°，则∠DBC的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．125°【详解】解：∵∠ADE=125°，∴∠ADF=180°125°=55°，因为长方形对边平行∴∠DBC=∠ADF=55°（两直线平行，内错角相等）；故选：A．3．（）（2023秋·山东济南·七年级期末）如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（    ）A．35° B．45° C．55° D．70°【详解】∵AB∥CD，∠BAD=35°，∴∠ADC＝∠BAD＝35°，∵AD⊥AC，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，故选：C．4．（）（2023秋·山东日照·七年级校考期中）把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（    ）A．15° B．20° C．25° D．30°【详解】解：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝25°，∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，故选：B．【题型三】利用两直线平行判定同旁内角关系【典题1】（2023秋·广东深圳·七年级校考期中）如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（   ）A． B． C． D．【详解】∵，∴，∴，即：，∴，故选：C．巩固练习1（）（2023秋·四川达州·七年级校考期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝(   )A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠1，∵CD∥EF，∴∠DCE=180°-∠2，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．故选D．2（）（2023秋·河北石家庄期中）如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是（    ）A．154° B．126° C．116° D．54°【详解】解：∵AB∥CD，∴∠2+∠3=180°．∵∠3=∠1=54°，∴∠2=180°-∠3=180°-54°=126°．故选：B．3．（）（2023春·吉林长春期中）如图，．若，则的大小为（    ）A． B． C． D．【详解】解：设CD与EF交于G， ∵AB∥CD∴∠1=∠C=58°∵BC∥FE，∴∠C+∠CGE=180°，∴∠CGE=180°-58°=122°，∴∠2=∠CGE=122°，故选：B．4．（）（2023春·河南洛阳·七年级期末）直线，直线与，分别交于点，，．若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【详解】解：由题意，根据对顶角相等，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴；故选：B．【题型四】根据平行线的性质求角的度数【典题1】（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝50°，则∠A的度数是（　　）A．40° B．50° C．80° D．90°【详解】∵，∴∠DEF=40°．又∵AB∥CD，∴∠A=∠DEF=40°．故选：A． 巩固练习1（）（2023秋·河北承德·七年级期末）如图，，若，则的度数为（ ）A． B．C． D．【详解】如图，∵∴∠1+∠3=180º∵∠1=70º∴∠3=180º-70º=110º∵∴∠2=∠3=110º故选：B．2．（）（2023秋·山东日照·七年级期中）如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数是(　　　)A． B． C．或 D．以上都不对【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，∴∠A与∠B相等或互补．分两种情况：①如图1，当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，解得：∠A=126°； ②如图2，当∠A=∠B，∠A=3∠B-36°，解得：∠A=18°．所以∠A=18°或126°．故选：C．3．（）（2023秋·广东佛山·七年级校考期中）把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=32°则下列结论正确的有(    )（1）∠C′EF=32°；（2）∠AEC=116°；（3）∠BGE=64°；（4）∠BFD=116°．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：（1）∵AE∥BG，∠EFB=32°，∴∠C′EF=∠EFB=32°，故本小题正确；（2）由翻折可知∠GEF=∠C′EF=32°，∴∠AEC＝180°-32°-32°＝116°，故本小题正确；（3）∵∠C′EG=∠C′EF+∠GEF=32°+32°=64°，AC′∥BD′，∴∠BGE=∠C′EG=64°，故本小题正确；（4）∵∠BGE=64°，∴∠CGF=∠BGE=64°，∵DF∥CG，∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°，故本小题正确．综上可知正确的有4个．故选D．4．（）（2023秋·河北石家庄·七年级期中）如图：AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①OF平分∠BOD；②∠POE＝∠BOF；③∠BOE＝70°；④∠POB＝2∠DOF，其中结论正确的序号是（　  　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④分析：根据AB∥CD可得∠BOD=∠ABO=40°，利用平角得到∠COB=140°，再根据角平分线的定义得到∠BOE=70°，则③正确；利用OP⊥CD，AB∥CD，∠ABO=40°，可得∠POB=50°，∠BOF=20°，∠FOD=20°，进而可得OF平分∠BOD，则①正确；由∠EOB=70°，∠POB=50°，∠POE=20°，由∠BOF=∠POF-∠POB=20°，进而可得∠POE=∠BOF，则②正确；由②可知∠POB=50°，∠FOD=20°，则④不正确．【详解】③∵AB∥CD，∴∠BOD=∠ABO=40°，∴∠COB=180°-40°=140°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COB=×140°=70°，故③正确；①∵OP⊥CD，∴∠POD=90°，又∵AB∥CD，∴∠BPO=90°，又∵∠ABO=40°，∴∠POB=90°-40°=50°，∴∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，∠FOD=40°-20°=20°，∴OF平分∠BOD，故①正确；②∵∠EOB=70°，∠POB=90°-40°=50°，∴∠POE=70°-50°=20°，又∵∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，∴∠POE=∠BOF，故②正确；④由①可知∠POB=90°-40°=50°，∠FOD=40°-20°=20°，故∠POB≠2∠DOF，故④不正确．故结论正确的是①②③，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中线段和角的关系，再进行解答．【题型五】平行线性质在实际生活中的应用【典题1】（2023秋·福建龙岩·七年级校考期中）如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（    ）A．右转 B．左转 C．右转 D．左转【详解】为了把方向调整到与出发时相一致，小明先转20°使其正面向北，再向北偏东转60°，即得到了与出发时一致的方向，所以，调整应是右转20°+60°=80°，故选：A． 巩固练习1()（2023秋·广东惠州·七年级校考期末）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为（　　）A．先右转50°，后右转40° B．先右转50°，后左转40°C．先右转50°，后左转130° D．