浙教版七年级数学下册专题1.4平行线的性质(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题1.4平行线的性质(知识解读)(原卷版+解析)，共15页。

1、掌握平行线的三个性质
2、会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算
3、通过对比，理解平行线的性质和判定的区别
【知识点梳理】
知识点：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【典例分析】
【考点1：平行线性质直接应用】
【典例1】（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，直线AB，CD被直线DE所截，AB∥CD，∠1＝40°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
【变式1-1】（2023秋•万州区月考）如图，∠AOB＝45°，CD∥OB交OA于E，则∠AEC的度数为（ ）
A．130°B．135°C．140°D．145°
【变式1-2】（2023•乐清市开学）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠2＝110°，则∠1的度数是（ ）
A．130°B．110°C．80°D．70°
【考点2：平行线性质与三角板结合】
【典例2】（2023春•沙坪坝区校级月考）一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．35°B．20°C．15°D．10°
【变式2-1】（2023春•龙岗区校级期中）一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（ ）
A．10°B．15°C．18°D．30°
【变式2-2】（2023•邓州市二模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，AB∥DE，则∠EFC的度数是（ ）
A．65°B．60°C．70°D．75°
【考点3：平行线性质与折叠结合】
【典例3】（2023春•朝天区期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别落到点A'，B'处．若∠A′EF＝130°，则∠BFE的度数为（ ）
A．50°B．65°C．70°D．80°
【变式3-1】（2023春•平南县期末）如图，把长方形ABCD沿EF按如图所示折叠后，点A、B分别落在A'、B'处．若∠B′FC＝50°，则∠AEF的度数是（ ）
A．114°B．115°C．116°D．120°
【变式3-2】（2023春•靖西市期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠AED'＝52°，则∠EFB等于（ ）
A．70°B．64°C．55°D．52°
【考点4：平行线的判定与性质】
【典例4】（2023秋•青冈县期末）已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．
（1）证明：DG∥AB，AB∥EF．
（2）试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
【变式4-1】（2023秋•衡山县期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明EF∥BC．请将下面的推理过程补充完整．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）．
∠2＝∠4（ ）．
∴∠ +∠4＝180° ．
∴ ∥ （ ）．
∴∠B＝∠ （ ）．
∵∠3＝∠B（ ）．
∴∠3＝∠ （ ）．
∴EF∥BC（ ）．
【变式4-2】（2023春•东莞市期中）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．
【变式4-3】（2023春•昭平县期末）如图，∠DAC+∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝28°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）试求∠DAC、∠FEC的度数．
专题1.4 平行线的性质 （知识解读）
专题1.4 平行线的性质 （知识解读）
【学习目标】
1、掌握平行线的三个性质
2、会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算
3、通过对比，理解平行线的性质和判定的区别
【知识点梳理】
知识点：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【典例分析】
【考点1：平行线性质直接应用】
【典例1】（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，直线AB，CD被直线DE所截，AB∥CD，∠1＝40°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
答案:B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D，
∵∠1＝40°，
∴∠D＝40°，
故选：B．
【变式1-1】（2023秋•万州区月考）如图，∠AOB＝45°，CD∥OB交OA于E，则∠AEC的度数为（ ）
A．130°B．135°C．140°D．145°
答案:B
【解答】解：∵∠AOB＝45°，CD∥OB，
∴∠AED＝∠AOB＝45°，
∵∠AEC+∠AED＝180°，
∴∠AEC＝135°，
故选：B．
【变式1-2】（2023•乐清市开学）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠2＝110°，则∠1的度数是（ ）
A．130°B．110°C．80°D．70°
答案:D
【解答】解：如图：
∵a∥b，∠2＝110°，
∴∠3＝∠2＝110°，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝70°．
故选：D．
【考点2：平行线性质与三角板结合】
【典例2】（2023春•沙坪坝区校级月考）一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．35°B．20°C．15°D．10°
答案:C
