中考数学一轮复习6.4圆验收卷(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习6.4圆验收卷(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了4 圆验收卷等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江·九年级开学考试）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是菱形
C．正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．三角形的内心到这个三角形三个顶点的距离相等
2．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，内接于，是的直径，平分，交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．B． C． D．
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在中，，以点A为圆心，半径为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是（ ）
A．点C在圆A内，点B在圆A外
B．点C在圆A上，点B在圆A外
C．点C、B都在圆A内
D．点C、B都在圆A外
4．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，分别与相切于A、B，，C为上一点，则的度数为（ ）
A．110°B．120°C．125°D．130°
5．（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河北邢台·统考一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·浙江·九年级开学考试）如图，是的直径，且，交于点D，交于点E，与相切，与相交于点H．下列结论错误的是（ ）

A．B．四边形为矩形C．D．
8．（2023秋·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为4，点从出发沿方向向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接，当为等腰三角形时，点运动的时间是( )
A．或4B．或5C．4或5D．，4或5
9．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）把三根长为的火柴杆和三根长为的火柴杆摆放成如图的圆周上，构成一个六边形，那么此六边形的面积是由三根长为的火柴杆所构成的等边三角形面积的（ ）
A．10倍B．15倍C．18倍D．22倍
10．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角是________度．
12．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则_____．
13．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为_____________．
14．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则_____°．
15．（2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆I的切线，，的周长为，则的周长是_______cm．
16．（2022秋·四川广元·九年级校考阶段练习）如图，中，，，点E、F是以斜边为直径的半圆的三等分点，点P是上一动点，连接，点M为的中点．当点P从点E运动至点F时，点M运动的路径长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，的内心在轴上，求直线的函数解析式．
18．（2023秋·湖北荆门·九年级校考期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径；
(2)在（1）的条件下，小明把一只宽12的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13，问此小船能顺利通过这个管道吗？
19．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．
(1)请在图中标出圆心P点位置，写出点P的坐标；的半径为_______；
(2)判断点与的位置关系；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积_______．
20．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，在中，．
(1)若，则的度数为______°；
(2)若，，求的半径．
21．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，星海湾大桥是大连壮观秀丽的景点之一，主桥面是水平且笔直的，此时一个高的人站在C点望该桥的主塔，此时测得点D关于点F的俯角为，关于点E的俯角为，已知主塔，为该桥的主缆，与线段交于的中点G．
(1)请在图中作出关于所对应圆的圆心O并补全所对应的圆（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作图过程）；
(2)若关于所对应圆的半径为R，求的长（用含有，R的代数式表示）；
(3)求星海湾大桥两座主塔之间的距离（结果取整数）．
（参考数据：）
22．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径在边的右侧作半圆，交于点，交于点．
(1)若，当取最小值时，求的长；
(2)已知：
①判断与半圆的位置关系，并说明理由；
②若，，求的值以及的长．
23．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，在菱形中，，，在直线上有一点M，，，以为直径的半圆O与直线相切于点P，点N为半圆弧上一动点．
(1)当点P与点M重合时，H为半圆O上一点，则线段的最小值为______；
(2)半圆O从点M出发沿做平移运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点P开始绕圆心顺时针旋转，速度为每秒，设运动时间为t秒，解决下列问题：
①当时，求此时点O到的距离及扇形的面积；
②当半圆O与菱形有交点时，直接写出运动时间t的取值范围．
6.4 圆验收卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江·九年级开学考试）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是菱形
C．正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．三角形的内心到这个三角形三个顶点的距离相等
【答案】C
