中考数学一轮复习7.1视图、投影与展开图重难点题型讲练(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习7.1视图、投影与展开图重难点题型讲练(讲练)(原卷版+解析)，共110页。

类型1-平行投影
（2023春·全国·九年级专题练习）已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，AB在阳光下的投影．
(1)请你在图中画出此时在阳光下的投影；
(2)在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长
类型2-中心投影
（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）顾老师布置了周末实践性作业如下，利用影子测量路灯灯泡的高．
身高为米的小明为了完成老师布置的作业，他设计了如下方案，如图所示，他先从路灯底部（A处）向东走20步到B处，发现自己的影子端点在C处，继续沿刚才自己的影子走5步到C处，此时影子的端点在D处（假设公路是东西方向笔直的公路）．根据小明设计的方案，请解决下列问题：
(1)请在图中画出路灯，
(2)估计路灯灯泡的高度并求影长．
类型3-正投影
（2022春·广东河源·九年级校考期末）把下列物体与它们的投影连接起来．
类型4-视点、视角和盲区
（2022春·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
综合训练
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，下列判断正确的是（ ）
A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子
B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子
C．图①和图②都是在阳光下的影子
D．图①和图②都是在灯光下的影子
2．（2023秋·山东烟台·九年级统考期末）如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的图，请你将它们按时间先后顺序进行排列（ ）
A．①②③④B．①③④②C．②①④③D．④②①③
3．（2023秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图是路边电线杆在一天中不同时刻的影长图，按其天中发生的先后顺序排列正确的是（ ）
A．①③④②B．①②③④C．④③②①D．④①③②
4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（ ）
A．9米B．12米C．15米D．18米
5．（2022·广东广州·二模）当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的是安装在广告架上的一块广告牌，和分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌在地面上的影长，在地面上的影长，广告牌的顶端A到地面的距离，则广告牌的高为（ ）
A．B． C．D．
6．（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
8．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把球向下移时，圆形阴影的大小变化情况是（ ）
A．越来越小B．越来越大C．大小不变D．不能确定
9．（2023秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·山西大同·九年级统考期末）如图，是线段在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（ ）
A．B． C． D．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·浙江·九年级专题练习）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022秋·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区B．减少盲区C．改变光点D．增加亮度
16．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（ ）

A．A区域B．B区域C．C区域D．三区域都可以
17．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）校园中一棵树的高度为，下午某一时刻它在水平地面上形成的树影长为，身高的小亮想在树荫下乘凉，那么他最多可以离开树干______才可以不被阳光晒到．（结果保留整数）
18．（2023·陕西西安·校考三模）某综合实践活动课，老师要求学生测量教学楼外的旗杆高度．组长将成员分为两组，选择了一个身高1.6m的同学站立在旗杆影子的前方，并要求组内同学测量他的影子长度，另一组成员测量旗杆的影子长度．经过测量，该同学的影长为1.2m，旗杆影长为9m．那么他们得到旗杆的高度是 _____m．
19．（2023秋·陕西汉中·九年级统考期末）甲、乙两人在太阳光下行走，若已知两人的身高相同，那么在同一地点、同一时刻太阳光下的影长________相等（填“一定”或“不一定”）
20．（2023·山西吕梁·统考一模）如图，某数学小组的同学为了测量直立在水平面上的旗杆AB的高度，把标杆CD直立在同一水平地面上，在某一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别为已知在同一直线上，则________．
21．（2023秋·吉林·九年级统考期末）小芳和爸爸在阳光下散步，爸爸身高，他在地面上的影长为．小芳比爸爸矮，她的影长为_________ m．
22．（2023·全国·九年级专题练习）如图，小莉用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 __．
23．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______．
24．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是米，那么路灯的高度等于______米．
25．（2022秋·重庆·九年级校考期末）三角形尺在灯泡的照射下在墙上形成影子，如下图所示，现测得，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是______.
26．（2023·陕西榆林·校考一模）如图①，大风阁是西安汉城湖的标志性建筑，取意于汉高祖刘邦的《大风歌》“大风起兮云飞扬，威加海内兮归故乡，安得猛士兮守四方”的意境．小华和晓丽在一个阳光明媚的周末去测量大风阁的高度，如图②，首先，在C处放置一面平面镜，小华沿着的方向后退，到点E处恰好在平面镜中看到大风阁顶端A的像，小华的眼睛到地面的距离米，米；然后，某一时刻大风阁在阳光下的影子顶端在M处，同时，晓丽测得小华身高的影长米，小华的身高米，米，已知，，点B、M、C、E、G在同一水平直线上，点E、D、F在一条直线上，请你求出大风阁的高度．（平面镜大小、厚度忽略不计）
27．（2023春·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
(1)求点O，M之间的距离．
(2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度．
28．（2023·全国·九年级专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm．
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．
(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：
①求灯罩底面半径的长；
②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．
29．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，在一条马路l上有路灯（灯泡在点A处）和小树，某天早上，路灯的影子顶部刚好落在点C处．
(1)画出小树在这天早上太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子；
(2)若以上点E恰为的中点，小树高，求路灯的高度．
30．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作：
(1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）．
(2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米，
①甲树的高度为______米，
②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度．
31．（2023春·全国·九年级专题练习）利用投影知识解决问题：
(1)如图，晚上小亮在路灯下散步，在他由甲处走到乙处过程中，他在地上的影子 ．
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
(2)如图，路灯点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部点）20米的A点沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
32．（2023·全国·九年级专题练习）如图①②分别是两棵树及其影子的情形．
(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
(2)你是用什么方法判断的？
(3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．
33．（2022秋·山西太原·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．
(1)实际操作：利用尺规过点作的垂线，垂足为，交于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)解决问题：求木杆在轴上的投影的长．
34．（2023秋·山西太原·九年级山西大附中校考期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：
(1)如图1，白天在阳光下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段．
①若木杆的长为，则其影子的长为___________；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段：
(2)如图2，夜晚在路灯下，小桃将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点；
②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，则路灯距离地面的高度为___________．
35．（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）智慧学习小组的同学约好下午放学后去完成项目式学习的室外测量，他们带了两根2米长的标杆及卷尺来到路灯下，将标杆，直立在地上，灯泡所在位置为点O，此时A，B，C，D，O恰好在同一平面内，但点O到地面的距离不能直接测量，他们准备借助标杆在路灯下的影子解决问题．
(1)请画出标杆，在灯泡O下的影子，分别记为，；
(2)尺规作图：作出灯泡O到地面的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若他们测得米，米，米，请求出灯泡O到地面的距离．（精确到0.1米）
36．（2023秋·陕西汉中·九年级统考期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，．
(1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子；
(2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度．
37．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题：
(1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；
(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？
38．（2020春·全国·九年级专题练习）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
39．（2022秋·九年级单元测试）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米．
（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．
（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）
40．（2019春·九年级课时练习）如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．
(1)请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)．
(2)已知：MN＝30 m，MD＝12 m，PN＝36 m．求(1)中的点C到胜利街口的距离．
41．（2018春·九年级单元测试）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一颗大树，它的影子是．
试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点表示）．如果是太阳光请画出光线．
在图中画出表示大树高的线段．
若小明的眼睛近似地看成是点，试画图分析小明能否看见大树．
42．（2022秋·九年级单元测试）如图,正方形ABCD的边长为4,M,N,P分别为AD,BC,CD的中点.现从点P观察线段AB,当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时,l将阻挡部分观察视线,在△PAB区域内形成盲区.设l的左端点从M点开始,运动时间为t秒(0≤t≤3).设△PAB区域内的盲区面积为y(平方单位).
(1)求y与t之间的函数关系式;
(2)请简单概括y随t的变化而变化的情况.
