2023-2024学年浙江省绍兴一中平行班高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年浙江省绍兴一中平行班高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z=3+i1−2i，则|z|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 1
2.在△OMN中，ON−MN+MO=( )
A. 0B. 2MOC. 2OMD. 0
3.已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是( )
A. m⊥α，m⊥β⇒α//βB. m//n，n⊂α⇒m//α
C. m⊥α，m⊂β⇒α⊥βD. m⊥α，n⊥α⇒m//n
4.侧棱长为2 3的直棱柱，其底面水平放置时用斜二测画法得到的直观图为如图所示的正方形O′A′B′C′，其中O′A′=2，则该直棱柱的侧面积为( )
A. 8 3
B. 16 3
C. 24 3
D. 32 3
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )
A. 30∘
B. 45∘
C. 90∘
D. 60∘
6.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30∘和45∘，在A处测得楼顶部M的仰角为15∘，则鹳雀楼的高度约为( )
A. 91mB. 74mC. 64mD. 52m
7.已知向量a、b、c满足：|a|=2|b|=2a⋅b=2，若c=u+26a+4−u3b(u∈R)，则|c|的最小值为( )
A. 3B. 2C. 3D. 2 3
8.请你在桌面上放置四个半径都是2cm的玻璃小球，并用一个半球形的容器罩住这四个小球，则这个容器的内壁半径的最小值为( )
A. 2 63+4cmB. 4 63+4cmC. 2 2+2cmD. 2 3+2cm
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，A=π3，则△ABC的面积可能为( )
A. 3B. 2 3C. 9 34D. 5 32
10.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子如图1，其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120∘，OA=3OC=3，点E在弧CD上.则下列选项正确的是( )
A. OA⋅CD=−2
B. 若OE=xOC+yOD，则存在点E，使得x+y=32
C. EA⋅EB的最小值为−132
D. 若该扇面为某圆台的侧面展开图，则该圆台的体积为52 281π
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，D1Q=λD1A1，λ∈[0,1]，N为线段AQ的中点，则( )
A. CN与QM共面
B. 三棱锥A−DMN的体积的最大值为1
C. 存在两个不同的λ∈[0,1]，使得AM⊥QM
D. λ=12时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为2 5+3 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0，若z2−4bz是实数，则有序实数对(a,b)可以是__________.(写出一个有序实数对即可)
13.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知a=2，2sinB+2sinC=3sinA.则csA的最小值为______.
14.如图，圆柱形开口容器(下表面密封)，其轴截面ABCD是边长为2的正方形.现有一只蚂蚁从外壁A处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到BC中点P处，则它所需经过的最短路程为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1+2i，z2=3−4i对应的向量分别为OA和OB，其中O为复平面的原点.
(1)若复数z1+λz2在复平面内对应的点在第二象限，求实数λ的取值范围；
(2)求OA在OB上的投影向量.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，BC=AB=2AD，AD//BC，AB⊥BC，设平面PAB∩平面PCD=l.
(1)作出l(不要求写作法)；
(2)线段PB上是否存在一点E，使l//平面ADE？请说明理由.
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，∠B=π4，满足(a+b)(sinA−sinB)=c(sinB+sinC).
(1)求∠A；
(2)点D在BC上，AD⊥AC，AD= 6，求AB.
18.(本小题17分)
如图(1)，已知菱形ABCD中AB=2，∠DAB=60∘，沿对角线BD将其翻折，使∠ABC=90∘，设此时AC的中点为O，如图(2).
(1)求证：点O是点D在平面ABC上的射影；
(2)求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.
19.(本小题17分)
设f(z)是一个关于复数z的表达式，若f(x+yi)=x1+y1i(其中x，y，x1，y1∈R，i为虚数单位)，就称f将点P(x,y)“f对应”到点Q(x1,y1).例如：f(z)=1z将点(0,1)“f对应”到点(0,−1).
(1)若f(z)=z+1(z∈C)，点P1(1,1)“f对应”到点Q1，点P2“对应”到点Q2(1,1)，求点Q1、P2的坐标.
(2)设常数k，t∈R，若直线l：y=kx+t，f(z)=z2(z∈C)，是否存在一个有序实数对(k,t)，使得直线l上的任意一点P(x,y)“f对应”到点Q(x1,y1)后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对(k,t)；若不存在，请说明理由.
(3)设常数a，b∈R，集合D{z|z∈C且Rez>0}和A={w|w∈C且|w|0，y>0，又∠AOB=120∘，
所以OE2=(xOC+yOD)2
=x2OC2+y2OD2+2xyOC⋅OD
=x2+y2−xy
=(x+y)2−3xy=1，
所以xy=13(x+y)2−13≤(x+y2)2，即0