【分析】根据等弧的定义即可判断A；根据三角形中位线定理即可判断B；根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断C；根据外心的定义即可判断D．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，长度相等，所对的圆心角度数相等的弧叫做等弧，故该选项是假命题，不符合题意；
B、顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是平行四边形，故该选项是假命题，不符合题意；
C、正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项是真命题，符合题意；
D、三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离相等，故该选项是假命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，等弧的定义，三角形中位线定理，轴对称图形和中心对称图形，三角形外心的定义，熟知相关知识是解题的关键．
2．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，内接于，是的直径，平分，交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】设与相交于点，利用直径所对的圆周角是直角可得，再利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理可得，，再利用三角形的中位线的定理可得，即可解答．
【详解】解：设与相交于点，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，
故A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在中，，以点A为圆心，半径为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是（ ）
A．点C在圆A内，点B在圆A外
B．点C在圆A上，点B在圆A外
C．点C、B都在圆A内
D．点C、B都在圆A外
【答案】A
【分析】由解直角三角形求出，由和与圆的半径的大小关系，即可判断出点C和点B与的位置关系，即可得出答案．
【详解】解：如图，在中，，
∴，即，
∴，
∴，
∴点C在的内部，
∵，
∴，
∴点B在的外部，
故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是解决问题的关键．
4．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，分别与相切于A、B，，C为上一点，则的度数为（ ）
A．110°B．120°C．125°D．130°
【答案】C
【分析】在右侧取点，连接，根据切线的性质得出，然后根据四边形内角和为即可得出，再由圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得出的度数即可．
【详解】解：在右侧取点，连接，
∵分别与相切于，
∴，
∴，
∴，
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆心角和圆周角的关系，切线的性质等知识点，读懂题意，熟练掌握以上基础知识点是解本题的关键．
5．（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
由圆周角定理得，，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（2023·河北邢台·统考一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设小正方形边长为1，再通过勾股定理求出到所有顶点长度，不相等的就是外心不在的三角形．
【详解】解：设小正方形边长为1，
则：，
，
根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断：
点O是三个三角形的外心；
不是的外心，
故选：C．
【点睛】本题考查外心的定义，掌握勾股定理求出外心到各顶点距离是关键．
7．（2023春·浙江·九年级开学考试）如图，是的直径，且，交于点D，交于点E，与相切，与相交于点H．下列结论错误的是（ ）

A．B．四边形为矩形C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，再根据等腰三角形三线合一，即可判断A；通过证明为中位线，可得，即可判断B；先证明，则，再证明，即可判断C；求出，即可判断D．
【详解】解：A、连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
故A正确，不符合题意；
B、∵是的直径，
∴，
∵，，
∴为中位线，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，即，
∴四边形为矩形，
故B正确，不符合题意；
C、∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
由B可知，即，
∴，
∴，
故C正确，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识，解题的关键是掌握圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定等知识，并灵活运用．
8．（2023秋·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为4，点从出发沿方向向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接，当为等腰三角形时，点运动的时间是( )
A．或4B．或5C．4或5D．，4或5
【答案】D
【分析】过点作于点，根据垂径定理，以及勾股定理求得的长，然后分三种情形讨论，分别求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
①当时，如图，过点作于点，连接，
∵是直径，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
②当时，则点在的垂直平分线上，所以点与点重合，，此时；
③当时，，此时，
综上所述，或或，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理、等腰三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．
9．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）把三根长为的火柴杆和三根长为的火柴杆摆放成如图的圆周上，构成一个六边形，那么此六边形的面积是由三根长为的火柴杆所构成的等边三角形面积的（ ）
A．10倍B．15倍C．18倍D．22倍
【答案】D
【分析】首先根据题意画出其等效图，即可得是边长为的等边三角形，与与是边长为的等边三角形，则可求得此六边形的面积是与、、面积的差，然后根据等边三角性的面积的求解方法，即可求得各等边三角形的面积，继而求得此六边形的面积是由三根长为的火柴杆所构成的等边三角形面积的倍数．