题型2：视图
类型-1 判断几何体的三视图
（2023·山东枣庄·校考一模）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
类型-2 由几何体画出三视图
（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，
(1)请在方格中画出该几何体的主视图和俯视图．（用阴影部分表示）
(2)若现在你手头还有一些相同的小立方块，如果保持主视图和俯视图不变，则在左图中可以再添加______个小立方块．
(3)若小立方块的棱长为1，则所搭成的几何体表面积为______．
类型-3 由三视图还原几何体
（2023秋·四川乐山·七年级统考期末）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．正方体D．长方体
类型-4 由三视图进行计算
（2022秋·全国·九年级专题练习）用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题：
(1)a，b，c各表示几？
(2)这个几何体最少有几个小立方块搭成？最多呢？
(3)当，时，画出这个几何体从左面看到的形状图．
综合训练
1．（2023·河南焦作·统考一模）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南岳阳·统考一模）在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东深圳·统考一模）将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·浙江衢州·衢州巨化中学校考一模）5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，一个几何体是由6个相同的小立方块组成的，从正面看这个几何体的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·广东广州·二模）榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅从正面看到的图形不同B．仅从上面看到的图形不同
C．仅从左面看到的图形不同D．从正面、上面和左面看到的图形都相同
9．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，图和图都是由个相同的长方体组成的立体图形，则下列关于它们三视图的说法中正确的是（ ）
A．图和图的左视图相同B．图和图的主视图相同
C．图和图的俯视图相同D．图的俯视图与图的左视图相同
10．（2023·安徽合肥·校考一模）如图所示的六角螺检，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·陕西榆林·校考一模）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·天津红桥·九年级统考阶段练习）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023春·浙江·九年级周测）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·山西吕梁·统考一模）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．正方体B．圆锥C．圆柱D．球
15．（2020·四川达州·中考真题）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2023春·江苏连云港·七年级连云港市新海实验中学校考开学考试）如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积是（ ）
A．200B．280C．350D．以上答案都不对
17．（2023·全国·九年级专题练习）已知由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，那么组成该几何体的小正方体有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
18．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）下图是由一些相同长方体的积木块拾成的几何体的三视图，则此几何体共由____ 块长方体的积木搭成．
19．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：），其体积是______．
20．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）用相同的小正方体摆成某种模型，其三视图如图所示，则这个模型是由_____个小正方体摆放而成的．
21．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何体，若该几何体的主视图、左视图和俯视图的面积分别表示为，则的大小关系是______（用“<”从小到大连接）.
22．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）如图，由七个棱长为1cm的小正方体组成一个几何体．
(1)分别画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图；
(2)该几何体的表面积（包括下底面）是 ．
23．（2023秋·山西运城·七年级统考期末）如图是由棱长都为的7块小正方体组成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体的三个视图．
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体．
24．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）如图，是用棱长为1cm的小正方体组成的简单几何体．
(1)这个几何体的体积是______；
(2)请画出这个几何体的三视图；
(3)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
25．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考开学考试）如图是由棱长都为1cm的9块小正方体组成的简单几何体．
(1)直接写出这个几何体的表面积；
(2)按要求在方格中画出从这个几何体不同的方向看到的形状图．
26．（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）如图是由9个大小相同的小正方体组成的简单几何体．
(1)画该几何体的三视图；
(2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，最多可以添加______块小正方体．
27．（2022秋·陕西咸阳·七年级统考期中）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的从上面看到的形状图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，请画出该几何体从正面与左面看到的形状图．
28．（2023·陕西西安·校考三模）李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并画出了此工件的三视图，借助直尺测量了部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？
29．（2023·安徽安庆·统考一模）一个几何体的三种视图如图所示．求这个几何体的表面积．（结果保留）

30．（2023·全国·九年级专题练习）（1）图①是一个组合体，图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；
（2）根据两种视图中的尺寸（单位：cm），计算这个组合体的表面积．（π取 ）
31．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．
(1)图1是该几何体的俯视图，请在网格中画出主视图和左视图（所画线条请用2B铅笔描粗描黑）；
(2)图中几何体共有______个小正方体；
(3)已知每个小正方体的棱长为1厘米，则该几何体的表面积为______平方厘米．
32．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）以下由6个正方形纸片拼接成的图形中，不能折叠围成正方体的是（ ）．
A．B．
C．D．
题型3：几何体的展开图
类型1-正方体的展开图
例1：（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）小明用如图所示的纸板折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他三个空盒子混放在一起，观察四个选项，可知墨水瓶所在的盒子是（ ）
A．B．C．D．
例2：（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）如图所示的正方体盒子，它的展开图可能是（ ）
A．B．
C．D．
类型2-与展开图有关的计算
例1：（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，其相对面上两个数之和为8，则______．
例2：（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为___________．
综合训练
1．（2023·河南周口·校联考一模）2022年卡塔尔世界杯是首次在卡塔尔和中东国家举行的世界杯足球赛．将“卡塔尔界杯”这六个汉字写在正方体的表面上，如图是其中一种展开图，则在原正方体中，“塔”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．卡B．世C．界D．杯
2．（2023·河南南阳·校联考一模）时至今日，“双减”政策依然是一个热门话题．将“减负提质培优”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，将它折成正方体后，与“减”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．提B．质C．培D．优
3．（2022秋·七年级单元测试）如图所示的正方体，如果把它展开，可以得到（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·重庆合川·七年级重庆市合川中学校考期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2022春·宁夏固原·八年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁从棱长为的正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有____________种添加方式．
7．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，其相对面上两个数之和为8，则______．
8．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）仓库里有如图四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片（尺寸单位：分米）；从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或立方体）铁盒（不浪费材料）．甲型盒是由3种规格铁片焊接而成的表面积最大的铁盒，乙型盒是由2种规格铁片焊接而成的容积最小的铁盒．现在要分别做上述两种铁盒各100个，则至少需要②号铁片 ___________块．
9．（2022秋·广西柳州·七年级统考阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边．
10．（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）如图，是一个长方体及其展开图，已知展开图阴影部分的面积为．
(1)求的值．
(2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽至少要多少？
11．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）我校七年级（3）班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）．
(1)此长方体包装盒的体积为______立方毫米（用含x，y的式子表示）．
(2)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当，时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？
11．（2022秋·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校联考期末）一个几何体的表面展开图如图1所示．
(1)这个几何体的名称是______；
(2)图（2）是根据a、b、c、h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(3)请用含a、b、c、h的的代数式表示这个几何体的表面积：______．（不必化简）
12．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）将若干个棱长为a的小立方块摆成如图所示的几何体．
(1)如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图；
(2)求该几何体的表面积；
(3)依图中摆放方法类推，如果几何体摆放了24层，求该几何体的表面积．
13．（2023春·七年级课时练习）如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为．
(1)求原来长方形纸板的长；
(2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？
14．（2022秋·七年级单元测试）我校七年级（3）班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）．
(1)此长方体包装盒的体积为______立方毫米（用含，的式子表示）．
(2)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当，时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？
7.1视图、投影与展开图重难点题型讲练
题型1：投影
类型1-平行投影
（2023春·全国·九年级专题练习）已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，AB在阳光下的投影．
(1)请你在图中画出此时在阳光下的投影；
(2)在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知连接，过点作，即可得出就是的投影；
（2）利用三角形得出比例式，求出即可．
【详解】（1）解：作法：连接，过点作，交直线于，
如图所示，线段就是的投影．
（2）解：太阳光线是平行的，
∴．
．
又，
．
，
，，，
，
．
【点睛】此题主要考查了平行投影的画法以及相似三角形的应用，根据已知得出是解题关键．要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
类型2-中心投影
（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）顾老师布置了周末实践性作业如下，利用影子测量路灯灯泡的高．
