中考数学一轮复习1.2整式及其运算知识点演练(讲练)(100题58页)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习1.2整式及其运算知识点演练(讲练)(100题58页)(原卷版+解析)，共73页。试卷主要包含了某超市有线上和线下两种销售方式等内容，欢迎下载使用。

考点1：列代数式
例1．（2023·安徽·九年级专题练习）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长，
(1)设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；
(2)求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
知识点训练
1．（2022·山东济宁·七年级期中）用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（ ）
A．（2a-b）2B．2（a-b）2C．2a-b2D．（a-2b）2
2．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）下列关于代数式“2＋a”的说法，正确的是（ ）
A．表示2个a相加B．代数式的值比a小
C．代数式的值比2大D．代数式的值随a的增大而增大
3．（2022·全国·七年级期中）方孔铜钱应天圆地方之说，古代入们认为天是圆的（圆形），地是方的（正方形），所以秦朝以后铸钱大多以“外圆内方”为型．如图中是一枚清代的“乾隆通宝”，“外圆”直径为a，内方边长为b，则这枚钱币的面积可以表示为（ ）
A．πa2﹣b2B．C．D．
4．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）一件工艺品的价格经过两次10%的调价（上调、下调各一次）以后，下列说法正确的是（ ）
A．一次上调10%，一次下调10%，不论先后，价格都比原价低
B．一次上调10%，一次下调10%，不论先后，价格都不变
C．只有先下调10%，再上调10%，价格才比原价低
D．只有先上调10%，再下调10%，价格才比原价低
5．（2021·浙江温州·模拟预测）某工程队要修路20千米，原计划平均每天修千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（ ）
A．天B．天C．天D．天
6．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元B．元C．元D．元
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）据统计，2020年我市某县的绿色食品土豆的产量比2019年增长10.5%．假定2021年的平均增长率保持不变，2019年和2021年土豆的产量分别为a万千克和b万千克，则能体现a与b关系的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·安徽蚌埠·七年级期中）某企业今年一月份投入新产品的研发资金为a万元，以后每月投入新产品的研发资金与上月相比增长率都是20%．该厂今年三月份投入新产品的研发资金为b万元，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·浙江温州·二模）若m千克的某种糖果售价为n元，则8千克的这种糖果售价为（ ）
A．元B．元C．元D．元
10．（2022·江苏南京·一模）李奶奶买了一筐草莓，连筐共akg，其中筐1kg．将草莓平均分给4位小朋友，每位小朋友可分得（ ）
A．kgB．（﹣1）kgC．kgD．kg
11．（2022·广西柳州·三模）如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·浙江·九年级期末）《九章算术》中记载一问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少?设有x人，则表示物价的代数式可以是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·贵州贵阳·一模）贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min．已知小高同学步行的速度为每分钟am，则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（ ）
A．amB．10amC．15amD．25am
14．（2022·吉林长春·一模）在春季绿化活动中，榕榕栽种了一棵小树，栽种后测得树高约米，预估今后每年长米，则n年后的树高为______米．
15．（2021·陕西渭南·七年级期中）某校七年级男生都会打篮球或踢足球，其中会打篮球的人数比会踢足球的人数多12人，两种都会的有8人．若会踢足球的有a人，则七年级男生共有___人．（用含a的式子表示）
16．（2022·黑龙江·绥化市第五中学校九年级期中）小友同学的家距离学校米，平时自行车从家出发15分钟刚好赶到学校上课．某天因为妈妈感冒了，小友要帮妈妈做早饭，因此从家出发的时间比平时晚了分钟．他为了能按时到校上课，速度应为______米/分钟．
17．（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）某种桔子的售价是每千克3元，用面值为100元的人民币购买了a千克，应找回__________元．
18．（2022·吉林·三模）一台扫描仪的成本价为n元，销售价比成本价提高了30%，为尽快打开市场．按销售价的八折优惠出售，则优惠后每台扫描仪的实际售价为______元．
19．（2022·山东临沂·二模）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为n，则正方体上小球总数用n表示为______．
20．（2022·河北·九年级专题练习）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是和4，那么阴影部分的面积是_________（用含的代数式表示）；当_________时，阴影部分也是正方形．
21．（2020·贵州·仁怀市教育研究室三模）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为27，则第2020次输出的结果为______．
22．（2022·广东河源·九年级期中）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元、销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．设每件衣服降价x元．
(1)现在每天卖出______件（用含x的代数式表示）；
(2)当x为何值时，平均每天销售的这种服装能盈利1200元且能使顾客得到较多的实惠？
23．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点G，E，F分别在上，且．在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．
(1)当时，小正方形种植花卉所需的费用；
(2)试用含有x的代数式表示五边形的面积；
(3)当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
考点2：代数式求值
例2. （2022·河北保定·二模）如图所示，某数学活动小组用计算机编程编制了一个程序进行有理数混合运算，即输入一个有理数，按照程序顺序运算，可输出计算结果，其中“”表示一个有理数．
(1)已知表示3．
①若输入的数为－3，求输出结果；
②若输出的数为12，求输入的数．
(2)若输入的数为，表示数，当输出结果为0时，用表示的式子为：______．
知识点训练
1．（2022·四川遂宁·九年级期中）把方程化成的形式，则的值是（ ）
A．B．C．D．9
2．（2022·福建泉州·九年级期中）已知为实数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2022·湖北·建始县花坪民族中学九年级期中）若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2022·山东·滕州市荆河街道滕南中学九年级期中）已知、n是关于的方程的根，则代数式的值为（ ）
A．2022B．2023C．4039D．4040
5．（2022·四川·护家中学九年级期中）点与关于y轴对称，则＝____；
6．（2020·海南省直辖县级单位·九年级期中）已知点与点关于原点对称，则___________．
7．（2021·甘肃·武威第三中学九年级期中）如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式的值为___．
8．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）当时，代数式的值为_______．
9．（2022·甘肃陇南·九年级期中）已知m是关于x的方程的一个根，则代数式的值为 _____．
10．（2022·山东·北辛中学九年级期中）已知m，n是方程的两根，则的值为______
11．（2022·四川·成都西川中学三模）已知，则代数式的值为 ___________．
12．（2022·江苏盐城·九年级期中）若a是方程的一个根，则代数式的值为_____．
13．（2022·江苏江苏·九年级期中）已知，求的值．
14．（2022·江苏南京·九年级期中）已知m是方程的一个根，则______．
15．（2022·湖北武汉·九年级期中）己知m为方程的根，那么的值为______．
16．（2022·河北·唐山市路北区教育局中教研二模）老师在黑板上出示了下面的5个未计算完的有理数．
，，，，
(1)求这5个数的和，并直接写出这5个数的中位数．
(2)在这5个数中，最大的数是，最小的数是n．求的值．
17．（2022·福建三明·九年级期中）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；
若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
18．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）按下面的程序计算：
若开始输入的x的值为1，最后输出的结果的值是（ ）
A．B．4C．7D．13
19．（2022·陕西·中考真题）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________；
(2)求k，b的值；
(3)当输出的y值为0时，求输入的x值．
考点3：整式运算
例3.（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例4.（2022·吉林·乾安县教师进修学校一模）以下是小鹏化简代数式的过程．
(1)小鹏的化简过程在第 步开始出错，错误的原因是 ．
(2)请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当时代数式的值．
例5. （2022·广西·南宁市天桃实验学校七年级期中）先化简，再求值：，其中．
例6.（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）嘉嘉准备完成题目：
她发现“口”内的系数与“”内的运算符号印刷不清楚，淇淇告诉嘉嘉“”是，中的某一个．
(1)若“口”内为2，“”内为，请化简原式；
