浙教版七年级数学下册专题5.1分式的概念与基本性质(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题5.1分式的概念与基本性质(知识解读)(原卷版+解析)，共18页。

1. 以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念．
2. 了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式．
3. 类比分数的基本性质，了解分式的基本性质．
4. 能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念，了解最简公分母的概念
【知识点梳理】
考点1：分式相关概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
分式有意义的条件：B≠0；
分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
考点2：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一
般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
考点3：分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
考点4：分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
考点5：分式通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
【典例分析】
【考点1 分式的相关概念】
【典例1】（2023春•梅江区校级期末）在式子；；；；；；中，分式的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【变式1-1】（2023春•东明县期末）在，，，中，分式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【变式1-2】（2023春•大渡口区期末）下列式子中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023•丰顺县校级开学）如果分式有意义．则x的值为（ ）
A．x≠﹣2B．x≠2C．x＝0D．x＝﹣2
【变式2-1】（2023•北海二模）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【变式2-2】（2023春•法库县期末）若分式有意义，则x满足的条件是 ．
【变式2-3】（2023•鼓楼区一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【典例3】（2023春•儋州校级期末）若代数式的值等于0，则x＝ ．
【典例3-2】（2023春•润州区校级期末）当x＝ 时，分式y＝的值为0．
【变式3-1】（2023秋•威县期末）已知分式．
（1）x＝ ，分式无意义；
（2）x＝ ，分式值是零．
【变式3-2】（2023•信阳模拟）当分式＝0时，x的值为 ．
【变式3-3】（2023秋•朝天区期末）若分式的值为0，则m的值为 ．
【考点2 分式的性质】
【典例4】填空
【变式4】（2023秋•桂林期末）根据分式的基本性质填空：
（1）＝； （2）＝．（3）＝．
【典例5】（秋•凤庆县期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【变式5-1】（2023春•溧阳市期中）下列从左到右变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】（2023春•郫都区期中）根据分式的基本性质填空：＝，括号内应填 ．
【典例6】（秋•来宾期末）把分式中m、n都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大4倍B．扩大2倍C．缩小一半D．不变
【变式6-1】（2023春•沭阳县期末）把分式中的x、y缩小为原来的，那么分式的值（ ）
A．缩小2倍B．扩大2倍
C．改变为原来的D．不改变
【变式6-2】（2023•雁塔区校级开学）把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍
【考点3 分式的约分、最简分式】
【典例7-1】（2023春•宿豫区期中）约分：＝ ．
【典例7-2】（2023春•泉州期末）约分：＝ ．
【典例7-3】（2023春•朝阳区校级月考）化简分式＝ ．
【变式7-1】（2023春•济南期中）化简的结果是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣aD．a
【变式7-2】（2023春•泉港区期末）化简分式，结果是（ ）
A．x﹣2B．x+2C．D．
【变式7-3】（2023春•定远县校级期末）若，则x等于（ ）
A．a+2B．a﹣2C．a﹣1D．a+1
【典例8】（2023春•溧阳市期中）下列分式，，，中，最简分式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式8-1】（2023•北碚区校级开学）下列分式中属于最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2023春•英德市期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点4 分式的通分】
【典例9】（2023•丰顺县校级开学）通分：
，，；
（2），，．
【变式9-1】（2023秋•东湖区期末）把，通分，下列计算正确的是（ ）
A．＝，＝
B．＝，＝
C．＝，＝
D．＝，＝
【变式9-2】（春•江阴市校级月考）通分
， （2），
（3）， （4），．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
专题5.1 分式概念与基本性质（知识解读）
【学习目标】
1. 以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念．
2. 了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式．
3. 类比分数的基本性质，了解分式的基本性质．
4. 能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念，了解最简公分母的概念
【知识点梳理】
考点1：分式相关概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
分式有意义的条件：B≠0；
分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
考点2：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一
般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
考点3：分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
考点4：分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
考点5：分式通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
【典例分析】
【考点1 分式的相关概念】
【典例1】（2023春•梅江区校级期末）在式子；；；；；；中，分式的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案:B
【解答】解：在式；；；；；；中，
分式的有：；；；，
即分式有4个．
故选：B．
【变式1-1】（2023春•东明县期末）在，，，中，分式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
答案:A
【解答】解：在，，，中，
分式有：，共2个，其余2个是整式，
故选：A．
【变式1-2】（2023春•大渡口区期末）下列式子中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