身高为米的小明为了完成老师布置的作业，他设计了如下方案，如图所示，他先从路灯底部（A处）向东走20步到B处，发现自己的影子端点在C处，继续沿刚才自己的影子走5步到C处，此时影子的端点在D处（假设公路是东西方向笔直的公路）．根据小明设计的方案，请解决下列问题：
(1)请在图中画出路灯，
(2)估计路灯灯泡的高度并求影长．
【答案】(1)见解析
(2)路灯高8米，影长为步
【分析】（1）分别连接并延长，相交于点E，过点E作于点A，即为所求；
（2）根据可得，则，即可求出，根据，即可求出．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）根据题意可得：步，步，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
，即，
解得：，
综上：路灯高8米，影长为步．
【点睛】本题主要考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握中心投影的性质和确定点光源的方法，以及相似三角形对应边成比例的性质．
类型3-正投影
（2022春·广东河源·九年级校考期末）把下列物体与它们的投影连接起来．
【答案】见解析
【分析】根据投影的定义解答即可．
【详解】解：如图：
【点睛】本题主要考查了投影，理解投影的定义成为解答本题的关键．
类型4-视点、视角和盲区
（2022春·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，
∴站在监控盲区的概率=3÷20=；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
综合训练
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，下列判断正确的是（ ）
A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子
B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子
C．图①和图②都是在阳光下的影子
D．图①和图②都是在灯光下的影子
【答案】B
【分析】根据点光源与平行光源下的影子的区别，分析即可求解．
【详解】解：图①中影子的方向不同，是在灯光下的影子；
图②中影子的方向相同，且影长与树高成正比，是在阳光下的影子．
故选：B．
【点睛】本题考查了投影，掌握平行投影与中心投影的区别是解题的关键．
2．（2023秋·山东烟台·九年级统考期末）如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的图，请你将它们按时间先后顺序进行排列（ ）
A．①②③④B．①③④②C．②①④③D．④②①③
【答案】D
【分析】根据不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向的改变规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
【详解】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③，
故其按时间的先后顺序为：④②①③．
故选∶D．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
3．（2023秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图是路边电线杆在一天中不同时刻的影长图，按其天中发生的先后顺序排列正确的是（ ）
A．①③④②B．①②③④C．④③②①D．④①③②
【答案】D
【分析】从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
【详解】解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北−北−东北−东，
即④①③②
故选：D．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（ ）
A．9米B．12米C．15米D．18米
【答案】B
【分析】由太阳光为平行光可知，进而证明，利用相似三角形对应边成比例，即可列式求解．
【详解】解：由题意知，
，
又，
，
，即，
，
即旗杆的高度为12米．
故选B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行投影、平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
5．（2022·广东广州·二模）当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的是安装在广告架上的一块广告牌，和分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌在地面上的影长，在地面上的影长，广告牌的顶端A到地面的距离，则广告牌的高为（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】根据太阳光线是平行的可得，从而可得；接下来根据相似三角形的性质可得，代入数值求出的长，进而可求出广告牌的高．
【详解】解：∵太阳光线是平行的，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
解得，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了平行投影，以及相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．
6．（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断．
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】利用中心投影，延长 分别交x轴于 ，作 轴于E，交于D，如图，证明 ，然后利用相似比可求出 的长．
【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于E，交于D，如图
∵ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，即
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
8．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把球向下移时，圆形阴影的大小变化情况是（ ）
A．越来越小B．越来越大C．大小不变D．不能确定
【答案】A
【分析】根据中心投影的特点，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越大，影子越小．
【详解】解：当把球向下平移时，圆形阴影的大小的变化情况是：越来越小，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的特点是解题的关键．
9．（2023秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可；
【详解】解：设投影的面积为cm，，cm，
故选：D．
【点睛】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方．
10．（2022秋·山西大同·九年级统考期末）如图，是线段在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作于点C，根据解直角三角形即可求得．
【详解】解：过点A作于点C，
四边形是矩形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正投影的定义，得出圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，即可求解．
【详解】解：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正投影，掌握正投影的定义是解题的关键．正投影是指平行投射线垂直于投影面．
12．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作于点C，根据解直角三角形即可求得．
【详解】解：过点A作于点C，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．
13．（2022·浙江·九年级专题练习）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
14．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形．
【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合，
故选D．
【点睛】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定．
15．（2022秋·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区B．减少盲区C．改变光点D．增加亮度
【答案】B
【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可．
【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；
选项B，减少盲区，正确；
选项C，不可能改变光点，错误；
选项D，不是增加亮度，选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区．
16．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（ ）

A．A区域B．B区域C．C区域D．三区域都可以
【答案】C
【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案．
【详解】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C.
【点睛】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大．
17．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）校园中一棵树的高度为，下午某一时刻它在水平地面上形成的树影长为，身高的小亮想在树荫下乘凉，那么他最多可以离开树干______才可以不被阳光晒到．（结果保留整数）
【答案】8
【分析】在同一时刻时，树的高度与影长与人的高度与影长成正比列比例式，求出此时人的影长，计算出最多离树干的长度．
【详解】解：设小亮在这个时刻水平地面上形成的影长为，根据题意得：
，
解得：，
即小亮在这个时刻水平地面上形成的影长为，
，
∴他最多可以离开树干才可以不被阳光晒到．
故答案为：8
【点睛】本题考查了平行投影，一个不透明的物体由平行光线形成的投影是平行投影，在平行投影中，同一时刻，物高和影长成正比．
18．（2023·陕西西安·校考三模）某综合实践活动课，老师要求学生测量教学楼外的旗杆高度．组长将成员分为两组，选择了一个身高1.6m的同学站立在旗杆影子的前方，并要求组内同学测量他的影子长度，另一组成员测量旗杆的影子长度．经过测量，该同学的影长为1.2m，旗杆影长为9m．那么他们得到旗杆的高度是 _____m．
【答案】12
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此得出比例式即可解答．
【详解】解：设旗杆的高度为xm，根据题意，得
解得.
所以旗杆的高度为12m．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了平行投影，掌握同一时刻物高与影长的比相等是解题的关键．
19．（2023秋·陕西汉中·九年级统考期末）甲、乙两人在太阳光下行走，若已知两人的身高相同，那么在同一地点、同一时刻太阳光下的影长________相等（填“一定”或“不一定”）
【答案】一定
【分析】根据平行投影，在同一时刻，不同物体的物高和影长对应成比例，可知，身高相同，影长一定相同．
【详解】解：太阳光是平行光，根据平行投影，在同一时刻，不同物体的物高和影长对应成比例，可知：当两人的身高相同时，影长一定相等；
故答案为：一定．
【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握在同一时刻，不同物体的物高和影长对应成比例，是解题的关键．
20．（2023·山西吕梁·统考一模）如图，某数学小组的同学为了测量直立在水平面上的旗杆AB的高度，把标杆CD直立在同一水平地面上，在某一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别为已知在同一直线上，则________．
【答案】
【分析】根据平行投影得可得可证然后利用相似三角形的性质可得代入即可求解．
【详解】解：∵在某一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，证明是解题的关键．
21．（2023秋·吉林·九年级统考期末）小芳和爸爸在阳光下散步，爸爸身高，他在地面上的影长为．小芳比爸爸矮，她的影长为_________ m．
【答案】
【分析】根据实物与影子的比相等可得小芳的影长．
【详解】∵爸爸身高，小芳比爸爸矮．
∴小芳身高为
设小芳的影长为，
∴
解得，
故填：．
【点睛】本题考查了平行投影，解决本题的关键是理解阳光下实物的影长与影子的比相等．
22．（2023·全国·九年级专题练习）如图，小莉用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 __．
【答案】50
【分析】由题中条件及图形易得对应点到对应中心的比值，从而确定相似四边形的相似比，再由面积比为相似比的平方，列式求解即可得到答案．
【详解】解：，
∵，
由题中图形可知矩形与其在墙上形成矩形影子位似，即矩形矩形，
∴矩形的面积：矩形的面积，
∵纸片的面积为，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查中心投影与位似图形的性质，涉及位似比为对应点到对应中心的比值，面积比为相似比的平方，根据位似图形得到相似是解决问题的关键．
23．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______．
【答案】6
【分析】利用中心投影，延长、分别交x轴于、，过点P作PN⊥x轴，交AB于点M，垂足为N，证明，然后利用相似三角形的性质可求出的长．
【详解】解：如图，延长、分别交x轴于、，过点P作PN⊥x轴，交AB于点M，垂足为N，
∵点，点，
∴，轴，
∴，
又∵点，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
即AB在x轴上的影长为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
24．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是米，那么路灯的高度等于______米．
【答案】
【分析】根据题意可知：，当小明在处时，，即，当小明在处时，，即，由，可得，设，，可得，可得，再根据，可得：，问题随之得解．
【详解】解：如图，根据题意可知：，
∵,
当小明在处时，，
即，
当小明在处时，，
即，
∵身高不变，即，
∴，即，
∵米，米，米，米，
设，，
∴，即，即，
解得：（经检验，此根是原方程的解），
即根据，可得：，
解得，，（经检验，此根是原方程的解），
即路灯A的高度米．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
25．（2022秋·重庆·九年级校考期末）三角形尺在灯泡的照射下在墙上形成影子，如下图所示，现测得，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是______.