(2)在（1）的情况下，是否存在实数x，使原式的值为﹣45？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由；
(3)若不论x取何实数，原式的值都是一个固定的常数，请直接写出原题中“口”内的数、“”内的运算符号以及原式的值．
知识点训练
1．（2022·甘肃陇南·九年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·江苏镇江·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山东济南·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．B． C． D．
4．（2022·山东省实验初级中学模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江苏盐城·九年级期中）设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）化简后，正确结果（ ）
A．﹣b﹣3B．b+3C．3﹣bD．b﹣3
7．（2022·安徽合肥·二模）计算的结果是（ ）
A．-2aB．-2aC．2aD．2a
8．（2022·陕西西安·三模）计算（﹣2a2）3÷a3的结果是（ ）
A．﹣8a3B．﹣8a2C．﹣6a3D．﹣6a2
9．（2022·重庆·西南大学附中九年级阶段练习）对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：﹣2x；D：y2；E：2x-y有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式的值一定是正数；②存在实数x，y，使得A+D+2E的值为-2；③若关于x的多项式(m为常数)不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于-3．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）已知，在多项式中任意加绝对值，加绝对值后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序进行化简，称为“取非负数操作”．例如：
，．
下列说法：
①至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果一定为负数；
③所有可能的“取非负数操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·河北·保定市第十七中学九年级期中）对于实数a，b，定义新运算，则下列结论正确的有（ ）
①；
②当时， ；
③；
④若，是一元二次方程的两个根，则或﹣17；
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
13．（2023·云南·昆明市第一中学西山学校九年级期中）如图，是一条8道的跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1米，1号跑道内侧的跑道长度为400米，则4号跑道内侧的跑道长度为___________米．（取3）
14．（2022·四川广安·二模）为了进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，学校在周末组织课外兴趣小组，体育组张老师在活动中作了一个游戏：首先发给甲，乙，丙三个同学相同数量的乒乓球，然后依次完成以下三个步骤：第一步，甲同学拿出4个乒乓球给乙同学；第二步，丙同学拿6个乒乓球给乙同学；第三步甲同学有多少个乒乓球，乙同学就拿出多少个乒乓球给甲同学．请问最后乙同学还有_________个乒乓球．
15．（2022·北京市第十二中学九年级期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
16．（2022·北京市第十二中学九年级期中）已知，求代数式的值．
17．（2022·浙江丽水·九年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
17．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
18．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）对于任何一个四位数m，若它的千位数字与个位数字的和等于百位与十位数字的和，则称这个四位数为“平心数”．例如：
，，∴1234是“平心数”；
，，∴6793不是“平心数”．
(1)判断7946，5463是不是“平心数”，并说明理由；
(2)已知M、N均为“平心数”，M的百位数字为3，个位数字为4；N的百位和十位数字均为5，且N为偶数．写出所有满足被13整除的的值．
19．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）现有甲乙两个矩形，其边长如图所示（a＞0），周长分别为C甲和C乙，面积分别为S甲和S乙．
(1)用含a的代数式表示C甲＝ ；C乙＝ ；S甲＝ ；S乙＝ ．
(2)通过观察，小明发现“甲、乙两个矩形的周长相等，与a值无关”；小亮发现“a值越大，甲、乙两个矩形的面积之差越大”．你认为两位同学的结论都正确吗？如果不正确，请对错误同学的结论说明理由．
考点4：乘法公式与几何图形
例6. （2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）以上两个图形反映了等式：______；
（2）运用（1）中的等式，计算______．
例7.（2022·河北·一模）嘉嘉同学动手剪了如图1所示的正方形与矩形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________．
（2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要3号卡片__________张．
知识点训练
1．（2012·江苏南通·九年级期中）如图，边长为a的正方形中挖掉边长为b的正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学八年级期中）如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东·济南市莱芜区方下鲁西学校期中）如图，有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
4．（2022·河北邯郸·一模）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（ ）
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
5．（2022·吉林·长春南湖实验中学九年级期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形；验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
6．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·福建省厦门第六中学二模）如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
8．（2022·河北石家庄·一模）如图有A、B、C三类卡片，分别是边长为a的正方形，边长为a，b的长方形，边长为b的正方形，若用这三种卡片拼成无缝隙不重叠的正方形，以下方案不可行的是（ ）
A．A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片1张
B．A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片1张
C．A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片4张
D．A类卡片4张，B类卡片8张，C类卡片4张
9．（2022·山东枣庄·七年级期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是_______．（请填上正确的序号）
10．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
11．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．
(1)用含m、n的代数式表示切痕总长L；
(2)若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求的值．
12．（2022·安徽·九年级专题练习）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式。
例如图1可以得到(a+b)2=α²＋2ab＋b²，基于此，请解答下列问题∶
（1）根据图2，写出一个代数恒等式∶____________________。
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b 的正方形、z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，
则x+y+z=_____________。
考点5：因式分解
例8. （1）（2022·黑龙江·大庆市肇州县肇州中学九年级期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．B．
C．D．
（2）．（2022·浙江·慈溪实验中学三模）分解因式________．
（3）．（2022·江苏无锡·一模）分解因式：＝_____．
例9．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
知识点训练
1．（2022·四川·峨眉山市教育局二模）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ）．
A．2B．C．4D．
2．（2022·海南海口·九年级期中）若，．则代数式的值是（ ）
A．B．3C．D．
3．（2021·新疆农业大学附属中学九年级期中）若方程的根是3和4，那么代数式可分解因式为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·广西贵港·九年级期中）因式分解________．
5．（2022·吉林·长春市第一〇八学校二模）分解因式： =_____．
6．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）因式分解：______________________．
7．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足，．
（1）若，则_______；
（2）若，则代数式的值是______________．
8．（2022·广东·从化市东明学校模拟预测）分解因式：______．
9．（2019·河北衡水·中考模拟）若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝_____．
10．（2022·山东济南·模拟预测）设、是实数，且求的值．
11．（2022·重庆开州·九年级期中）对任意一个三位数n，如果其个位数上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称n为“明亮数”．现将n的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，规定，例如132是一个“明亮数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，所以．