【解答】解：C选项的分母中含有字母，属于分式，故C选项符合题意；
A，B，D选项的分母中不含字母，不是分式，故A，B，D选项不符合题意；
故选：C．
【典例2】（2023•丰顺县校级开学）如果分式有意义．则x的值为（ ）
A．x≠﹣2B．x≠2C．x＝0D．x＝﹣2
答案:A
【解答】解：如果分式有意义，则x+2≠0．
∴x≠﹣2．
故选：A．
【变式2-1】（2023•北海二模）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
答案:x≠﹣3
【解答】解：由分式有意义的条件可知：x+3≠0，
∴x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
【变式2-2】（2023春•法库县期末）若分式有意义，则x满足的条件是 ．
答案: x≠﹣1
【解答】解：根据题意得：x+1≠0，
∴x≠﹣1．
故答案是：x≠﹣1．
【变式2-3】（2023•鼓楼区一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
答案:x≠±2
【解答】解：∵|x|﹣2≠0，
∴x≠±2．
故答案为：x≠±2．
【典例3】（2023春•儋州校级期末）若代数式的值等于0，则x＝ ．
答案:3
【解答】解：由题意得：
2x﹣6＝0且x﹣2≠0，
∴x＝3且x≠2，
∴若代数式的值等于0，则x＝3，
故答案为：3．
【典例3-2】（2023春•润州区校级期末）当x＝ 时，分式y＝的值为0．
答案:﹣2
【解答】解：∵分式y＝的值为0，
∴x2﹣4＝0且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式3-1】（2023秋•威县期末）已知分式．
（1）x＝ ，分式无意义；
（2）x＝ ，分式值是零．
答案:2，1
【解答】解：（1）令2﹣x＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2；
（2）令x﹣1＝0且2﹣≠0，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【变式3-2】（2023•信阳模拟）当分式＝0时，x的值为 ．
答案:﹣3
【解答】解：当分式＝0时，
，
解得，
∴x＝﹣3，
即x的值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【变式3-3】（2023秋•朝天区期末）若分式的值为0，则m的值为 ．
答案:﹣6
【解答】解：由题意可得：，
解得：m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【考点2 分式的性质】
【典例4】填空
【解答】解：（1）＝；
（2）＝＝；
（3）＝＝；
（4）＝＝．
故答案为：（1）a2+ab；（2）x；（3）4n；（4）x﹣y；
【变式4】（2023秋•桂林期末）根据分式的基本性质填空：
（1）＝； （2）＝．（3）＝．
【解答】解：（1）．
故答案为：a2b﹣ab2．
（2）．
故答案为：a﹣1．
（3）根据分式的基本性质得，括号中应填m﹣5．
【典例5】（秋•凤庆县期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【解答】解：A、，错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误；
故选：B．
【变式5-1】（2023春•溧阳市期中）下列从左到右变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
【解答】解：∵中缺少c≠0的条件，
∴A选项的结论不符合题意；
∵分式的分子与分母同时乘或除以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，
∴B，C选项的结论不符合题意；
∵，
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
【变式5-2】（2023春•郫都区期中）根据分式的基本性质填空：＝，括号内应填 ．
答案:x﹣1
【解答】解：＝＝，
即括号内应填x﹣1，
故答案为：x﹣1．
【典例6】（秋•来宾期末）把分式中m、n都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大4倍B．扩大2倍C．缩小一半D．不变
答案:D
【解答】解：分式中m、n都扩大2倍，则分式的值不变，
故选：D
【变式6-1】（2023春•沭阳县期末）把分式中的x、y缩小为原来的，那么分式的值（ ）
A．缩小2倍B．扩大2倍
C．改变为原来的D．不改变
答案:D
【解答】解：由题意得：
＝，
∴把分式中的x、y缩小为原来的，那么分式的值不改变，
故选：D．
【变式6-2】（2023•雁塔区校级开学）把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍
答案:B
【解答】解：分式中的x和y都扩大2倍，则原分式变形为：＝＝2•，
所以把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值扩大2倍．
故选：B．
【考点3 分式的约分、最简分式】
【典例7-1】（2023春•宿豫区期中）约分：＝ ．
答案:
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【典例7-2】（2023春•泉州期末）约分：＝ ．
答案:
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【典例7-3】（2023春•朝阳区校级月考）化简分式＝ ．
答案:
【解答】解：原式＝＝，
故答案为：．
【变式7-1】（2023春•济南期中）化简的结果是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣aD．a
答案:D
【解答】解：原式＝＝a．
故选：D．
【变式7-2】（2023春•泉港区期末）化简分式，结果是（ ）
A．x﹣2B．x+2C．D．
答案:B
【解答】解：＝＝x+2．
故选：B．
【变式7-3】（2023春•定远县校级期末）若，则x等于（ ）
A．a+2B．a﹣2C．a﹣1D．a+1
答案:C
【解答】解：等式左边＝＝，
∴x＝a﹣1，
故选：C．
【典例8】（2023春•溧阳市期中）下列分式，，，中，最简分式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:C
【解答】解：，故此项不是最简分式，
，，这三项是最简分式，
故选：C．
【变式8-1】（2023•北碚区校级开学）下列分式中属于最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
【解答】解：A、原式＝，故A不符合题意．
B、原式＝，故B不符合题意．
C、是最简分式，故C符合题意．
D、原式＝，故D不符合题意．
故选：C．
【变式8-2】（2023春•英德市期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
【解答】解：A、原式＝﹣，不是最简分式，不符合题意；
B、原式＝，不是最简分式，不符合题意；
C、原式＝，不是最简分式，不符合题意；
D、原式为最简分式，符合题意．
故选：D
【考点4 分式的通分】
【典例9】（2023•丰顺县校级开学）通分：
（1），，；
（2），，．
【解答】解：（1），，；
（2），，
【变式9-1】（2023秋•东湖区期末）把，通分，下列计算正确的是（ ）
A．＝，＝
B．＝，＝
C．＝，＝
D．＝，＝
答案:B
【解答】解：两分式的最简公分母为3a2b2，
A、通分后分母不相同，不符合题意；
B、＝，＝，符合题意；
C、通分后分母不相同，不符合题意；
D、通分后分母不相同，不符合题意，
故选：B．
【变式9-2】（春•江阴市校级月考）通分
（1），
（2），
（3），
（4），．
【解答】解：（1）最简公分母：12x3y2，
＝，＝；
（2）最简公分母：2（a+3）（a﹣3），
＝，＝；
（3）最简公分母：（a﹣3）2（a+3），
＝，＝；
（4）最简公分母：2（a+3）（a﹣1），
＝＝＝，＝＝﹣＝﹣．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．