【答案】##
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：，，
，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．
26．（2023·陕西榆林·校考一模）如图①，大风阁是西安汉城湖的标志性建筑，取意于汉高祖刘邦的《大风歌》“大风起兮云飞扬，威加海内兮归故乡，安得猛士兮守四方”的意境．小华和晓丽在一个阳光明媚的周末去测量大风阁的高度，如图②，首先，在C处放置一面平面镜，小华沿着的方向后退，到点E处恰好在平面镜中看到大风阁顶端A的像，小华的眼睛到地面的距离米，米；然后，某一时刻大风阁在阳光下的影子顶端在M处，同时，晓丽测得小华身高的影长米，小华的身高米，米，已知，，点B、M、C、E、G在同一水平直线上，点E、D、F在一条直线上，请你求出大风阁的高度．（平面镜大小、厚度忽略不计）
【答案】64米
【分析】根据光的反射原理，平行投影，运用三角形相似的原理计算即可．
【详解】解：由题可得：，，，
∴，，
∴，，
∴，，
解得．
∴大风阁的高度AB为64米．
【点睛】本题考查了光的反射原理，平行投影，三角形相似的实际运用，熟练掌握光的反射原理，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
27．（2023春·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
(1)求点O，M之间的距离．
(2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点O作、的平行线，交于H，根据平行线分线段成比例得出点H是的中点，得出，再由正切函数求解即可；
（2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，利用相似三角形的判定和性质得出，确定四边形是平行四边形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图，过点O作、的平行线，交于H，

由题意可知，点O是的中点，
∵，
∴，
∴点H是的中点，
∵，
∴，
∴，
又∵由题意可知：
∴，
∴，
解得，
∴点O、M之间的距离等于；
（2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，
∵，
∴，
∵由题意可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴叶片外端离地面的最大高度等于．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例和相似三角形的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
28．（2023·全国·九年级专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm．
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．
(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：
①求灯罩底面半径的长；
②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．
【答案】(1)学校旗杆的高度为12m
(2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2)
【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可；
（2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：，
∴，即：，
∴；
答：学校旗杆的高度为．
（2）解：①根据题意可知，，
∴，即．
∴，
∴灯罩底面半径的长为24 cm．
②∵太阳光为平行光，
∴，
∴，
由题意，可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴从正面看灯罩为矩形，面积为：，
从上面看灯罩为圆形，面积为：．
【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．
29．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，在一条马路l上有路灯（灯泡在点A处）和小树，某天早上，路灯的影子顶部刚好落在点C处．
(1)画出小树在这天早上太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子；
(2)若以上点E恰为的中点，小树高，求路灯的高度．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】(1)连接，过点D作与直线交于点E，连接并延长交直线交于点F，点E、F即为所求的点；
(2)根据相似三角形的判定与性质，即可解答．
【详解】（1）解：如图，、就是所求作的线段．
（2）解：设AB长为，
，
，
，
，
，即，
解得，
故路灯的高度为．
【点睛】本题考查了平行投影作图，熟练应用相似三角形的判定与性质是关键．
30．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作：
(1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）．
(2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米，
①甲树的高度为______米，
②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度．
【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）根据同一时间竹竿的高度与影长之比等于树的长度与树的影长之比即可求得；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲树的高度为米
根据题意得：
解得：
故答案为：
（2）解：连接并延长交的延长线于，延长交于，连接，
∵米，米，米
∴（米）
∴
∴
∴（米）
∴（米）
答：乙树的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形列出比例式是解题的关键．
31．（2023春·全国·九年级专题练习）利用投影知识解决问题：
(1)如图，晚上小亮在路灯下散步，在他由甲处走到乙处过程中，他在地上的影子 ．
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
(2)如图，路灯点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部点）20米的A点沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】(1)C
(2)身影的长度变短了，变短了3.5米．
【分析】（1）根据同一个人，离路灯越近，影子越短进行分析，即可得到答案；
（2）由可知，由此求出的值，同理可求出的值，再结合的长度分别求出小明在A、B处的影长，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：根据实际生活中的常识可知，小亮在从甲走到乙的过程中，他在地上的影子先变短，后变长，
故选：C；
（2）解：∵，
∴，
∴，
同理可得：，
米，
∴，
解得：．
米，米，
∴米．
∴，
解得：（米．
∴（米．
∴身影的长度变短了，变短了3.5米．
【点睛】本题主要考查了投影，相似三角形的判定和性质，掌握投影的相关知识是解答的关键．
32．（2023·全国·九年级专题练习）如图①②分别是两棵树及其影子的情形．
(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
(2)你是用什么方法判断的？
(3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．
【答案】(1)图②反映了阳光下的情形，图①反映了路灯下的情形
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）和（2）：物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影．然后根据平行投影和中心投影的特点及区别，即可判断和说明；
（3）图1先找到灯泡的位置再画小丽的影长，图2作平行线得到小丽的影长．
【详解】（1）解:题图②反映了阳光下的情形，题图①反映了路灯下的情形．
（2）)题图①中过影子顶端与树顶端的直线相交于一点，符合中心投影的特点，因此题图①反映了路灯下的情形；题图②中过影子顶端与树顶端的直线平行，符合平行投影的特点，因此题图②反映了阳光下的情形．
（3）路灯下小丽的影子如图①所示，表示影子的线段为 ；阳光下小丽的影子如图②所示，表示影子的线段为 ．
【点睛】本题考查平行投影和中心投影的知识，解答关键是熟练掌握这两个基础概念．
33．（2022秋·山西太原·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．
(1)实际操作：利用尺规过点作的垂线，垂足为，交于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)解决问题：求木杆在轴上的投影的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据垂线的作法即可解决问题；
（2）证明，对应边成比例即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，．
轴，，
点，
，，
，
，
，
，
即木杆在轴上的投影长为．
【点睛】本题考查作图基本作图，坐标确定位置，中心投影，理解中心投影的意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．
34．（2023秋·山西太原·九年级山西大附中校考期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：
(1)如图1，白天在阳光下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段．
①若木杆的长为，则其影子的长为___________；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段：
(2)如图2，夜晚在路灯下，小桃将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点；
②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，则路灯距离地面的高度为___________．
【答案】(1)①；②见解析；
(2)①见解析；②
【分析】（1）①根据题意证得四边形为平行四边形，从而求得结论；
②根据平行投影的特点作图：过木杆的顶点作太阳光线的平行线；
（2）①分别过影子的端点及其线段的相应的端点作射线，两条射线的交点即为光源的位置；
②根据，可证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得结论.