(1)当时，______；
(2)一个三位数，当其百位上的数字比个位上的数字少2时，______；
(3)若是8的倍数，则称这样的n为“幸运20明亮数”，求出所有的“幸运20明亮数”．
12．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）已知：整式，，，整式．
(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
13．（2022·吉林·长春市第一O三中学校九年级期中）教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．
∵，
∴当x＝﹣2时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求代数式的最小值；
(3)若，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
(4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足时，判断△ABC的形状并说明理由．
14．（2022·河北·育华中学三模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式M；
(2)请将整式N分解因式；
(3)若P＝﹣4，求x的值．
时间．
销售总额(元)
线上销售额(元)
线下销售额(元)
2019年4月份
a
x
a- x
2020年4月份
1.1a
1.43x
输人x
…
0
2
…
输出y
…
2
6
16
…
1.2整式及其运算知识点演练
考点1：列代数式
例1．（2023·安徽·九年级专题练习）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长，
(1)设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；
(2)求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，
∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a-x）元．
故答案为：1.04（a-x）．
（2）依题意，得：1.1a=1.43x+1.04（a-x），
解得：，
∴，
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．
知识点训练
1．（2022·山东济宁·七年级期中）用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（ ）
A．（2a-b）2B．2（a-b）2C．2a-b2D．（a-2b）2
【答案】A
【分析】根据“a的2倍与b的差的平方”，用代数式表示，即可．
【详解】解：根据题意得：
故选：A．
【点睛】本题主要考查用代数式表示数量关系，注意代数式的书写规范，是解题的关键．
2．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）下列关于代数式“2＋a”的说法，正确的是（ ）
A．表示2个a相加B．代数式的值比a小
C．代数式的值比2大D．代数式的值随a的增大而增大
【答案】D
【分析】根据代数式的组成对各选项依次分析即可．
【详解】解：代数式的意义为2与a的和，而2个a相加为a+a,故A选项错误；
代数值的值比a大2，故B选项错误；
当a＜0时，代数式的值比2小，故C选项错误；
D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式，解题关键是理解代数式的各项的含义，理解字母表示数的意义，字母不仅可以表示正数，还可以表示0和负数．
3．（2022·全国·七年级期中）方孔铜钱应天圆地方之说，古代入们认为天是圆的（圆形），地是方的（正方形），所以秦朝以后铸钱大多以“外圆内方”为型．如图中是一枚清代的“乾隆通宝”，“外圆”直径为a，内方边长为b，则这枚钱币的面积可以表示为（ ）
A．πa2﹣b2B．C．D．
【答案】C
【分析】用外圆面积减去里面正方形面积即可．
【详解】解：由题意得：钱币的面积为：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了列代数式，正确理解钱币面积等于外圆面积减去里面正方形面积是解题的关键．
4．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）一件工艺品的价格经过两次10%的调价（上调、下调各一次）以后，下列说法正确的是（ ）
A．一次上调10%，一次下调10%，不论先后，价格都比原价低
B．一次上调10%，一次下调10%，不论先后，价格都不变
C．只有先下调10%，再上调10%，价格才比原价低
D．只有先上调10%，再下调10%，价格才比原价低
【答案】A
【分析】设一件工艺品的价格为a（a>0），根据乘法可列出调整之后的价格进行比较即可，也可以利用特殊值代入法解决．
【详解】方法一：解：设一件工艺品的价格为a（a>0），则：
一次上调10%，一次下调10%，价格为：
∵
∴价格比原价低．
∵乘法满足交换律，
∴先下调10%，再上调10%和先上调10%，再下调10%
列代数式均可化为：
故答案选：A
【点睛】本题考查了字母表示数，列代数式，能够准确列出代数式是解决本题的关键．
5．（2021·浙江温州·模拟预测）某工程队要修路20千米，原计划平均每天修千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（ ）
A．天B．天C．天D．天
【答案】A
【分析】工程提前的天数＝原计划的天数﹣实际用的天数，把相关数值代入即可．
【详解】解：原计划用的天数为，实际用的天数为，
故工程提前的天数为天．
故选：A．
【点睛】此题考查了列分式解决实际问题，正确理解题意是解题的关键．
6．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【分析】根据题意列求得购买乙种读本本，根据单价乘以数量即可求解．
【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元
故选C
【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）据统计，2020年我市某县的绿色食品土豆的产量比2019年增长10.5%．假定2021年的平均增长率保持不变，2019年和2021年土豆的产量分别为a万千克和b万千克，则能体现a与b关系的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据2019年的产量及2020年较2019年的增长率求出2020的产量，再根据2021年的平均增长率保持不变写出2021年的产量．
【详解】解：由题意知，2019年土豆的产量为a万千克，2020年产量比2019年增长10.5%，
∴2020年产量为：，
∵2021年的平均增长率保持不变，
∴2021年产量，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，正确理解增长率的意义是解题的关键．
8．（2022·安徽蚌埠·七年级期中）某企业今年一月份投入新产品的研发资金为a万元，以后每月投入新产品的研发资金与上月相比增长率都是20%．该厂今年三月份投入新产品的研发资金为b万元，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+20%），而三月份在2月份的基础上又增长了20%，那么三月份的研发资金也可以用b表示出来，由此即可得解．
【详解】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是20%，
∴2月份研发资金为a×（1+20%）=1.2a，
∴三月份的研发资金为b=a×（1+20%）×（1+20%）=a（1+20）2=1.44a．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列代数式，读懂题意是解答本题的关键．
9．（2022·浙江温州·二模）若m千克的某种糖果售价为n元，则8千克的这种糖果售价为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】A
【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8，即可解答．
【详解】解：根据题意得．
故选A．
【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克商品的价格．
10．（2022·江苏南京·一模）李奶奶买了一筐草莓，连筐共akg，其中筐1kg．将草莓平均分给4位小朋友，每位小朋友可分得（ ）
A．kgB．（﹣1）kgC．kgD．kg
【答案】C
【分析】根据题意，求出草莓的重量，再除以4即可．
【详解】解：由题意得：草莓的重量为，
∴每位小朋友可分得的重量为：kg，
故选：C．
【点睛】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意．
11．（2022·广西柳州·三模）如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．
【详解】解：S阶梯型＝bc+（a﹣c）d
或S阶梯型＝ab﹣（a﹣c）（b﹣d）
或S阶梯型＝ad+c（b﹣d），
故选：B．
【点睛】本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．
12．（2021·浙江·九年级期末）《九章算术》中记载一问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少?设有x人，则表示物价的代数式可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】设有x人，由题意可表示物价的代数式是或，
故选A．
【点睛】本题主要考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的书写是解题的关键．
13．（2022·贵州贵阳·一模）贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min．已知小高同学步行的速度为每分钟am，则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（ ）
A．amB．10amC．15amD．25am
【答案】D
【分析】根据“路程=速度×时间”计算即可．
【详解】解：根据题意，小高同学步行的速度为每分钟am，较之前步行去城市运动中心少走了25min，
则少走的路程是：m．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式的应用，解题关键是读懂题意，找准解题所需信息．
14．（2022·吉林长春·一模）在春季绿化活动中，榕榕栽种了一棵小树，栽种后测得树高约米，预估今后每年长米，则n年后的树高为______米．
【答案】##
【分析】根据题题意列出代数式即可作答．
【详解】∵树初始高约米，
∵n年后长高了米，
∴n年后的树高为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式的知识，明确题意是解答本题的关键．