【详解】解：如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴画等效果图得：
，，，，，，
可得是边长为的等边三角形，
与与是边长为等边三角形，
∵三根长为的火柴杆所构成的等边三角形面积为：，
∴
∴六边形的面积为：，
∴此六边形的面积是由三根长为的火柴杆所构成的等边三角形面积的倍．
故选：D．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质，等边三角形的性质，解题的关键是正确画出等效果图求解．
10．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得出点M在O点为圆心，以为半径的圆上，然后得到当直线过圆心O时，最短，从而利用勾股定理计算出答案．
【详解】设的中点为O，以O点为圆心，为半径画圆，
∵四边形为矩形，，
∴，
∵，
∴点M在O点为圆心，以为半径的圆上，
连接交圆O与点N，
∵点B为圆O外一点，
∴当直线过圆心O时，最短，
∵，，
∴，
∴，
∵．
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对 圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角是________度．
【答案】
【分析】设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角是，
根据扇形的面积公式得：
解得．
故答案是：．
【点睛】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用．
12．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则_____．
【答案】##
【分析】根据垂径定理得，再利用余弦的定义可得．
【详解】解：∵半径垂直弦于点D，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角函数的定义，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．
13．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为_____________．
【答案】##
【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可．
【详解】∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长等于周长的三分之一，
∵的半径为，
∴的周长，
∴的长等于，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键．
14．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则_____°．
【答案】55
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，求出，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：55．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
15．（2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆I的切线，，的周长为，则的周长是_______cm．
【答案】8
【分析】首先根据题意可得与、、、分别相切，可得，，，，根据，可得，三角形的周长可化为的周长倍的长度求解．
【详解】解：与、、、分别相切于、、、，
，，，，
，，
，，
的周长 ．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了切线长定理，解答本题的关键是利用等量代换的方法来求解，这种解题方法是非常重要的，应切实掌握．
16．（2022秋·四川广元·九年级校考阶段练习）如图，中，，，点E、F是以斜边为直径的半圆的三等分点，点P是上一动点，连接，点M为的中点．当点P从点E运动至点F时，点M运动的路径长为______．
【答案】
【分析】令的中点分别为点O、G、H，连接，易证为等腰三角形，根据三线合一可得，则点M的运动路径为以为直径的，再证明四边形为正方形，可得点M的运动路径为以为直径的半圆，即可求解．
【详解】解：令的中点分别为点O、G、H，连接，
∵为直径，点O为中点，
∴，
∵，点O为中点，
∴，
∴为等腰三角形，
∵点M为的中点，
∴，则，
∴点M的运动路径为以为直径的，
∵点G、O、H、分别为中点，，
∴，，
∵，
∴四边形为正方形，，
∴，
∴点M的运动路径为以为直径的半圆，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求点的运动轨迹，解题的关键是正确作出辅助线，根据等腰三角形的性质，正方形的性质以及圆周角确定点M的运动轨迹为以为直径的半圆．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，的内心在轴上，求直线的函数解析式．
【答案】
【分析】设与y轴交于点D，根据点，点，可得是等腰直角三角形，再根据的内心在轴上，可知平分，进而推出，最后利用待定系数法即可求解．
【详解】解：如图，设与y轴交于点D，
点，点，
，
是等腰直角三角形，
，
的内心在轴上，
平分，
，
，
，
，
设的函数表达式为，
将和代入，可得，
解得，
的函数表达式为，
即直线的函数解析式为．
【点睛】本题考查三角形的内心，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等，掌握三角形内心的性质是解题的关键．
18．（2023秋·湖北荆门·九年级校考期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径；
(2)在（1）的条件下，小明把一只宽12的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13，问此小船能顺利通过这个管道吗？
【答案】(1)
(2)能顺利通过
【分析】（1）过作于，交弧于，连接，根据垂径定理得到，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
（2）连接，设，可求得此时的高，即可求得的长，比较，即可得到此时小船能顺利通过这个管道．
【详解】（1）解：过作于，交弧于，连接．
，
，
由题意可知，，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得：
解得．
即这个圆形截面的半径为．
（2）如图，小船能顺利通过这个管道．理由：
连接，设．
，，
在中，
，
小船能顺利通过这个管道．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
19．（2022秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．
(1)请在图中标出圆心P点位置，写出点P的坐标；的半径为_______；