【详解】（1）①根据题意：，，
∴四边形为平行四边形，
∴；
②如图所示，线段即为所求；
（2）①如图所示，点即为所求；
②过点作分别交、于点、
∵
∴
，，
解得：，
路灯距离地面的高度为米.
【点睛】本题考查平行投影问题以及相似三角形的判定和性质，平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键．
35．（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）智慧学习小组的同学约好下午放学后去完成项目式学习的室外测量，他们带了两根2米长的标杆及卷尺来到路灯下，将标杆，直立在地上，灯泡所在位置为点O，此时A，B，C，D，O恰好在同一平面内，但点O到地面的距离不能直接测量，他们准备借助标杆在路灯下的影子解决问题．
(1)请画出标杆，在灯泡O下的影子，分别记为，；
(2)尺规作图：作出灯泡O到地面的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若他们测得米，米，米，请求出灯泡O到地面的距离．（精确到0.1米）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5.3米
【分析】（1）连接并延长交于点E，即为标杆的影子，同理可作出；
（2）利用尺规作图作点O到的垂线即可；
（3）根据可得，，利用相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段，线段即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3）解：设米，米，则米，
，
，，
，，
即：，，
解得：，，
灯泡O到地面的距离大约为5.3米．
【点睛】本题考查投影、利用尺规作图作垂线，相似三角形的判定与性质，解题的关键是牢记相似三角形的对应边成比例．
36．（2023秋·陕西汉中·九年级统考期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，．
(1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子；
(2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度．
【答案】(1)见解析
(2)米
【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求；
（2）先求出米，证明，得到，即，则米．
【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求；
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，即，
∴，
∴，即，
∴米，
∴路灯灯泡距地面的高度为米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
37．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题：
(1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；
(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？
【答案】(1)盲区的面积为75 m2；(2)盲区的面积不变．
【分析】（1）根据已知画出形成的盲区为梯形AEFB，再利用梯形面积求法得出答案即可；
（2）根据△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变，所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变．
【详解】(1)形成的盲区为梯形AEFB，
∵AB∥EF，
∴△PAB∽△PEF，
∴＝，
∴EF＝9，
∴盲区的面积为(6＋9)×10÷2＝75 m2；
(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积不会发生变化，
∵△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变．
所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变．
【点睛】此题主要考查了盲区的确定方法以及梯形面积求法，根据已知得出MN的长不变，进而得出梯形CMND的面积不变是解题关键．
38．（2020春·全国·九年级专题练习）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
【答案】（1）详见解析；（2）A票区约有1 406个座位．
【分析】（1）可以M、N为圆心，30为半径交于O点如图以线段MN、EF与弧FM、弧EN所围成的区域就是所作的A票区．
（2）求座位就是求三角形EOF，MON和扇形FOM和EON的面积和．那么先求出扇形的半径即可．
【详解】解(1)如图，以线段MN、EF与、所围成的区域就是所作的A票区．
(2)连接OM、ON、OE、OF，设MN的中垂线与MN、EF分别相交于点G和H.
由题意，得∠MON＝90°.
∵OG⊥MN，OH⊥EF，
OG＝OH＝15，
∴∠EOF＝∠MON＝90°.
∴r＝＝15.
∴SA＝(S扇形FOM＋S扇形EON)＋(S△OMN＋S△EOF)＝πr2＋r2≈1125(米2)．
∴1125÷0.8≈1406.
∴A票区约有1406个座位．
【点睛】本题考查了尺规作图，盲区的定义，勾股定理及扇形的面积公式等知识点，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
39．（2022秋·九年级单元测试）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米．
（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．
（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）
【答案】（1）汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；（2）他向前行驶了18.3米．
【分析】1）连接FC并延长到BA上一点E，即为所求答案；
（2）利用解Rt△AEC求AE，解Rt△ACM，求AM，利用ME=AM-AE求出他行驶的距离．
【详解】解：（1）如图所示：
汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；
（2）∵小明的视角为30°，A建筑物高25米，
∴AC＝25，
tan30°＝＝，
∴AM＝25 ，
∵∠AEC＝45°，
∴AE＝AC＝25m，
∴ME＝AM﹣AE＝43.3﹣25＝18.3m．
则他向前行驶了18.3米．
【点睛】本题考查解直角三角形的基本方法，先分别在两个直角三角形中求相关的线段，再求差是解题关键．
40．（2019春·九年级课时练习）如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．
(1)请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)．
(2)已知：MN＝30 m，MD＝12 m，PN＝36 m．求(1)中的点C到胜利街口的距离．
【答案】（1）详见解析；（2）点C到胜利街口的距离CM为24 m.
【分析】（1）根据生活常实作出图形；
（2）由相似三角形性质求出.
【详解】解 (1)如图所示，CP为视线，点C为所求位置．
(2)∵AB∥PQ，MN⊥AB于M，
∴∠CMD＝∠PND＝90°.
又∵∠CDM＝∠PDN，
∴△CDM∽△PDN，
∴＝.
∵MN＝30 m，MD＝12 m，
∴ND＝18 m.
∴＝，
∴CM＝24(m)．
∴点C到胜利街口的距离CM为24 m.
【点睛】考查了视点、视角和盲区的知识，同时考查了学生综合运用知识解决现实生活中问题的能力．
41．（2018春·九年级单元测试）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一颗大树，它的影子是．
试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点表示）．如果是太阳光请画出光线．
在图中画出表示大树高的线段．
若小明的眼睛近似地看成是点，试画图分析小明能否看见大树．
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【分析】（1）根据光线相交于一点得出确定路灯的位置；（2）利用AB，DE，确定大树的高，（3）运用视角连接AD，即可得出能否看见大树．
【详解】解：根据光线相交于一点，即可得出路灯确定路灯的位置；如图所示：如图所示，小明的眼睛近似地看成是点，小明不能看见大树．
【点睛】本题考查平行投影，视点、视角和盲区.
42．（2022秋·九年级单元测试）如图,正方形ABCD的边长为4,M,N,P分别为AD,BC,CD的中点.现从点P观察线段AB,当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时,l将阻挡部分观察视线,在△PAB区域内形成盲区.设l的左端点从M点开始,运动时间为t秒(0≤t≤3).设△PAB区域内的盲区面积为y(平方单位).
(1)求y与t之间的函数关系式;
(2)请简单概括y随t的变化而变化的情况.
【答案】（1）当0≤t≤1时,y=3t；当1【分析】（1）根据正方形的性质得AM=2，盲区为梯形，且上底为下底的一半，高为2，然后分段计算：当0≤t≤1时，梯形的上底为t，则下底为2t；当1＜t≤2时，梯形的上底为1，下底为2；当2＜t≤3时，梯形的上底为1-（t-2）=3-t，则下底为2（3-t），然后根据梯形的面积分别计算出三中情况下的梯形的面积即可；
（2）根据一次函数的性质求解．
【详解】解:(1)∵正方形ABCD的边长为4,点M,N,P分别为AD,BC,CD的中点,∴AM=2,盲区为梯形,且上底为下底的一半,高为2,
当0≤t≤1时,y=(t+2t)·2=3t,
当1当2(2)1秒内,y随t的增大而增大;1秒到2秒,y的值不变;2秒到3秒,y随t的增大而减小.
【点睛】本题考查了视点、视角和盲区:把观察者所处的位置定为一点,叫视点.人眼到视平面的距离视固定的(视距),视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角.视线到达不了的区域为盲区.