15．（2021·陕西渭南·七年级期中）某校七年级男生都会打篮球或踢足球，其中会打篮球的人数比会踢足球的人数多12人，两种都会的有8人．若会踢足球的有a人，则七年级男生共有___人．（用含a的式子表示）
【答案】2a+4##4+2a
【分析】根据会打篮球的人数比会踢足球的人数多12人，两种都会的有8人，设会踢足球的有a人列出代数式即可．
【详解】解：依题意得，a+a+12-8=2a+4．
故答案是：（2a+4）．
【点睛】此题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
16．（2022·黑龙江·绥化市第五中学校九年级期中）小友同学的家距离学校米，平时自行车从家出发15分钟刚好赶到学校上课．某天因为妈妈感冒了，小友要帮妈妈做早饭，因此从家出发的时间比平时晚了分钟．他为了能按时到校上课，速度应为______米/分钟．
【答案】
【分析】根据：速度路程时间，列出代数式即可．
【详解】解：因为出发时间晚分钟，所以实际用时分钟，根据速度计算公式得：
速度，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，关键是要理解速度计算公式，在理解速度对应所用时间的时候，容易误把“晚时”记为“加”．
17．（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）某种桔子的售价是每千克3元，用面值为100元的人民币购买了a千克，应找回__________元．
【答案】（100-3a）
【分析】利用单价×数量=应付的钱；再用100元减去应付的钱等于剩余的钱即为应找回的钱．
【详解】解：∵水果的售价为每千克3元，
∴购买了a千克这种水果应付3a元，
∴应找回（100-3a）元．
故答案为：（100-3a）．
【点睛】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．
18．（2022·吉林·三模）一台扫描仪的成本价为n元，销售价比成本价提高了30%，为尽快打开市场．按销售价的八折优惠出售，则优惠后每台扫描仪的实际售价为______元．
【答案】
【分析】根据题意可以用代数式表示出优惠后的每台扫描仪的实际售价．
【详解】由题意有，优惠后每台扫描仪的售价为：n×(1+30%)×80%=1.04n，
故答案为：1.04n．
【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
19．（2022·山东临沂·二模）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为n，则正方体上小球总数用n表示为______．
【答案】
【分析】先确定每条棱上的小球总数，再减去多计算的小球数，即可得出答案．
【详解】因为正方体有12条棱，则12条棱上小球的总数为12n，每个顶点处小球多计算了2次，即2×8=16，所以正方体上小球的总数为12n-16．
故答案为：12n-16．
【点睛】本题主要考查了正方体的特征，列代数式的知识，掌握正方体的棱数和顶点数是解题的关键．
20．（2022·河北·九年级专题练习）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是和4，那么阴影部分的面积是_________（用含的代数式表示）；当_________时，阴影部分也是正方形．
【答案】 ##
【分析】求出两个正方形的边长，从而可得阴影矩形的长和宽，由此进行计算．
【详解】解：由题可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
阴影部分面积为：，
当，即时，阴影部分也是正方形．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了用代数式表示图形面积，列出表达式并进行化简运算是解决本题的关键．
21．（2020·贵州·仁怀市教育研究室三模）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为27，则第2020次输出的结果为______．
【答案】3
【分析】分别求出第一次输出9，第二次输出3，第三次输出1，第四次输出3，第五次输出1，第六次输出3，……由此可得，从第三次开始，每两次一个循环．
【详解】由题可知，第一次输出9，第二次输出3，第三次输出1，第四次输出3，第五次输出1，第六次输出3，……
由此可得，从第三次开始，每两次一个循环，
∵，
∴第2020次输出结果与第4次输出结果一样，
∴第2020次输出的结果为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到循环规律是解题的关键．
22．（2022·广东河源·九年级期中）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元、销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．设每件衣服降价x元．
(1)现在每天卖出______件（用含x的代数式表示）；
(2)当x为何值时，平均每天销售的这种服装能盈利1200元且能使顾客得到较多的实惠？
【答案】(1)
(2)当时，平均每天销售的这种服装能盈利1200元且能使顾客得到较多的实惠
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件列代数式即可；
（2）设每件童装应降价x元，根据题意列出方程，即每件童装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去．
【详解】（1）解：∵每件服装降价1元，平均每天就可多售出2件，
∴每件衣服降价x元，现在每天卖出件．
故答案为：；
（2）解：由题意得，
解得．
因为要让顾客得到较多的实惠，所以应舍去．
答：当时，平均每天销售的这种服装能盈利1200元且能使顾客得到较多的实惠．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润．
23．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点G，E，F分别在上，且．在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．
(1)当时，小正方形种植花卉所需的费用；
(2)试用含有x的代数式表示五边形的面积；
(3)当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
【答案】(1)当时，正方形的种植费用为：元．
(2)
(3)当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．
【分析】（1）设米，则米．先求出和的面积，再利用先正方形的面积减去和的面积，得到五边形的面积，再把代入所列代数式进行计算即可得到答案；
（2）由（1）可得答案；
（3）根据正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵大的正方形的边长为8米，米，
∴四个小正方形的边长为4米，米．
∵米，
∴

当时，正方形的种植费用为：



即当时，正方形的种植费用为：元．
（2）由（1）得：
（3）根据题意得：
整理得：
解得．
答：当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．
【点睛】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用，理解题意，列出正确的代数式与一元二次方程是解本题的关键．
考点2：代数式求值
例2. （2022·河北保定·二模）如图所示，某数学活动小组用计算机编程编制了一个程序进行有理数混合运算，即输入一个有理数，按照程序顺序运算，可输出计算结果，其中“”表示一个有理数．
(1)已知表示3．
①若输入的数为－3，求输出结果；
②若输出的数为12，求输入的数．
(2)若输入的数为，表示数，当输出结果为0时，用表示的式子为：______．
解：（1）①当输入的数为－3时，
输出结果为．
②设输入的数为，则可得方程为，
解得．
故输入的数为－8．
（2）解：∵输入的数为，表示数，当输出结果为0，
∴-4a÷2+(-1)-b=0，
∴．
知识点训练
1．（2022·四川遂宁·九年级期中）把方程化成的形式，则的值是（ ）
A．B．C．D．9
【答案】B
【分析】把方程配方，根据配方后的结果可确定与的值，则可求得的值．
【详解】把方程配方，得，
即，
所以，，
所以；
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的应用及求代数式的值，关键是配方法的应用．
2．（2022·福建泉州·九年级期中）已知为实数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】估算无理数的大小，确定的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
3．（2022·湖北·建始县花坪民族中学九年级期中）若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】将代入中求得a的值，然后求代数式的值即可．
【详解】是一元二次方程的一个根，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程．
4．（2022·山东·滕州市荆河街道滕南中学九年级期中）已知、n是关于的方程的根，则代数式的值为（ ）
A．2022B．2023C．4039D．4040
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出，，将原式化简求值即可．
【详解】解：∵、n是关于的方程的根，
∴，，
，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
5．（2022·四川·护家中学九年级期中）点与关于y轴对称，则＝____；
【答案】
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，求出a、b，然后代入求值即可．
【详解】解：∵点与关于y轴对称，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了关于y轴对称点的坐标特点以及代数式求值，关于y轴对称点的坐标特点是纵坐标不变，横坐标变为相反数．
6．（2020·海南省直辖县级单位·九年级期中）已知点与点关于原点对称，则___________．
【答案】0
【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，横纵坐标均为相反数）得出x，y的值进而得出答案．
【详解】解：∵点点与点关于原点对称，
∴，
解得：，
则．
故答案为：0．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征．熟练掌握关于原点对称的点的特征：横纵坐标均为相反数，是解题的关键．
7．（2021·甘肃·武威第三中学九年级期中）如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式的值为___．
【答案】0
【分析】根据负整数、绝对值、倒数及自然数的定义判断出m、n、c的值，代入原式计算即可得答案．
【详解】解：∵m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，
∴m=-1，n=0，c=1，
∴，
故答案为：0
【点睛】本题考查了代数式求值及有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
