河南省濮阳市南乐县豫北名校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（学生版+教师版）

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数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知平面向量，，且，则实数（ ）
A. B. C. 2D.
3. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，若将四边形水平放置，用斜二测画法画出它的直观图，则四边形的面积为（ ）
A. 4B. C. 8D.
4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（ ）
A. 2B. C. D. 6
6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，直线与的夹角为，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是弧的中点，，分别为线段，的中点，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
10. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 对任意，与互共轭复数
C. 对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上
D. 复数实部为
11. 已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 设函数，则的最大值为2
C. 的最大值为
D. 若，且在上的投影向量为，则与的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，复数对应的点到点的距离是，则____.
13. 在中，，，点在边上，则的最小值为________.
14. 如图所示，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为______；平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，向量满足，且.
（1）求坐标；
（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
16. 已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍.
（1）求；
（2）若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？
17. 如图所示，是圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线.
（1）求证：平面；
（2）若异面直线与所成的角为，圆柱的表面积为，求四棱锥体积的最大值.
18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）如图1，，，求；
（3）如图2，若，，在边，上分别取点，，将沿直线折叠，使顶点正好落在边上的点处，求的最大值.