题型2：视图
类型-1 判断几何体的三视图
（2023·山东枣庄·校考一模）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】解：该几何体的俯视图是：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．
类型-2 由几何体画出三视图
（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，
(1)请在方格中画出该几何体的主视图和俯视图．（用阴影部分表示）
(2)若现在你手头还有一些相同的小立方块，如果保持主视图和俯视图不变，则在左图中可以再添加______个小立方块．
(3)若小立方块的棱长为1，则所搭成的几何体表面积为______．
【答案】(1)见解析(2)1(3)34
【分析】（1）由题意知，主视图有3列，每列小立方块数目从左往右分别为2，1，2；俯视图有3列，每列小立方块数目从左往右分别为3，2，1．
（2）根据题意，要想保持主视图和俯视图不变，只能在左图中左边第一列第二层空位置上放一个小立方块．
（3）根据题意，1个小立方块一个面的表面积为1，则依次计算每个小立方块所涉及的表面积即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）根据题意，要想保持主视图和俯视图不变，只能在左图中左边第一列第二层空位置上放一个小立方块
故答案为：1．
（3）小立方块的棱长为1
1个小立方块一个面的表面积为1
所搭成的几何体表面积为：．
故答案为：34．
【点睛】本题考查了作图-三视图，准确确定小立方块的数目及位置是解题的关键．
类型-3 由三视图还原几何体
（2023秋·四川乐山·七年级统考期末）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．正方体D．长方体
【答案】B
【分析】根据主视图和左视图确定为矩形判断出是柱体，根据俯视图判断出这个几何体是三棱柱，即可得．
【详解】解：∵主视图和左视图是矩形
∴该几何体是柱体，
∵俯视图是三角形，
∴该几何体是三棱柱，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单立体图形的三视图，解题的关键是根据三视图还原几何体．
类型-4 由三视图进行计算
（2022秋·全国·九年级专题练习）用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题：
(1)a，b，c各表示几？
(2)这个几何体最少有几个小立方块搭成？最多呢？
(3)当，时，画出这个几何体从左面看到的形状图．
【答案】(1)，，；
(2)这个几何体最少由9个小立方块搭成；这个几何体最多由11个小立方块搭成；
(3)见解析
【分析】（1）由主视图可知，第二列小立方体的个数均为1，第3列小正方体的个数为3，那么，，；
（2）第一列小立方体的个数最多为，最少为，那么加上其他两列小立方体的个数即可；
（3）左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2．
【详解】（1），，；
（2）这个几何体最少由个小立方块搭成；
这个几何体最多由个小立方块搭成；
（3）如图所示：
．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．
综合训练
1．（2023·河南焦作·统考一模）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2．（2023·湖南岳阳·统考一模）在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三视图的定义，即可进行解答．
【详解】解：A．圆锥的左视图和主视图都是相同的等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B．正方体的三视图都是正方形，故本选项符合题意；
C．该三棱柱的主视图一个矩形，俯视图是一列两个相邻的矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意；
D．圆柱的左视图和主视图都是相同的长方形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【详解】解：从正面看，共有4列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、2、1、1．
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
4．（2023·广东深圳·统考一模）将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，即可得到答案．
【详解】解：从正面看，看到的图形是由两个一样的长方形上下叠放组成的长方形，即看到的图形为，
故选B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
5．（2023·浙江衢州·衢州巨化中学校考一模）5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据从几何体的正面看到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握和运用组合体的三视图的识别方法是解决本题的关键．
6．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，一个几何体是由6个相同的小立方块组成的，从正面看这个几何体的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最右侧是一个小正方形，
如图：
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图；熟练掌握组合体的三视图是解题的关键．
7．（2022·广东广州·二模）榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：该几何体的主视图是：
故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
8．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅从正面看到的图形不同B．仅从上面看到的图形不同
C．仅从左面看到的图形不同D．从正面、上面和左面看到的图形都相同
【答案】D
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案．
【详解】解：从正面看，两个几何体的第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；从左面看，两个几何体的第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；从上面看，两个几何体都是四个小正方形，故俯视图相同，
所以这两个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的意义是解题关键．
9．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，图和图都是由个相同的长方体组成的立体图形，则下列关于它们三视图的说法中正确的是（ ）
A．图和图的左视图相同B．图和图的主视图相同
C．图和图的俯视图相同D．图的俯视图与图的左视图相同
【答案】A
【分析】根据简单几何体的三视图的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：图和图的左视图相同，都是一列两个长方形，故选项A符合题意；
图和图的主视图不相同，图主视图上层的小正方形位于右边，图上层的小正方形位于中间，故选项B不合题意；
图和图的俯视图不相同，图的俯视图为一行两个长方形，图的俯视图为一行三个长方形，故选项C不合题意．
图的俯视图为一行两个长方形，图的左视图是一列两个长方形，故选项D不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）主视图：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）左视图：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）俯视图：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．
10．（2023·安徽合肥·校考一模）如图所示的六角螺检，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据从左面看到的图形即可得到答案．
【详解】解：从左面看是上面是个长方形，下面一个长方形，中间有一条竖线，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．
11．（2023·陕西榆林·校考一模）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据从上面往下看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：如图所示，俯视图为：
故选C．
【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是注意看到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示．
12．（2023春·天津红桥·九年级统考阶段练习）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】找到从正面、左面、上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】∵ 的三视图分别是，
故选B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握画三视图的基本方法是解题的关键．
13．（2023春·浙江·九年级周测）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
【详解】解：由三视图可知：该几何体为圆锥，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
14．（2023·山西吕梁·统考一模）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．正方体B．圆锥C．圆柱D．球
【答案】C
【分析】根据简单几何体的三视图即可判断.
【详解】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，
∴该几何体是一个柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴该几何体是一个圆柱体；
故选C．
【点睛】此题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟知简单几何体的三视图.
15．（2020·四川达州·中考真题）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴俯视图的长为 ，宽为，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
16．（2023春·江苏连云港·七年级连云港市新海实验中学校考开学考试）如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积是（ ）
A．200B．280C．350D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面积即可．
【详解】解：根据三视图可得：上面的长方体长4 mm，高4mm，宽2mm，
下面的长方体长8mm，宽6mm，高2mm，
∴立体图形的表面积是：（）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．
17．（2023·全国·九年级专题练习）已知由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，那么组成该几何体的小正方体有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】根据主视图和左视图判断出俯视图中各个地方小正方体的层数，然后相加即可．
【详解】解：由俯视图，清楚地知道实物图是由（3纵列3横列）的结构，从主视图又可知左列单独1个摆放，中间有2个垒起来，右列是单独1个摆放，从左视图可知，上面一列是单独1个摆放，中间一列有2个垒起来，下边一列单独1个摆放，
∴俯视图中正方体的层数，如图所示：
∴正方体个数为（个），故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据三视图确定小正方体的个数，解题的关键是根据主视图和左视图确定俯视图中小正方体的层数．
18．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）下图是由一些相同长方体的积木块拾成的几何体的三视图，则此几何体共由____ 块长方体的积木搭成．
【答案】
【分析】由几何体的三视图的情况结合模型即可得．
【详解】由俯视图知，最底层有3块长方体，由主视图和左视图知，
此图有两层，最上层有1块长方体，因此此几何体共有4块长方体的积木块搭成．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三视图，掌握对空间想象能力是解题的关键．
19．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：），其体积是______．
【答案】
【分析】主视图是一个长，高的长方形，左视图是一个宽，高的长方形，可知是一个长方体，根据长方体的体积计算公式即可求解．
【详解】解：根据题意可知，长方体的长，宽，高的长方形，
∴体积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，体积的计算，理解三视图的特点，体积的计算公式是解题的关键．
20．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）用相同的小正方体摆成某种模型，其三视图如图所示，则这个模型是由_____个小正方体摆放而成的．
【答案】5
【分析】由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上层有1个，下层有4个，即可得出答案．
【详解】解：由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上层有1个，下层有4个，
∴这个模型是由5个小正方体摆放而成，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键是掌握三视图的定义，根据三视图还原几何体．
21．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何体，若该几何体的主视图、左视图和俯视图的面积分别表示为，则的大小关系是______（用“<”从小到大连接）.