8．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）当时，代数式的值为_______．
【答案】##
【分析】把代入代数式，求出其值即可．
【详解】解：把代入代数式得：
原式=
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．
9．（2022·甘肃陇南·九年级期中）已知m是关于x的方程的一个根，则代数式的值为 _____．
【答案】16
【分析】把代入已知方程得到的值，然后将整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根，
∴，
即，
∴．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值，解题的关键是根据一元二次方程解的定义，求出．
10．（2022·山东·北辛中学九年级期中）已知m，n是方程的两根，则的值为______
【答案】6
【详解】由一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解的定义可得出，再整体代入求值即可．
【分析】∵m，n是方程的两根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，一元二次方程根与系数的关系．利用整体代入的思想和熟悉一元二次方程根与系数的关系及方程的解的定义是解题关键．
11．（2022·四川·成都西川中学三模）已知，则代数式的值为 ___________．
【答案】4
【分析】先根据完全平方公式将因式分解，再将代入，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了用完全平方公式因式分解求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
12．（2022·江苏盐城·九年级期中）若a是方程的一个根，则代数式的值为_____．
【答案】
【分析】根据方程的解满足方程代入方程，再整体代换即可得到答案．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
即：，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得问题，解题的关键是方程的解满足方程后整体代入．
13．（2022·江苏江苏·九年级期中）已知，求的值．
【答案】；
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：

，
，
∴，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算——化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2022·江苏南京·九年级期中）已知m是方程的一个根，则______．
【答案】3
【分析】由题意知，m是方程的一个根，则可把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴把代入原方程得：，
∴，
∴
．
故答案为：3．
【点睛】本意主要考查了对一元二次方程的根的理解，知道了方程得一个根，就可把根代入原方程求解．再计算过程中注意，得到一个关于m得方程后，把当作一个整体，直接移项可求解，不需要算出m得值．
15．（2022·湖北武汉·九年级期中）己知m为方程的根，那么的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形．
16．（2022·河北·唐山市路北区教育局中教研二模）老师在黑板上出示了下面的5个未计算完的有理数．
，，，，
(1)求这5个数的和，并直接写出这5个数的中位数．
(2)在这5个数中，最大的数是，最小的数是n．求的值．
【答案】(1)和为，中位数是
(2)
【分析】（1）分别根据有理数的乘方，化简绝对值，化简多重符号，有理数的除法，化简各数，进而求得这个5个数的和以及中位数；
（2）根据有理数的大小比较求得的值，代入代数式即可求解．
（1）解： ，，，，
，
从小到大排列：
∴中位数是1；
（2）∵
∴最大的数是4，最小的数是-27，
∴
【点睛】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，化简多重符号，有理数的除法，有理数的大小比较，代数式求值，求中位数，化简各数是解题的关键．
17．（2022·福建三明·九年级期中）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；
若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
【答案】(1)①②长为米，宽为米
(2)或
【分析】（1）①②根据两条小路的面积之和两个长方形的面积重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为，列一元二次方程，求解即可；
（2）根据草坪的总面积为平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的和的值，即可求出的值．
【详解】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和平方米，
故答案为：平方米；
②根据题意，得，
又∵，
，
原方程化为，
解得（不符合题意，舍去），，
（米），
答：原来矩形场地的长为米，宽为米；
（2）解：根据题意，得，
整理得，
，为正整数，
是正整数且是的约数，是正整数且是的约数，
当时，，
，，
；
当时，，
，，
；
当时，，
，，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
18．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）按下面的程序计算：
若开始输入的x的值为1，最后输出的结果的值是（ ）
A．B．4C．7D．13
【答案】A
【分析】直接利用已知运算规则得出答案．
【详解】解：当输入1时，3×1+1=4，取算术平方根可得为2，
则3×2+1=7，取算术平方根可得为：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，有理数的混合运算，正确理解程序图是解题关键．
19．（2022·陕西·中考真题）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________；
(2)求k，b的值；
(3)当输出的y值为0时，求输入的x值．
【答案】(1)8(2)(3)
【分析】对于（1），将x=1代入y=8x，求出答案即可；
对于（2），将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b得二元一次方程组，解方程组得出答案；
对于（3），将y=0分别代入两个关系式，再求解判断即可．
【详解】（1）当x=1时，y=8×1=8；
故答案为：8；
（2）将（-2，2），（0，6）代入，得，
解得；
（3）令，
由，得，∴．（舍去）
由，得，∴．
∴输出的y值为0时，输入的x值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，理解“函数求值机”的计算过程是解题的关键．
考点3：整式运算
例3.（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A.不是同类项，不能合并，故，所以原选项错误，不符合题意；
B.，所以原选项错误，不符合题意；
C.，所以原选项正确，符合题意；
D.，所以原选项错误，不符合题意；
故选：C．
例4.（2022·吉林·乾安县教师进修学校一模）以下是小鹏化简代数式的过程．
(1)小鹏的化简过程在第 步开始出错，错误的原因是 ．
(2)请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当时代数式的值．
解： (1)① 乘法公式运用错误（或一次项系数计算错误等言之有理的皆可）；
(2)原式=
=；
当时，原式=．
例5. （2022·广西·南宁市天桃实验学校七年级期中）先化简，再求值：，其中．
解：
．
当时，原式．
例6.（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）嘉嘉准备完成题目：
她发现“口”内的系数与“”内的运算符号印刷不清楚，淇淇告诉嘉嘉“”是，中的某一个．
(1)若“口”内为2，“”内为，请化简原式；
(2)在（1）的情况下，是否存在实数x，使原式的值为﹣45？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由；
(3)若不论x取何实数，原式的值都是一个固定的常数，请直接写出原题中“口”内的数、“”内的运算符号以及原式的值．
解：（1）由题意得：原式
．
（2）解：令，
整理得：，
此方程根的判别式，
则此方程没有实数根，
所以在（1）的情况下，不存在实数，使原式的值为．
（3）解：不论取何实数，原式的值都是一个固定的常数，
原式中和的系数均为0，
“”内的运算符号为，“口”内的数为10，
则原式的值为
，
故“口”内的数为10、“”内的运算符号为，原式的值为15．
知识点训练
1．（2022·甘肃陇南·九年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则可判断选项A，C，根据同底数幂相乘可判断选项B，根据单项式乘单项式法则可判断选项D．
【详解】解：A．，选项A不符合题意；
B．，选项B不符合题意；
C．，选项C不符合题意；
D．，选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项和单项式乘单项式，掌握合并同类项法则和单项式乘单项式法则是解题的关键．
2．（2022·江苏镇江·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的除法以及积的乘方，分别计算，进行判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的除法以及积的乘方运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
3．（2022·山东济南·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（2022·山东省实验初级中学模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依据整式的相关运算法则对各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，符合题意；
D．，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2022·江苏盐城·九年级期中）设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用作差法，根据相减的结果的符号判断即可．
【详解】解：
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了整式的大小比较，通过作差，比较二者大小是解题关键．
6．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）化简后，正确结果（ ）
A．﹣b﹣3B．b+3C．3﹣bD．b﹣3
【答案】C
【分析】先去括号，再合并同类项即可得．
【详解】解：原式