【解答】解：由图可得，∠CDE＝45°，∠C＝90°，
∴∠CED＝45°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝∠CED＝45°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣45°＝15°，
故选：C．
【变式2-1】（2023春•龙岗区校级期中）一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（ ）
A．10°B．15°C．18°D．30°
答案:B
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°，
故选：B．
【变式2-2】（2023•邓州市二模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，AB∥DE，则∠EFC的度数是（ ）
A．65°B．60°C．70°D．75°
答案:D
【解答】解：如图：
∵AB∥DE，
∴∠BGF＝∠D＝45°，
由三角形外角的性质可知：∠BGF＝∠DFA+∠A，
∴∠DFA＝∠BGF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，
∴∠EFC＝180°﹣∠EFD﹣∠DFA＝180°﹣90°﹣15°＝75°．
故选：D．
【考点3：平行线性质与折叠结合】
【典例3】（2023春•朝天区期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别落到点A'，B'处．若∠A′EF＝130°，则∠BFE的度数为（ ）
A．50°B．65°C．70°D．80°
答案:A
【解答】解：由题知：∠AEF＝∠A′EF＝130°，AD∥BC，
∴∠AEF+∠EFB＝180，
∴∠BFE＝50°．
故选：A．
【变式3-1】（2023春•平南县期末）如图，把长方形ABCD沿EF按如图所示折叠后，点A、B分别落在A'、B'处．若∠B′FC＝50°，则∠AEF的度数是（ ）
A．114°B．115°C．116°D．120°
答案:B
【解答】解：由题意得，∠BFE＝∠B′FE．
∵∠B′FC＝50°，
∴∠B′FB＝180°﹣∠B′FC＝130°．
∴∠BFE＝65°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC．
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
故选：B．
【变式3-2】（2023春•靖西市期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠AED'＝52°，则∠EFB等于（ ）
A．70°B．64°C．55°D．52°
答案:B
【解答】解：∵∠AED'＝52°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝128°，
由折叠得：
∠DEF＝∠D′EF＝∠DED′＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝64°，
故选：B．
【考点4：平行线的判定与性质】
【典例4】（2023秋•青冈县期末）已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．
（1）证明：DG∥AB，AB∥EF．
（2）试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵∠CDG＝∠B，
∴DG∥BA（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行），
（2）解：∠1＝∠2，
理由∴∠2＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
【变式4-1】（2023秋•衡山县期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明EF∥BC．请将下面的推理过程补充完整．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）．
∠2＝∠4（ ）．
∴∠ +∠4＝180° ．
∴ ∥ （ ）．
∴∠B＝∠ （ ）．
∵∠3＝∠B（ ）．
∴∠3＝∠ （ ）．
∴EF∥BC（ ）．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4 （对顶角相等），
∴∠1+∠4＝180°，
∴AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠B＝∠FDC（两直线平行，同位角相等），
∵∠3＝∠B （已知），
∴∠3＝∠FDC（等量代换），
∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；1；等量代换；AB，DF，同旁内角互补，两直线平行；FDC，两直线平行，同位角相等；已知；FDC，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【变式4-2】（2023春•东莞市期中）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠D＝120°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∴∠B＝60°．
【变式4-3】（2023春•昭平县期末）如图，∠DAC+∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝28°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）试求∠DAC、∠FEC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴BC∥AD，
∵CE平分∠BCF，
∴∠ECB＝∠FCE，
∵∠FEC＝∠FCE，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴BC∥EF，
∴AD∥EF；
（2）解：设∠BCE＝∠FCE＝x，
则∠BCF＝2∠FCE＝2x，∠DAC＝3∠BCF＝3×∠FCE＝3×2x＝6x，
依题意得：6x+x+x+28°＝180°
解得：x＝19°，
即∠FEC＝∠FCE＝19°，
∴∠DAC＝6x＝6×19°＝114°．
答：∠DAC的度数为114°，∠FEC的度数为19°．