【答案】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图，根据边角面积的大小，可得答案．
【详解】解：主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图是一个正方形的面积，故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，分别得出三视图是解题关键．
22．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）如图，由七个棱长为1cm的小正方体组成一个几何体．
(1)分别画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图；
(2)该几何体的表面积（包括下底面）是 ．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）根据三视图的概念画法作图即可；
（2）根据表面积的概念计算各个面的面积再相加即可．
【详解】（1）解：主视图为正面的投影，左视图为侧面的正投影，俯视图为从上往下的正投影
如图所示：
∴上图即为所求．
（2）解：该几何体的表面积是：，
故答案为：26．
【点睛】本题主要考查三视图的画法以及表面积的计算，熟练掌握三视图的作图方法以及表面积的计算是解决本题的关键．
23．（2023秋·山西运城·七年级统考期末）如图是由棱长都为的7块小正方体组成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体的三个视图．
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可．
（2）根据题目条件解决问题即可．
【详解】（1）解：如图所示 ：
（2）解：在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加2个小正方体，
故答案为：2．
【点睛】本题考查作图——三视图，熟练掌握基本知识，正确掌握不同视图的观察角度是解题关键．
24．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）如图，是用棱长为1cm的小正方体组成的简单几何体．
(1)这个几何体的体积是______；
(2)请画出这个几何体的三视图；
(3)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
【答案】(1)9
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）利用小正方体的体积乘以个数即可求出几何体的体积；
（2）画出三视图即可；
（3）根据俯视图确定位置，主视图确定个数，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，几何体由9个棱长为1cm的小正方体组合而成，
∴几何体的体积是；
故答案为：9；
（2）解：画出三视图，如图所示：
（3）解：如图，
根据主视图和俯视图，可以确定几何体中小正方形的个数最多为：，
∴最多可以再添加个小正方体；
故答案为：．
【点睛】本题考查画由小正方体堆砌而成的几何体的三视图，以及根据三视图确定小正方体的个数．熟练掌握三视图，是解题的关键．
25．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考开学考试）如图是由棱长都为1cm的9块小正方体组成的简单几何体．
(1)直接写出这个几何体的表面积；
(2)按要求在方格中画出从这个几何体不同的方向看到的形状图．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先数出各个方向正方形的个数,相加后乘一个小正方形的面积即可求解.．
（2）从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为4，1，2；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为4，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1，依此画出图形即可．
【详解】（1）解：这个几何体的表面积为：；
（2）在方格中画出从这个几何体不同的方向看到的形状图，如图所示：
【点睛】本题考查求简单组合体的表面积，以及三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．
26．（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）如图是由9个大小相同的小正方体组成的简单几何体．
(1)画该几何体的三视图；
(2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，最多可以添加______块小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】(1)根据三视图的定义画出图形即可；
(2)根据题目条件解决问题即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：在这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，
第二层可放3个，最上面一层可放2个，
故最多可以添加5块小正方体，
故答案为：5．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
27．（2022秋·陕西咸阳·七年级统考期中）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的从上面看到的形状图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，请画出该几何体从正面与左面看到的形状图．
【答案】见解析
【分析】根据从上面看到的图形可知从左面看和从正面看到的图形都分为三层三列，然后分别找出每一层每一列的小正方体个数，然后画出对应的视图即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题主要考查了画小正方体搭成的几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
28．（2023·陕西西安·校考三模）李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并画出了此工件的三视图，借助直尺测量了部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？
【答案】
【分析】根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和．
【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，
底面直径分别是2和4，
高分别是4和1，
体积为：（cm3）．
答：该工件的体积是．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，正确的得到几何体的形状是解题的关键．
29．（2023·安徽安庆·统考一模）一个几何体的三种视图如图所示．求这个几何体的表面积．（结果保留）

【答案】
【分析】根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，则可想象出这是一个圆柱体，再根据表面积侧面积底面积，列式计算即可．
【详解】解：根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，可得这个几何体是圆柱体，
∵圆柱的半径为3，高为10，
∴
．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是几何体的表面积，本题难点是确定几何体的形状，关键是根据公式列出算式．
30．（2023·全国·九年级专题练习）（1）图①是一个组合体，图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；
（2）根据两种视图中的尺寸（单位：cm），计算这个组合体的表面积．（π取 ）
【答案】（1）主；俯；（2）表面积
【分析】（1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
（2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积＋上面圆柱的侧面积．
【详解】解：（1）根据图形，图②中左边的是主视图，右边是俯视图，
故答案为：主；俯；
（2）该组合图的表面积为 (cm2)．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置．
31．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．
(1)图1是该几何体的俯视图，请在网格中画出主视图和左视图（所画线条请用2B铅笔描粗描黑）；
(2)图中几何体共有______个小正方体；
(3)已知每个小正方体的棱长为1厘米，则该几何体的表面积为______平方厘米．
【答案】(1)见解析
(2)9
(3)
【分析】（1）主视图3列，每列小正方形数目为3，2，1，左视图三列，每列小正方形数目为：3，2，1；
（2）依次数出小正方体数目即可求解；
（3）先求出每个面小正方形的个数，再乘以每个小正方形的面积计算出来即可；
【详解】（1）根据几何体的主视图，左视图的画法画出图形即可；
（2）图中共有个正方体，
故答案为：9
（3），
答：故该几何体的表面积为34
【点睛】本题主要考查作图-三视图的画法，由立体图形可知主观图可知主视图，左视图，俯视图，并能得出有几列即每一列的数字
32．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）以下由6个正方形纸片拼接成的图形中，不能折叠围成正方体的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】把每一个平面展开图经过折叠，看能否围成正方体，判断即可．
【详解】解：每一个平面展开图经过折叠，A，C，D都可以围成正方体，B经过折叠后有两个面重叠，不能围成正方体，
故选：B．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题的关键．
题型3：几何体的展开图
类型1-正方体的展开图
例1：（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）小明用如图所示的纸板折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他三个空盒子混放在一起，观察四个选项，可知墨水瓶所在的盒子是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方体的展开图的特征，折叠后各个面以及顶点之间的关系进行判断即可．
【详解】解：如图，当将其进行折叠后，点与点重合，点与点重合，
阴影三角形的两个直角顶点重合在一起，并且与含有“〇”面的四个顶点重合的点为、、、、，
点、点不能与含有“〇”面的顶点重合，
因此，只有B是正确的，
故选：B．
【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，理解和掌握展开、折叠前后的面、顶点之间的关系是正确判断的关键．
例2：（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）如图所示的正方体盒子，它的展开图可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据“实”“验”“省”三字互不相对判断即可．
【详解】由图可知“实”“验”“省”三字互不相对，
A．“验”和“省”相对，不合题意；
B．“验”和“省”相对，不合题意；
C．“实”“验”“省”三字互不相对，符合题意；
D．“验”和“省”相对，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了正方体平面展开图的性质，熟练掌握正方体平面展开图的性质是解题的关键，正方体中相邻的两个面在展开图中互不相对，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力．
类型2-与展开图有关的计算
例1：（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，其相对面上两个数之和为8，则______．
【答案】
【分析】根据正方体展开图判断计算即可．
【详解】∵
∴“1”与“y”是对面，“x”与“3”是对面，
∴．
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方体展开图中相对面的找法，发挥空间想象能力，熟练掌握正方体的展开图，找出正方体的相对面是解题的关键．
例2：（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为___________．
【答案】3
【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果．
【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，
因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是，
即正方体上两点间的距离为：3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置．
综合训练
1．（2023·河南周口·校联考一模）2022年卡塔尔世界杯是首次在卡塔尔和中东国家举行的世界杯足球赛．将“卡塔尔界杯”这六个汉字写在正方体的表面上，如图是其中一种展开图，则在原正方体中，“塔”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．卡B．世C．界D．杯
【答案】D
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．
【详解】解：由题意可知，在原正方体中，“塔”字所在面相对的面上的汉字是“杯“．
故选：D．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是正确判断的前提.