，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减的运算法则是解题关键．
7．（2022·安徽合肥·二模）计算的结果是（ ）
A．-2aB．-2aC．2aD．2a
【答案】C
【分析】先计算乘方，再计算乘法，得出结果即可．
【详解】解：原式．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的乘除运算，掌握运算顺序是解题关键．
8．（2022·陕西西安·三模）计算（﹣2a2）3÷a3的结果是（ ）
A．﹣8a3B．﹣8a2C．﹣6a3D．﹣6a2
【答案】A
【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可．
【详解】．
故选A．
【点睛】本题考查幂的混合运算，涉及积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法．掌握运算法则是解题关键．
9．（2022·重庆·西南大学附中九年级阶段练习）对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：﹣2x；D：y2；E：2x-y有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式的值一定是正数；②存在实数x，y，使得A+D+2E的值为-2；③若关于x的多项式(m为常数)不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于-3．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据整式的四则运算法则逐个运算即可判断．
【详解】解：对于①：，显然当时代入化简后的式子中结果为负数，故①错误；
对于②：时，整理得到：，显然当时代入化简后式子中满足，故②正确；
对于③：，
∵不含x的一次项，
∴，解出，
此时，即M的值一定大于等于-3，故③错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的四则运算，属于基础题，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键．
10．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）已知，在多项式中任意加绝对值，加绝对值后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序进行化简，称为“取非负数操作”．例如：
，．
下列说法：
①至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果一定为负数；
③所有可能的“取非负数操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“取非负数操作”的定义逐项分析判断；
【详解】解：；故①正确；
“取非负数操作”的结果在形式上只能改变之间的运算符号；
∵
∴对多项式进行“取非负数操作”的结果的最小值为：
当时，的值恒大于；故②错误；
∵之间的运算符号只有“”或“”两种符号
∴共有种不同的运算结果；
分别为：；；；；；；；；③正确；
正确的有：①③
故选C．
【点睛】本题考查了新定义下的绝对值的化简；熟练掌握绝对值的化简方法是解题的关键．
11．（2022·河北·保定市第十七中学九年级期中）对于实数a，b，定义新运算，则下列结论正确的有（ ）
①；
②当时， ；
③；
④若，是一元二次方程的两个根，则或﹣17；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据新定义的计算公式分别计算判断．
【详解】解：①，正确；
②当时，，
∴，故错误；
③，故错误；
④若，是一元二次方程的两个根，则，，
，
故或﹣17；故正确；
综上分析可得，正确的有：①④，
故选：B．
【点睛】此题考查了新定义运算，正确理解计算公式，掌握有理数混合运算法则，整式混合运算法则，一元二次方程根与系数的关系式是解题的关键．
12．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
【答案】
【分析】设这个多项式为A，由题意得：，求解即可．
【详解】设这个多项式为A，由题意得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
13．（2023·云南·昆明市第一中学西山学校九年级期中）如图，是一条8道的跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1米，1号跑道内侧的跑道长度为400米，则4号跑道内侧的跑道长度为___________米．（取3）
【答案】
【分析】根据每条直道长100米，所以跑道两端两个半径相同的半圆形弯道恰好形成一个周长为200米的圆．4号跑道的直径比1号跑道半径增加3米，所以周长增加了米．
【详解】解：∵跑道总长400米，两条直道各100米，
∴跑道两端两个半径相同的半圆形弯道恰好形成一个周长为200米的圆．
∴4号跑道比1号跑道周长增加值为：，
∴4号跑道内侧的跑道长度为(米)．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆形跑道周长计算问题，保证各跑道周长相等是问题重点，计算各道半径的变化值是解决问题的关键．
14．（2022·四川广安·二模）为了进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，学校在周末组织课外兴趣小组，体育组张老师在活动中作了一个游戏：首先发给甲，乙，丙三个同学相同数量的乒乓球，然后依次完成以下三个步骤：第一步，甲同学拿出4个乒乓球给乙同学；第二步，丙同学拿6个乒乓球给乙同学；第三步甲同学有多少个乒乓球，乙同学就拿出多少个乒乓球给甲同学．请问最后乙同学还有_________个乒乓球．
【答案】14
【分析】设每人有m个乒乓球，根据题意列出算式，进行计算即可解答．
【详解】解：设每人有m个乒乓球，
乙同学从甲同学处拿来4个乒乓球，还从丙同学处拿来6个乒乓球后，则乙同学有（m＋4＋6）个乒乓球，此时甲同学有（m−4）个乒乓球，那么给甲同学后乙同学手中剩余的乒乓球个数为：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据题意列代数式并求代数式运算的值，涉及到整式的加减法，根据题目的已知找出相应的数量关系列出代数式是解题的关键．
15．（2022·北京市第十二中学九年级期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)0
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（3）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可；
（4）用有理数的同底数幂乘法的逆运算法则求解即可
【详解】（1）解：；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
16．（2022·北京市第十二中学九年级期中）已知，求代数式的值．
【答案】0
【分析】先把代数式进行化简，然后利用整体代入进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
=
=
=
=
=0．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式及单项式乘以单项式，还结合了整式的化简求值，熟练掌握运算法则及整体思想是解题的关键．
17．（2022·浙江丽水·九年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可化简．
【详解】原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式、合并同类项，属于整数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
【答案】(1)S3＝4x+x2
(2)-2x2+16x+32
【分析】（1）分别表示长方体的长和宽，可得S3；
（2）根据表面积公式代入可得答案．
（1）∵S2＝4x−x2＝x(4−x)，
∴长方体的宽=4-x,
∵S1＝16−x2＝(4−x)(4+x)
∴长方体的长=4+x,
∴S3＝x(4+x)＝4x+x2；
（2）长方体的表面积=2（4x+x2）+2（16-x2）+2（4x-x2）
=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2
=-2x2+16x+32．
【点睛】本题考查了长方体，整式的加减，以及因式分解的应用,掌握长方形的面积=长×宽是解题的关键．
18．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）对于任何一个四位数m，若它的千位数字与个位数字的和等于百位与十位数字的和，则称这个四位数为“平心数”．例如：
，，∴1234是“平心数”；
，，∴6793不是“平心数”．
(1)判断7946，5463是不是“平心数”，并说明理由；
(2)已知M、N均为“平心数”，M的百位数字为3，个位数字为4；N的百位和十位数字均为5，且N为偶数．写出所有满足被13整除的的值．
【答案】(1)7946是“平心数”，5463不是“平心数”；理由见详解；
(2)1796或1212或4220或7228．
【分析】（1）根据题中所给的“平心数”的定义判断即可；
（2）根据已知，的千位数字为，则十位数字为，设的千位数字为，则个位数字为，则，把问题转化为被13整除的问题，然后分四种情况进行讨论，进一步即可得出答案．
【详解】（1）解：7946是“平心数”，5463不是“平心数”；
，
7946是“平心数”；
，
5463不是“平心数”；
（2）解： M、N均为“平心数”，M的百位数字为3，个位数字为4；
设的千位数字为，则十位数字为，
N的百位和十位数字均为5，
设的千位数字为，则个位数字为，
N为偶数，
或4或6或8；可取1，2，3，4，5，6，7，8；
能被13整除，
只要能被13整除，则能被13整除；
①当时，时，；
时，能被13整除，
此时；；
②当时，时，；
时，能被13整除，
此时；；
③当时，时，；
时，能被13整除，
此时；；
④当时，时，；
时，能被13整除，
此时；；
综上，所有满足被13整除的的值为1796或1212或4220或7228．
【点睛】此题是新定义题，主要考查了阅读理解、列代数式、求代数式的值、数的整除，熟练掌握整式的加减运算法则、整除的问题与分类讨论的思想方法是解答此题的关键．
19．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）现有甲乙两个矩形，其边长如图所示（a＞0），周长分别为C甲和C乙，面积分别为S甲和S乙．
(1)用含a的代数式表示C甲＝ ；C乙＝ ；S甲＝ ；S乙＝ ．
(2)通过观察，小明发现“甲、乙两个矩形的周长相等，与a值无关”；小亮发现“a值越大，甲、乙两个矩形的面积之差越大”．你认为两位同学的结论都正确吗？如果不正确，请对错误同学的结论说明理由．
【答案】(1)4a+24；4a+24；；；
(2)小明的结论正确，小亮的结论错误，见解析
【分析】（1）根据周长和面积公式计算即可；
（2）利用（1）的结论解答即可．
（1）解：C甲＝2（a+9+a+3）=4a+24；C乙＝2（a+7+a+5）=4a+24；
S甲＝（a+9）（a+3）=；S乙=（a+7）（a+5）=；
故答案为：4a+24；4a+24；；；
（2）由（1）知；
，
∴甲、乙两个矩形的周长相等，与a值无关；甲、乙两个矩形的面积之差为定值8，与a值无关，