(2)判断点与的位置关系；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积_______．
【答案】(1)，
(2)点M在上
(3)
【分析】（1）根据点P在线段的线段垂直平分线上确定点P的坐标，再根据勾股定理求出的长即可；
（2）利用勾股定理求出的长，再与半径进行比较即可得到答案；
（3）先利用勾股定理的逆定理求出，再根据扇形的弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长，求出圆锥的底面半径即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，点P为所作，
∴P点坐标为，
∵，
∴，即的半径为；

故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴的长等于圆的半径，
∴点M在上；
（3）解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
设该圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，
解得，
∴该圆锥的底面积，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了确定圆心的位置， 勾股定理，坐标与图形，求圆锥底面圆面积，弧长公式，勾股定理的逆定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，在中，．
(1)若，则的度数为______°；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，已知，，得到，，结合，得到，得到，结合，即可求得的度数；
（2）连接并延长，交与，已知，，得到，，在中，求得， 设，则，在中，根据勾股定理即可求得的半径．
【详解】（1）解：连接，
在中，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：130
（2）解：连接并延长，交与，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为
【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，星海湾大桥是大连壮观秀丽的景点之一，主桥面是水平且笔直的，此时一个高的人站在C点望该桥的主塔，此时测得点D关于点F的俯角为，关于点E的俯角为，已知主塔，为该桥的主缆，与线段交于的中点G．
(1)请在图中作出关于所对应圆的圆心O并补全所对应的圆（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作图过程）；
(2)若关于所对应圆的半径为R，求的长（用含有，R的代数式表示）；
(3)求星海湾大桥两座主塔之间的距离（结果取整数）．
（参考数据：）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)星海湾大桥两座主塔之间的距离为
【分析】（1）连接，作和的垂直平分线，相交于点O，点O即为所求，再以点O为圆心，长为半径，画圆即可；
（2）连接，可得，根据点G为中点，即可得出，再根据弧长公式，即可求解；
（3）过点D作的平行线，交于点M，交于点N，根据题意可得，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）连接，
∵，
∴，
∵点G为中点，
∴，
∴；
（3）过点D作的平行线，交于点M，交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
答：星海湾大桥两座主塔之间的距离为．
【点睛】本题主要考查了确定三角形的条件，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆，三角形外接圆的圆心为三条垂直平分线的交点；同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半；弧长；以及解直角三角形的方法和步骤．
22．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径在边的右侧作半圆，交于点，交于点．
(1)若，当取最小值时，求的长；
(2)已知：
①判断与半圆的位置关系，并说明理由；
②若，，求的值以及的长．
【答案】(1)1
(2)①相切，理由见解析；②
【详解】（1）解：如图所示，
当取最小值时，，连接，
∴，则，且，
在中，，
∴，即，
∴是圆直径的一半，且，
∴圆直径与直角边重合，即点与点重合，是的中点，
∵，
∴．
（2）解：①与半圆相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与半圆相切；
②如图所示，连接，，，
由题意得，，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过作于，
∵，
∴，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握切线的求证方法，正切的计算方法，直角三角形的性质是解题的关键．
23．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，在菱形中，，，在直线上有一点M，，，以为直径的半圆O与直线相切于点P，点N为半圆弧上一动点．
(1)当点P与点M重合时，H为半圆O上一点，则线段的最小值为______；
(2)半圆O从点M出发沿做平移运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点P开始绕圆心顺时针旋转，速度为每秒，设运动时间为t秒，解决下列问题：
①当时，求此时点O到的距离及扇形的面积；
②当半圆O与菱形有交点时，直接写出运动时间t的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）连接交半圆O于点H，此时线段有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的长度；
（2）①过点D作于G，求出，得到当时，点P与点G重合，过点O作于点T，求出，得到，即可求出；根据扇形面积公式求出扇形的面积即可；
②当半圆O与相切时，，连接，利用三角函数求出，得到，当点P与点B重合时，，即可得到当半圆O与菱形有交点时，运动时间t的取值范围．
【详解】（1）解：连接交半圆O于点H，此时线段有最小值，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①过点D作于G，
∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
当时，，则，
∴点P与点G重合，
过点O作于点T，
∵，，
∴，
当时，，
∴扇形的面积；
∴点O到的距离为，扇形的面积为；
②当半圆O与相切时，，
连接，
∵，
∴，
∴；
∴，
当点P与点B重合时，，此时，
∴当半圆O与菱形有交点时，运动时间t的取值范围为．
【点睛】此题考查了菱形的性质，切线的性质定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出图形是解题的关键．