2．（2023·河南南阳·校联考一模）时至今日，“双减”政策依然是一个热门话题．将“减负提质培优”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，将它折成正方体后，与“减”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．提B．质C．培D．优
【答案】D
【分析】根据正方形的表面展开图找相对面的方法：Z字法，找首尾即可。
【详解】解：与“减”字所在面相对的面上的汉字是优，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图的相对面，熟练掌握找相对面的方法是解题的关键．
3．（2022秋·七年级单元测试）如图所示的正方体，如果把它展开，可以得到（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据正方形展开图的特征，判断各个面的对面、邻面的特征即可．
【详解】解：如图所示的正方体，如果把它展开，可以得到 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是正方体的展开图，掌握利用正方形展开图的特征判断各个面的对面、邻面的特征是解题的关键．
4．（2022秋·重庆合川·七年级重庆市合川中学校考期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离．
【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置，
蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点
，
故选：C．
【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键．
5．（2022春·宁夏固原·八年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁从棱长为的正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把此正方体的侧面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．
【详解】解：∵如图，展开后可知：
，，，
∴在中，
，
∴蚂蚁所爬行的最短路线的长是．
故选：C．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，考查了侧面展开图，勾股定理，两点之间线段最短等知识点．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
6．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有____________种添加方式．
【答案】4
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：“收”字分别放在“垃”、“圾”、“分”、“类”下方均可成完整的正方体展开图，所以有4种添加方式．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．
7．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，其相对面上两个数之和为8，则______．
【答案】
【分析】根据正方体展开图判断计算即可．
【详解】∵
∴“1”与“y”是对面，“x”与“3”是对面，
∴．
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方体展开图中相对面的找法，发挥空间想象能力，熟练掌握正方体的展开图，找出正方体的相对面是解题的关键．
8．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）仓库里有如图四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片（尺寸单位：分米）；从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或立方体）铁盒（不浪费材料）．甲型盒是由3种规格铁片焊接而成的表面积最大的铁盒，乙型盒是由2种规格铁片焊接而成的容积最小的铁盒．现在要分别做上述两种铁盒各100个，则至少需要②号铁片 ___________块．
【答案】400
【分析】根据题意得出甲型盒是由两个①两个③和1个②焊接而成，乙型盒是由两个④和3个②焊接而成，然后得出结论即可．
【详解】解：根据题意得，甲型盒是由两个①两个③和1个②焊接而成，乙型盒是由两个④和3个②焊接而成，
（块），
故答案为：400．
【点睛】本题主要考查简单几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
9．（2022秋·广西柳州·七年级统考阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边．
【答案】见解析
【分析】先补充图中缺少的字母，然后确定四边形的四条边所在的平面，继而即可求解．
【详解】解：截面的线在展开图中，如图
【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．
10．（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）如图，是一个长方体及其展开图，已知展开图阴影部分的面积为．
(1)求的值．
(2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽至少要多少？
【答案】(1)50
(2)长至少，宽至少
【分析】（1）根据图形列出关于x的方程，解方程即可；
（2）根据长方体的长、宽、高求出长方体展开图所在长方形的长和宽即可．
【详解】（1）解：∵展开图阴影部分的面积为，
∴，
解得：．
（2）解：，
，
答：用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长至少，宽至少．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是根据图形面积列出方程．
11．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）我校七年级（3）班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）．
(1)此长方体包装盒的体积为______立方毫米（用含x，y的式子表示）．
(2)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当，时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？
【答案】(1)
(2)15158平方毫米
【分析】（1）由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为毫米，宽为毫米，高为65毫米，根据长方体的体积长宽高即可求解；
（2）由于长方体的表面积（长宽长高宽高），又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积长方体的表面积．
【详解】（1）解：由题意，知该长方体的长为毫米，宽为毫米，高为65毫米，
则长方体包装盒的体积为：立方毫米．
故答案为：；
（2）长方体的长为毫米，宽为毫米，高为65毫米，
长方体的表面积平方毫米，
又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，
制作这样一个长方体共需要纸板的面积为：
（平方毫米），
，，
制作这样一个长方体共需要纸板（平方毫米）．
答：制作这样一个长方体共需要纸板15158平方毫米．
【点睛】本题考查了长方体的平面展开图，长方体的体积与表面积公式，解题关键是掌握立体图形与平面展开图之间的关系，从图中得到长方体的长、宽、高．
11．（2022秋·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校联考期末）一个几何体的表面展开图如图1所示．
(1)这个几何体的名称是______；
(2)图（2）是根据a、b、c、h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(3)请用含a、b、c、h的的代数式表示这个几何体的表面积：______．（不必化简）
【答案】(1)三棱柱
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据展开图，上下两个底面是三角形，侧面为三个矩形，可知，几何体为三棱柱；
（2）根据主视图和俯视图，画出左视图即可；
（3）根据表面积等于两个底面三角形的面积加上三个矩形的面积，进行求解即可．
【详解】（1）解：根据展开图，上下两个底面是三角形，侧面为三个矩形，可知，几何体为三棱柱；
故答案为：三棱柱；
（2）画出左视图，如图所示：
（3）解：由图可知，几何体的表面积等于两个底面三角形的面积加上三个矩形的面积，即表面积为；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据平面展开图确定几何体，三视图，以及求几何体的表面积．熟练掌握常见几何体的平面展开图，是解题的关键．
12．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）将若干个棱长为a的小立方块摆成如图所示的几何体．
(1)如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图；
(2)求该几何体的表面积；
(3)依图中摆放方法类推，如果几何体摆放了24层，求该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析
(2)该几何体的表面积为；
(3)该几何体的表面积为．
【分析】（1）画出从上、下、左三个方向看到的图形即可；
（2）每个方向上均有6个等面积的小正方形；
（3）每个方向上均有个等面积的小正方形．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）解：，
故该几何体的表面积为；
（3）解：，
故该几何体的表面积为．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，关键是要注意立体图形的各个面，及每个面的正方形的个数．
13．（2023春·七年级课时练习）如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为．
(1)求原来长方形纸板的长；
(2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？
【答案】(1)厘米
(2)平方厘米
【分析】（1）根据长方体的体积公式进行计算即可；
（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
厘米，
厘米，
答：这张长方形纸板的长为厘米；
（2）解：
（平方厘米），
答：一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，认识立体图形，熟练掌握长方体的体积公式和表面积公式是解题的关键．
14．（2022秋·七年级单元测试）我校七年级（3）班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）．
(1)此长方体包装盒的体积为______立方毫米（用含，的式子表示）．
(2)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当，时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？
【答案】(1)
(2)14840
【分析】（1）由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，根据长方体的体积长宽高即可求解；
（2）由于长方体的表面积2（长宽长高宽高），又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积长方体的表面积．
【详解】（1）解：由题意，知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，
则长方体包装盒的体积为：立方毫米．
故答案为：；
（2）解：∵长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，
∴长方体的表面积平方毫米，
又∵内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，
∴制作这样一个长方体共需要纸板的面积
（平方毫米），
∵，
∴制作这样一个长方体共需要纸板（平方毫米）．
答：制作这样一个长方体共需要纸板14840平方毫米．
【点睛】本题考查了长方体的平面展开图，长方体的体积与表面积公式，解题关键是掌握立体图形与平面展开图之间的关系，从图中得到长方体的长、宽、高．