故小明的结论正确，小亮的结论错误．
【点睛】此题考查了整式的计算，整式的加减法，整式的乘除法，正确掌握整式的计算法则是解题的关键．
考点4：乘法公式与几何图形
例6. （2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）以上两个图形反映了等式：______；
（2）运用（1）中的等式，计算______．
解：根据题意可得，
图中阴影部分的面积为：，
图中长方形的长为，宽为，
面积为：，
则两个图形阴影部分面积相等，；
故答案为：；
（2）



．
故答案为：．
例7.（2022·河北·一模）嘉嘉同学动手剪了如图1所示的正方形与矩形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________．
（2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要3号卡片__________张．
解：（1）由图1得图形的面积=a2+b2+2ab，由图2得图形的面积=（a+b）2，
由此得到这个乘法公式是，
故答案为：；
（2）∵拼成的大长方形的面积==a2+3ab+2b2，
∴需要3号卡片3张，
故答案为：3．
知识点训练
1．（2012·江苏南通·九年级期中）如图，边长为a的正方形中挖掉边长为b的正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由图可知，正方形剩下的面积为：，矩形宽为；长为；得面积：，根据两者面积相等，即可求出答案．
【详解】由图得，正方形剩下面积：
∵矩形边长为，
∴矩形面积：
又∵正方形面积等于矩形面积
∴
故选：A．
【点睛】本题考查整式乘法，平方差公式；解题的关键是掌握几何图形与整式乘法的运用．
2．（2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学八年级期中）如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2
右边的图形的面积
=（a+b）（a-b）．
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键．
3．（2022·山东·济南市莱芜区方下鲁西学校期中）如图，有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【答案】B
【分析】首先设两个正方形的边长为a，b，由图甲求出，再根据图乙求出，进而求出，然后表示出图丙的阴影面积，再整理代入计算即可．
【详解】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，由图甲，得，
解得或（舍）；
由图乙，得，
解得．
，
所以或（舍）．
则图丙阴影部分得面积为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
4．（2022·河北邯郸·一模）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（ ）
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
【答案】B
【分析】结合图形分别表示出图1与图2的面积等式，即可得出结果．
【详解】解：图1的面积关系表示为：
，为平方差公式；
图2的面积表示为：
，
化简得：，为勾股定理；
故选：B．
【点睛】题目主要考查平方差公式及勾股定理的图形表示，理解题意，根据图形表示出面积等式是解题关键．
5．（2022·吉林·长春南湖实验中学九年级期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形；验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【答案】A
【分析】分别表示两个图形的面积即可得到等式．
【详解】解：在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，面积表示为a2﹣b2；
拼成的矩形的面积为a（a-b）+b（a-b）=（a-b）（a+b），
由此得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握几何图形的面积计算方法及公式是解题的关键．
6．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答．
【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．
7．（2022·福建省厦门第六中学二模）如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
【答案】D
【分析】根据阴影部分的面积可以用大正方形的面积减小正方形的面积，也可以用4个长方形的面积之和，从而得出要验证的公式．
【详解】解：阴影部分的面积可表示为：，
阴影部分的面积也可以表示为：，
∴由此能验证的式子为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，阴影部分可以割成四个长方形的面积和，补成大正方形的面积减去中间小正方形的面积，解此类题目关键在于仔细分析图形，用不同的方法表示出阴影部分的面积．
8．（2022·河北石家庄·一模）如图有A、B、C三类卡片，分别是边长为a的正方形，边长为a，b的长方形，边长为b的正方形，若用这三种卡片拼成无缝隙不重叠的正方形，以下方案不可行的是（ ）
A．A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片1张
B．A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片1张
C．A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片4张
D．A类卡片4张，B类卡片8张，C类卡片4张
【答案】B
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片1张，
∴a2+2ab+b2=（a+b）2，不符合题意；
B、A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片1张，
∴2a2+4ab+b2，不是完全平方式，符合题意；
C、A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片4张，
∴a2+4ab+4b2=（a+2b）2，不符合题意；
D、A类卡片4张，B类卡片8张，C类卡片4张，
∴4a2+8ab+4b2=4（a+b）2，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（2022·山东枣庄·七年级期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是_______．（请填上正确的序号）
【答案】①②##②①
【分析】根据图形及平方差公式的特征可进行求解．
【详解】解：由图可知：
图①：；
图②：；
图③：第一个图阴影部分面积为：，第二个图阴影部分的面积为：；
∴综上所述：能够验证平方差公式的方案为①②；
故答案为①②．
【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
10．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)(2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：，
当时，．
【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
11．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．
(1)用含m、n的代数式表示切痕总长L；
(2)若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求的值．
【答案】(1)(6m+6n)m；
(2)150．
【分析】（1）根据切痕长有两横两纵列出算式，再根据合并同类项法则整理即可；
（2）根据小矩形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出m+n的值，即可得到结论．
【详解】（1）解：切痕总长L=2[（m+2n）+（2m+n）]
=6m+6n；
（2）解：由题意得：mn=30，2(m2+n2)=180，即m2+n2=90，
∴（m+n）2=m2+n2+2mn=90+2×30=150．
【点睛】本题考查完全平方公式、列代数式以及整式的加减运算等知识点，能正确列出代数式是解此题的关键．
12．（2022·安徽·九年级专题练习）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式。
例如图1可以得到(a+b)2=α²＋2ab＋b²，基于此，请解答下列问题∶
（1）根据图2，写出一个代数恒等式∶____________________。
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b 的正方形、z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，
则x+y+z=_____________。
【答案】 156
【分析】（1）结合图形根据正方形的面积的两种算法即可得出数学等式；
（2）由题意可知所拼图形的面积为xa2 + yb2 + zab，从而将(5a+7b)(9a+4b) 展开得到 45a2 + 83ab + 28b2，两者对照即可得出x、y、z的值，进而求和即可．
【详解】解：（1）∵正方形的面积=（a+b+c）2，正方形面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴ （a+b+c）2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由题意可知，所拼图形的面积为xa2 + yb2 + zab，
∵(5a+7b)(9a+4b)
=45a2+20ab+ 63ab+ 28b2，
= 45a2 + 83ab + 28b2
∴x=45，y= 28， z= 83，
∴x+y+z= 45+ 28+ 83 = 156．
【点睛】本题考多项式乘多项式和完全平方公式得背景，解题的关键是主要是从图形的面积得出相关等式，从而利用等式的变形进行求解，注意运用数形结合的思想方法．
考点5：因式分解
例8. （1）（2022·黑龙江·大庆市肇州县肇州中学九年级期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．B．
C．D．
解：A．，多项式乘法，故选项A不合题意
B．，是因式分解，故选项B符合题意；
C．，选项因式分解不正确，故选项C不合题意；
D．，不是因式分解，故选项D不符合题意．
故选：B．
（2）．（2022·浙江·慈溪实验中学三模）分解因式________．
解：，
故答案为：．
（3）．（2022·江苏无锡·一模）分解因式：＝_____．
解：
．
故答案为：．
例9．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
解：（1）由得，
，
∵≥0，，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1．
故答案为：3；1；
（2）由，得，
，
，
∴，
∴；
（3）由得，