先右转50°，后左转50°【详解】解：两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，即转弯前与转弯后的道路是平行的，因而右转的角与左转的角应相等，理由是两直线平行，内错角相等．故选D．2．()（2023秋·吉林松原·七年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．【详解】过B作BF∥AE，∵CD∥ AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案为：270．3．()（2023秋·青海海东·七年级期中）如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的角度为，那么，为了使管道能够顺利对接，另一侧铺设的纵向连通管道与公路的角度为．________．【详解】解：两侧铺设的角属于同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，可得另一侧的角度为180°-120°=60°，【题型六】求平行线之间的距离【典题1】（2023秋·湖南株洲·七年级期末）已知直线，点在上，点，，在上，且，，，则与之间的距离为（    ）A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于【详解】解：∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，∴AB＜AC＜AD，∴m与n之间的距离小于或等于4cm，故选：D． 巩固练习1()（2023春·湖北宜昌·八年级期中）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（    ）A．AB∥PC B．△ABC的面积等于△BCP的面积C．AC＝BP D．△ABC的周长等于△BCP的周长【详解】解：AB不一定平行于PC，A不正确；∵平行线间的距离处处相等，∴△ABC的面积等于△BCP的面积，B正确；AC不一定等于BP，C不正确；△ABC的周长不一定等于△BCP的周长，D不正确，故选：B．2．()（2023秋·青海海东·八年级期中）如图，已知直线a // b // c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB=2，AC=6，则平行线b、c之间的距离是（     ）A．2 B．4 C．6 D．8【详解】解：∵直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，∴AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，又∵AB=2，AC=6，∴BC=62=4，即直线b与直线c之间的距离为4．故选：B．3．()（2023秋·湖南娄底·七年级期末）如图，直线，，，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离（   ）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm【详解】解：由题意可知，，，，则直线a与c的距离为5−2＝3（cm），故选：B．【题型七】铅笔头模型(解题方法：遇拐点作平行线)【典题1】如图，已知，，，则的度数是（    ）A．80° B．120°C．100° D．140°【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示，∵MN//AB，∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵，∴∵MN//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：C． 巩固练习1()如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）A． B．C． D．【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，    ∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°，∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故选：C．2．()（2023秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　)A．55° B．60° C．65° D．70°【详解】解：过点A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l1∥l2，∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180，∵∠1=105,∠2=140 ，∴∠4=75,∠5=40，∵∠4+∠5+∠3=180，∴∠3=65.故选：C.3．()（2023秋·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　．【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．4()（1）如图1，AM∥CN，求证：    ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．分析：（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，∴结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°．【题型八】锯齿模型【典题1】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ）A．70° B．65° C．35° D．50°【详解】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B． 巩固练习1()如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ）A． B．C． D．【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=β-α,∵HDEF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故选：D．2．()（2023秋·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．解析：（1）解：如图过点作，∵，∴．∴，．∵，，∴ ∴．∵，∴∠P=80°．故答案为：；（2）解：，理由如下：如图过点作，∵，∴．∴，．∴∵，．（3）如图分别过点、点作、∵，∴．∴，，．∴ ∵，，， ∴∴ 故答案为：．3．()（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）(1)问题发现：如图①，直线??//??，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠? +∠?= ∠???．请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作??//??， ∵ ??//??(已知)，??//??(辅助线的作法)． ∴ ??//??( )．∴ ∠? = ∠???( )∵ ??//??，∴ ∠? = ∠???(同理)． ∴ ∠? + ∠? = (等量代换)即∠? + ∠? = ∠???． (2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠? + ∠? = 360°−∠???，请说明理由． (3)解决问题：如图③，??//??，∠?=120°，∠???=80°，请直接写出∠?的度数．【详解】解：（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C=∠CEF．（两直线平行，内错角相等），∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代换）即∠B+∠C=∠BEC，故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠AEC=360°，∴∠B+∠C=360°-∠BEC；（3）解：如图③，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF，∵∠C=120°，∠AEC=80°，∴∠CEF=180°-120°=60°，∴∠BEF=80°-60°=20°，∴∠A=∠AEF=20°．故答案为：20°．