∴，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的周长为．
知识点训练
1．（2022·四川·峨眉山市教育局二模）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ）．
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】设，右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．
【详解】解：设，
可得，，
解得：，，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解十字相乘法，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解．
2．（2022·海南海口·九年级期中）若，．则代数式的值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】先根据，求出，，，再用因式分解法分解，最后代入求值即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解和代入求值，解题的关键是根据，求出，，．
3．（2021·新疆农业大学附属中学九年级期中）若方程的根是3和4，那么代数式可分解因式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据跟与系数的关系即可求出p和q的值，再将p和q的值代入进行因式分解即可．
【详解】解；∵方程的根是3和4，
∴，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程跟与系数的关系以及因式分解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根之和为，两根之和为．
4．（2022·广西贵港·九年级期中）因式分解________．
【答案】
【分析】先提出公因式，再利用平方差公式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时有公因式先提取公因式，然后再考虑用公式法因式分解．
5．（2022·吉林·长春市第一〇八学校二模）分解因式： =_____．
【答案】(x+3)(x−3)##(x-3)(x+3)
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
6．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）因式分解：______________________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式化简．
【详解】
，
故答案为．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．分解因式三步骤：一提公因式，二套公式，三检查．分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法．若多顶式有两顶，可考虑用平方差公式；若多顶式有三顶，可考虑用完全平方公式．
7．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足，．
（1）若，则_______；
（2）若，则代数式的值是______________．
【答案】 7 42或252##252或42
【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；
（2）利用（1）中结论得出或，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可．
【详解】解：（1）∵m+n=3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵m>n，
∴，
∴；
（2）
，
由（1）得或
解得：或
当m=5，时，
∵，
∴，
∴m+p=2，
∴原式
；
当，n=5时，
∵，
∴，
∴，
∴原式
；
∴代数式的值为42或252；
故答案为：①7；②42或252．
【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．
8．（2022·广东·从化市东明学校模拟预测）分解因式：______．
【答案】（7x+3y）（3x+7y）
【分析】运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：（7x+3y）（3x+7y）．
【点睛】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式进行因式分解是本题的关键．
9．（2019·河北衡水·中考模拟）若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝_____．
【答案】2
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【详解】解：∵，m﹣n＝﹣3，
∴﹣3（m+n）＝﹣6，
∴m+n＝2，
故答案为：2
【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
10．（2022·山东济南·模拟预测）设、是实数，且求的值．
【答案】
【分析】根据已知式子利用完全平方公式因式分解，根据非负数的性质求得的值，代入代数式，根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵
即
∴
∴，
解得：，
∴
【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，非负数的性质，二次根式的性质化简，求得的值是解题的关键．
11．（2022·重庆开州·九年级期中）对任意一个三位数n，如果其个位数上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称n为“明亮数”．现将n的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，规定，例如132是一个“明亮数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，所以．
(1)当时，______；
(2)一个三位数，当其百位上的数字比个位上的数字少2时，______；
(3)若是8的倍数，则称这样的n为“幸运20明亮数”，求出所有的“幸运20明亮数”．
【答案】(1)29
(2)1或2或3
(3)143，286，341，484，682，880
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）设这个三位数的百位数字是m，则个位数字是，十位数字是，则，再由，求出，即可求解；
（3）设这个“明亮数”的百位数字是x，个位数字是y，则十位数字是，则，再由题意可得是8的倍数，根据，求出，从而确定的值为-8，0，8，16，24，再分别列举出满足条件的x、y的值即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：29
（2）解：设这个三位数的百位数字是m，则个位数字是，十位数字是，
∴这个三位数是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或42或52，
故答案为：1或2或3；
（3）解：设这个“明亮数”的百位数字是x，个位数字是y，则十位数字是，
∴，，
∴，
∵是8的倍数，
∴是的倍数，
∵，
∴，
∴的值为，
∴或或或或或，
∴所有的“幸运20明亮数”为143，286，341，484，682，880．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握整式的加减运算法则，弄清定义，根据数的特点能够列举出符合条件的值是解题的关键．
12．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）已知：整式，，，整式．
(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)正确，理由见解析
【分析】根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
（1）解：，
当时，
原式

；
故答案为：；
（2）


；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：


，
，
当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．
13．（2022·吉林·长春市第一O三中学校九年级期中）教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．
∵，
∴当x＝﹣2时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求代数式的最小值；
(3)若，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
(4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足时，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)；
(2)的最小值是3；
(3)1，大，-2
(4)△ABC是等腰三角形．理由见解析
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）凑成完全平方加一个数值的形式；
（3）和（2）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式；
（4）先因式分解，判断字母a、b、c三边的关系，再判定三角形的形状．
【详解】（1）解：
．
故答案为：；
（2）解：
；
∴的最小值是3；
（3）解：
，
∴当x=1的时候，y有最大值-2．
故答案为：1，大，-2；
（4）解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
，
∴，
∴，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
a-3=0，b-5=0，c-3=0，
得，a=3，b=5，c=3．
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．（2022·河北·育华中学三模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式M；
(2)请将整式N分解因式；
(3)若P＝﹣4，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据整式加减法即可求出，注意去括号法则的应用；
（2）先根据整式加法算出，再利用公式法、提公因式法分解即可；
（3）把带入，利用十字相乘即可求的值．
（1）解 ∶
．
（2）解：
．
（3）解：根据题意，得
即
．
【点睛】本题考查了整式加减运算、因式分数、解一元二次方程等知识点，解题的关键是①熟练掌握去括号法则：当括号前面是负号时，去掉括号和负号，括号里面各项都要变号；②熟练掌握各种因式分解的方法．
时间．
销售总额(元)
线上销售额(元)
线下销售额(元)
2019年4月份
a
x
a- x
2020年4月份
1.1a
1.43x
输人x
…
0
2
…
输出y
…
2
6
16
…